(高等数学》数室 习题课导数及其应用 同济五版 习题课导数及其应用 一、主要内容 1、导数的定义 f)=四+a-= f(+h)-f(x】 Ar '(x)=lim-)=imf()-f(x) X-Xo Γ51-X0 2、导数与左、右导数的关系：f气x)存在台(%)=f() 3、导数的基本公式、四则运算法则、复合函数求导法则、高阶导数 4、隐函数求导法、参数方程求导法、对数求导法 5、微分与导数的关系：可微台可导且df(x)■f气x)d面 6、微分形式的不变性：df)=f'(m)d恤 7、相关变化率：设y=f.则少=了血 8、单调性与极值、凹凸性与拐点、最大值与最小值 9、洛必达法则（验证类型、结合其它方法使用） 10、弧微分、曲率与曲率半径 =V)2+()、K= latyy 二、举例 例1设fx)= e',x20 x-1 x<0 解0，=m-1=,所以0，不存在. x-0 例2设fx)=x2+1,求f1f(x、ff(x 解f()=2x,f1fx川=f(x2+0=2x2+),f几f'x川=f2x)=4x2+1 习圈漫导数及其用一1
《高等数学》教案 习题课 导数及其应用 同济五版 习题课 导数及其应用 - 1 习题课 导数及其应用 导数及其应用 一、主要内容 1、导数的定义 h f x h f x x f x x f x f x x h ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 + − = ∆ + ∆ − ′ = ∆ → → 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 t x f t f x x x f x f x f x x x t x − − = − − ′ = → → 2、导数与左、右导数的关系： ( ) 0 f ′ x 存在 ⇔ ) ( ) ( 0 0 f x f x − + ′ = ′ 3、导数的基本公式、四则运算法则、复合函数求导法则、高阶导数 4、隐函数求导法、参数方程求导法、对数求导法 5、微分与导数的关系：可微 ⇔ 可导 且 d f (x) = f ′(x)dx 6、微分形式的不变性：d f (u) = f ′(u)du 7、相关变化率：设 y = f (x)，则 dt dx f x dt dy = ′( ) 8、单调性与极值、凹凸性与拐点、最大值与最小值 9、洛必达法则（验证类型、结合其它方法使用） 10、弧微分、曲率与曲率半径 2 2 ds = (dx) + (dy) 、 2 3 1( y ) y K + ′ ′′ = 、 K 1 ρ = 二、举例 例 1 设 − < ≥ = ,1 0 , 0 ( ) x x e x f x x ，求 f ′ )0( 解 = ∞ − − − ′ = → − − 0 1 1 )0( lim 0 x x f x ，所以 f ′ )0( 不存在。 例 2 设 ( ) 1 2 f x = x + ，求 f ′[ f (x)]、 f [ f ′(x)] 解 f ′(x) = 2x ， [ ( )] ( )1 (2 )1 2 2 f ′ f x = f ′ x + = x + ， [ ( )] 2( ) 4 1 2 f f ′ x = f x = x +
《高等数学)数案 习题理导数及其应用 情五服 例3求下列函数的导数：1、y=e2+x22、y=n'x) ( 女=f的，求5=*，求y6求器 例4设f国为可导的偶函数，且im0+)-f@。-2,求f~D 解广-=imf0-f-D-xat+1mf--f=-imf+0-f0=2 1+1 -I 例5求极限im(ccx-二) 40 解lim(cse-马=im-snx=lim-sar=l 1-cosx =lim sin=0 62x42 例6长5m的梯子竖直靠在墙上，下端以3s的速度离开墙角。当下端离开 墙角14m时，上端下滑的速度为多少？ 解如图，设！时刻下端离开墙角x(m),上端离开墙角y(m) 则y=25-不，所以少=-一在，故刻 -14 -3=-0.875 h√25-xh" hx=1.4V25-1.43 例7设a>b>0,证明：a-b5>b卿得：a-b0。(设f(c)=M+f(a)) 例9设f(x)在[0.a上连续，在0，a)内可导，且f(a)=0,证明在0，a)内存 在一点5，使f(5⑤+5f(5)=0.(令g(x)=(x)) 习题课号数及其应用一2
《高等数学》教案 习题课 导数及其应用 同济五版 习题课 导数及其应用 - 2 例 3 求下列函数的导数：1、 2 2 x e y = e + x 2、 sin ( ) 2 4 y = x 3、 x x x y + = 1 4、 ( ) 2 2 y = f x ，求 y′′ 5、 y = x + arctan y ，求 y′′ 6、 = = 3 ln y t x t ，求 2 2 dx d y 例 4 设 f (x) 为可导的偶函数，且 2 1( ) )1( lim 0 = − + − → x f x f x ，求 f ′(− )1 解 2 ( )1 )1( lim ( )1 ( )1 1 lim 1 )( ( )1 ( )1 lim 1 0 0 = + − = − − − − − − − = + + − − ′ − = →− → → x f x f x f x f x t t f t f f t x x 例 5 求极限 ) 1 lim(csc 0 x x x − → 解 0 2 sin lim 2 1 cos lim sin lim sin sin ) lim 1 lim(csc 0 0 2 0 0 0 = = − = − = − − = → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x 例 6 长 5m 的梯子竖直靠在墙上，下端以 3m/s 的速度离开墙角。当下端离开 墙角 1.4m 时，上端下滑的速度为多少？ 解 如图，设t 时刻下端离开墙角 x (m)，上端离开墙角 y (m) 则 2 y = 25 − x ，所以 dt dx x x dt dy 2 25 − − = ，故 3 .0 875 25 4.1 4.1 1.4 2 ⋅ = − − − = x= dt dy 例 7 设a > b > 0，证明： b a b b a a a b − ξ > b即得： b a b b a a a b − 0。（设 f (c) = M ≠ f (a)） 例 9 设 f (x) 在 ,0[ a]上连续，在 ,0( a)内可导，且 f (a) = 0 ，证明在 ,0( a)内存 在一点ξ ，使 f (ξ ) + ξ f ′(ξ ) = 0。（令 g(x) = xf (x)） x y
《高等数学》校室 习题课导数及其用 月济五版 例10利用凹凸性证明： e'+e、 2 >e7,x≠yw 课堂练习题： 1、求极限1im x-aresin x 0 2、求下列函数导数： 0y=2时 (2)y arcsin 1-x +arctan 2 ③)y=x+N-园 x=2 (4)y=1-x) (5y=x-ny,求y° (6 0 y=1+sint 3、设f(x)=aresinx,g(x)=V,求f几p(x、f1x川、{f几gx 4、设)具有连续的二阶导数，f@=0,f@=1,f广0=-2，求-。 0 5、设fx)和g(x)都在a,b上连续，都在(a.b)内可导，且f(a)■f(b=0,证 明方程f"(x)g(x)+f(x)g'(x)=0在(@，b)内有解。 6、设f)在0@)内二次可微，f@=0,广)>0，证明因在0.a)内单 调递增。 题课导数及其底用一3
《高等数学》教案 习题课 导数及其应用 同济五版 习题课 导数及其应用 - 3 例 10 利用凹凸性证明： 2 2 x y x y e e e + > + ， x ≠ y 。 课堂练习题： 1、求极限 3 0 arcsin lim x x x x − → 2、求下列函数导数： (1) x y 1 sin = 2 (2) y = arcsin 1− x + arctan 2 (3) y = x + x − x (4) x y = 1( − x) (5) y = x − ln y ，求 y′′ (6) = + = y t x t 1 sin 2 ，求 2 2 dx d y 3、设 f (x) = arcsin x ， g(x) = x ，求 f [ϕ′(x)]、 f ′[ϕ(x)]、{ f [ϕ(x)]}′ 4、设 f (x) 具有连续的二阶导数， f )0( = 0，f ′ )0( =1， f ′′ )0( = −2，求 2 0 ( ) lim x f x x x − → 。 5、设 f (x) 和 g(x) 都在[a,b]上连续，都在(a,b)内可导，且 f (a) = f (b) = 0，证 明方程 f ′(x)g(x) + f (x)g′(x) = 0在(a,b)内有解。 6、设 f (x) 在 ,0( a)内二次可微， f )0( = 0 ， f ′′(x) > 0 ，证明 x f (x) 在 ,0( a)内单 调递增