第五章 平面图形的几何性质
第五章平面图形的几何性质 §5-1静矩和形心 §5-2极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径 □§53平行移轴公式 四§54转轴公式主惯性轴主惯性矩
§5–1 静矩和形心 §5–2 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径 §5–3 平行移轴公式 §5–4 转轴公式* 主惯性轴 主惯性矩 第五章 平面图形的几何性质
几法质 s5-1静矩和形心 、面积(对轴)矩:(与力矩类似) 是面积与它到轴的距离之积(用S表示)。 y 微面积dA对X轴的静矩dS:=dy 微面积dA对Y轴的静矩dS=dAx 曰-d s=dS=ydA S =Ax or xX S」x xdA S,=Ay y 量钢: 如S=0←轴过形心
§5-1 静矩和形心 一、面积（对轴）矩：(与力矩类似) 是面积与它到轴的距离之积（用S表示）。 S A y x d =d S Ax y d =d = = = = A A y y A A x x S S x A S S y A d d d d dA x y y x 微面积dA对X轴的静矩 微面积dA对Y轴的静矩 x y C S Ay S Ax x y = = or 量钢：L 3 如S=0 ↔ 轴过形心
几向质 二、组合截面的静矩与形心: 整个图形对某轴的静矩,等于图形各部分对同轴静矩的 代数和(由静矩定义可知) n 如:A=∑A =∑A=4 i=1 则 S,=∑4x=Ax LE ∑xA A =之
二、组合截面的静矩与形心： = = A y A y A x A x i i i i S A x Ax S A y Ay i i n i y i i n i x = = = = = = 1 1 整个图形对某轴的静矩， 等于图形各部分对同轴静矩的 代数和（由静矩定义可知） 则 i n i A A = = 1 如: ∴
几向质 例1试确定下图的形心坐标。 解:1用正面积法求解,图形分割 及坐标如图(a) C1(00) C2(-3560) ∑xAx41+x,A2 A A1+A2 35×10×110 x 20.3 10×110+80×10 ∑yAy,4+y,42 图(a) A1+A2 60×10×110 =34.7 10×110+80×10
1 2 1 1 2 2 A A x A x A A x A x i i + + = = 20.3 10 110 80 10 35 10 110 =− + − = 1 2 1 2 1 2 A A y A y A A y A y i i + + = = 例1 试确定下图的形心坐标。 解 ： 1.用正面积法求解，图形分割 及坐标如图(a) 80 120 10 10 x y C2 图(a) C1 C1 (0,0) C2 (-35,60) 34.7 10 110 80 10 60 10 110 = + =
几法质 2用负面积法求解,图形分割及坐标如图(b) 负面积C1(0,0) C2(5,5) = x4+xA A,+ A2 5×(-70×110) 120×80-70x110=-20.3 图(b) 5×(-70×110) y120×80-70×10 =-20.3 验证:34.7+20.3+5=60
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b) 20.3 120 80 70 110 5 ( 70 110) = − − − = 图(b) C1（0,0） C2（5,5） 1 2 1 2 1 2 A A x A x A A x A x i i + + = = C2 负面积 C1 x y 20.3 120 80 70 110 5 ( 70 110) = − − − y = 验证：34.7 + 20.3 + 5 = 60
几法质 §5-2极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩:是面积与它到轴的距离的平方之积 图形对轴的惯性矩:=y2d4 量钢:L4 图形对y轴的惯性矩: xda A 一、极惯性矩:是面积对极点的二次矩。 图形对O点的极惯性矩: da y l。a4=+1,量钢:L A
§5-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积、惯性半径 二、惯性矩： 是面积与它到轴的距离的平方之积。 = = A y A x I x A I y A d d 2 2 dA x y y x r 一、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 x y A I = A=I +I d 2 r r 图形对x轴的惯性矩: 图形对y轴的惯性矩: 图形对O点的极惯性矩: 量钢：L 4 量钢：L 4
几质 惯性积:面积与其到两轴距离之积 图形对轴的惯性积:=yd4量钢:Lt 如果x或y是对称轴,则=0y 四、惯性半径 □da 图形对轴的惯性半径::=√,/A 图形对y轴的惯性半径: /A
dA x y y x r 三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。 = A I xy xydA 如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0 图形对xy轴的惯性积: 量钢：L 4 图形对x轴的惯性半径: 图形对y轴的惯性半径: i I A i I A y y x x / / = = 四、惯性半径
几法质 §5-3平行移轴公式 一、平行移轴定理:以形心为原点,建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图 x=a+x y=b+yc da Ⅰ LVdA Xe (c+b)dA (C+2b]c+b- )da =12+26S+6A Sxc=Avc=O I=I+bA
§5-3 平行移轴公式 一、平行移轴定理： = + = + C C y b y x a x 以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图 SxC =AyC =0 I bS b A y by b A y b A I y A xC xC C A C A C A x 2 2 2 2 2 2 ( 2 )d ( ) d d = + + = + + = + = I x I xC b A 2 = + dA x y y x r a b C xC yC
几法质 16+b-A 同理:+a2A 注意:C点必须为形心 LCic taba 2=1k+(a+b)2A 图形对某坐标轴的惯性矩,等于它对过形心且平行于该轴的坐 标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积
注意: C点必须为形心 I x I xC b A 2 = + I y I yC a A 2 = + I xy =I xCyC +abA I I C a b A 2 = +( + ) r r 同理: 图形对某坐标轴的惯性矩, 等于它对过形心且平行于该轴的坐 标轴之惯性矩加上图形面积与两轴距离平方和的乘积
