台湾成功大学 课件 Rn中的拓朴_高等应用数学第一章

第一章 Rn中的拓樸

Rn 中的拓樸 第一章

1-1 實數 的存在性 1-2 實 敷的 完備性 1-3 實數的緊緻性與連通性 1-4 續 函 數

1 - 1 實 數 的 存 在 性 1 - 2 實 數 的 完 備 性 1 - 3 實數的緊緻性與連通性 1 - 4 連續函數

Va.b∈R→a+b∈R groupoid Va,b,cER=a+(b+c)=(a+b)+c semigroup ∀a∈R3eeR→a+e=e+a=a monoid aeR3aeR→a+al=al+a=e group commutability /a.beRa+b∈R Commutative groupoid Vab∈R Va,b,cER=a+(b+c)=(a+b)+c →a+b=b+a Commutative semigroup Va∈R3e∈R→a+e=e+a=a Commutative monoid aeR3aeR→a+a=a+a=e Commutative group

a R a R a a a a e 1 -1 -1      + = + = − aReR a +e = e+a = a a,b,cR  a + (b + c) = (a + b) + c a,bR  a + bR groupoid semigroup monoid group a b b a a,b R  + = +   a R a R a a a a e 1 -1 -1      + = + = − aReR a +e = e+a = a a,b,cR  a + (b + c) = (a + b) + c a,bR  a + bR Commutative groupoid Commutative semigroup Commutative monoid Commutative group commutability

可交换性 抽象代數系統 a+b=b+a 反元素 a+a=a+a=e (R+,(R,(R+,,V(R) 可交换群 單位元素 可交换單子 a+e=e+a=a 結合性 a+(b+c) 向量 可交换半群 (a+b)+c ,+) (R+) 封閉性 半群單子 群 群胚 (R.) V(R) (R+ 純量 可交换環 (W,+),(R+,)o) 可交换 單子環 單子環 域 向量空間 Q·對+之分佈性 a(b+c)=(ab)+(a●c) (b+ca=(b·a)+(c·a

群胚 封閉性 半群 單子 群 抽象代數系統 (R,+),(R, •),(R,+, •),V(R) 反元素 a + a = a + a = e −1 −1 (R, •) 、•對+之分佈性 ( ) ( ) ( ) (b c) a (b a) (c a) a b c a b a c + • = • + • • + = • + • 單子環 可交換群 可交換單子 可交換半群 可交換環 環 結合性 ( ) (a b) c a b c + + + + = 可交換性 a+b = b+a 向量 (V,+) V(R) = 向量空間 (R,+) (R,+, •) 純量 可交換 單子環 單位元素 a +e = e+ a = a ((V,+),(R,+, •),) 域

數系與抽象空間 完備性 有序 R,(R/O) 内積空間 赋範空間 d(x.y) 度量空間 鄰域 拓樸空間

N 數系與抽象空間 Z Q R,(R Q) 內積空間 賦範空間 度量空間 拓樸空間良序 稠密性 完備性 Helbert空間 Banach空間 d(x,y) 鄰域 •

有 m>norm=norml+n→m>n 性 m:l>l.n→m>n

m  nor m = nor m  n m + l  l + n  m  n ml  l n  m  n 有序性

(N,+)為一良序可交換牛群 (N,)為一良序可交換單子 (亿，+)為一良序可交換群 (☑，)為一良序可交換换單子 (亿，+，)為一良序可交換單子環 (但，+，)為一有序域 (R,+,)為一完備的有序域 連續的有序域 ◆由R→R”◆有序性喪失

(N,+)為一良序可交換半群 (N, •)為一良序可交換單子 (Z,+)為一良序可交換群 (Z, •)為一良序可交換單子 (Z,+, •)為一良序可交換單子環 (Q,+, •)為一有序域 (R,+, •)為一完備的有序域 連續的有序域 n 由R → R 有序性喪失

Giuseppe Peano(1858-1932)於1889年提出 自 1.“1”為一自然數 然 2.每個自然數都有一後繼數(successor) 3.若m與n的後繼數相等，則m與n相等 數 4.“1”不是任何自然數的後繼數 的 5.設M為一自然數組成之集合，若 ·M包含1 公 ·當M包含自然數k時，M也必包含k的後繼數 設 則M包合所有的自然數

1 . “ 1 ” 為一自然數 2 . 每個自然數都有一後繼數( s u c ce s s o r ) 3 . 若m 與n 的後繼數相等，則m 與n 相等 4 . “ 1 ”不是任何自然數的後繼數 5 . 設M 為一自然數組成之集合，若 • M 包含1 • 當M 包含自然數k 時，M 也必包含k 的後繼數 則M 包含所有的自然數 Giuseppe Peano (1858-1932)於1889年提出 自 然 數 的 公 設

定 設~為集S中的一個關係，滿足下列三個條件： 義 l)自反律：對於任何a∈S,a~a成立 1 2)對稱律：若a~b則ba 3)傳遞律：若a~b及b~c則a~c 我們就稱此關係~為S中一等價關係

定 義 1 設 ~ 為集 S 中的一個關係，滿足下列三個條件： 1) 自反律： 2) 對稱律： 3) 傳遞律： 我們就稱此關係~ 為 S 中一等價關係 對於任何aS,a ~ a成立 若a ~ b則b ~ a 若a ~ b及b ~ c則a~c

定 設~為集S中的一個等價關係。 義 若將每個等價類視為一個元素，如此就得到一個新集5， 2 稱S為集S由關像~得到的商集。 定 若稱(a,b)為一“有序對”或簡稱“序對”，須滿足： 義 若a≠b,則(a,b)≠(6，a) 3 “有序”是指元素a,b呈現()是與其位置有關的

定 義 2 設 ~ 為集 S 中的一個等價關係。 若將每個等價類視為一個元素，如此就得到一個新集 ， 稱 為集 S 由關係~得到的商集。 S ~ S ~ 若稱 (a,b) 為一 “有序對” 或簡稱 “序對”，須滿足： “有序” 是指元素 a, b 呈現 ( ) 是與其位置有關的。 若a  b，則(a,b)  (b,a) 定 義 3