《材料力学》第十一章 能量法

第十一平量法

第十一章能量法 习§11-1杆件应变能的计算 §1-2单位载荷法莫尔积分 s11-4卡氏定理 □]§11-5互等定理

第十一章 能量法 §11–1 杆件应变能的计算 §11–2 单位载荷法 莫尔积分 §11–4 卡氏定理 §11–5 互等定理

能量方法 §11-1杆件应变能的计算 能量原理 弹性体内部所贮存的应变能,在数值上等于外力所作 的功,即 U=w 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形 和内力的方法称为能量方法 杆件应变能的计算:

§11–1 杆件应变能的计算 一、能量原理： 二、杆件应变能的计算： 弹性体内部所贮存的应变能，在数值上等于外力所作 的功，即 U=W 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移、变形 和内力的方法称为能量方法

能量方法 1.轴向拉压杆的应变能计算: 不计能量损耗时,外力功等于应变能。 N Nr dU=dW=N(x)·dtsN2(x) dx 2 2EA dx→ U n() dx L 2EA dx+△dx N2L 内力为分段常量时=∑ F=1 2E, A N(x) 拉压杆的比能:单位体积内的应变能。 d 1N(x)△dx △dx oE dy2 Adx 2

不计能量损耗时，外力功等于应变能。 x EA N x U W N x x d 2 ( ) ( ) d 2 1 d d 2 = = • =  = L x EA N x U d 2 ( ) 2 = = n i i i i i E A N L U 1 2 内力为分段常量时 2 dx dx + dx N(x) N(x) dx N(x) 拉压杆的比能 u：单位体积内的应变能。  2 1 d ( ) d 2 1 d d =  = = A x N x x V U u 1.轴向拉压杆的应变能计算：

能量方法 2.扭转杆的应变能计算: U= M(x) dx L 2GIp 比能:u 2 tr 3.弯曲杆的应变能计算: M(x) U= dx 丿2E 比能:=1og 2

2.扭转杆的应变能计算：  = L P n x GI M x U d 2 ( ) 2  2 1 比能: u = 3.弯曲杆的应变能计算：  = L x EI M x U d 2 ( ) 2  2 1 比能: u =

能量方法 三、应变能的普遍表达式: 应变能与加载次序无关;相互独立的力(矢)引起的应变能 可以相互叠加。 0= N( d x t (x) d x t M2(x) JL 2EA .2GⅠ L 2EI +Jax)dxa3→剪切烧度因子 细长杆,剪力引起的应变能可忽略不计。 U= N2(/~Mx) dx+ M2( )△ L 2EAJL 2GIPJL 2ET

三、应变能的普遍表达式： 应变能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的应变能 可以相互叠加。 细长杆，剪力引起的应变能可忽略不计。  + L x EA Q x d 2 ( ) 2 S S → 剪切挠度因子x EI M x x GI M x x EA N x U L L P n L d 2 ( ) d 2 ( ) d 2 ( ) 2 2 2    = + + x EI M x x GI M x x EA N x U L L P n L d 2 ( ) d 2 ( ) d 2 ( ) 2 2 2    = + +

能量方法 例1图示半圆形等截面曲杆位于水平面内,在A点受铅垂力P的作 用,求A点的垂直位移。 解:用能量法(外力功等于应变能) ①求内力 M N B T R T O 弯矩:M()= Prsin 扭矩:Mn()=PR(1-cosq)

Q MN MT A A P N B j T 例1 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作 用，求A点的垂直位移。 解：用能量法（外力功等于应变能） ①求内力 弯矩: M (j) = PRsin j : M (j) = PR(1−cosj) 扭矩 n A P R

能量方法 ②应变能: N2( M(x) dx MA(x) dx t dx L 2EA L 2GIp L2EⅠ TR PR(1-coS() Rdo 0 2GIp 0 PR(sm o Rdo 2EI 3P2R3丌PRx 4(× dEl ③外力功等于应变能 P ∴W=fA=U s 3PRI PRT 2 2G1 2EI

③外力功等于应变能 ②应变能：    = + + L L P L x EI M x x G I M x x EA N x U d 2 ( ) d 2 ( ) d 2 ( ) 2 2 n 2   + − =   j j j j 0 2 2 2 0 2 2 2 d 2 (sin ) d 2 (1 cos ) R EI P R R GI P R P EI P R GI P R 4 P 4 3 2 3 2 3   = + f U P W = A = 2  EI PR GI PR f P A 2 2 3 3 3    = +

能量方法 例2用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁 P 解:外力功等于应变能 B W==Pf a o 2 U M2(x) dx L 2EI M(x)=-x;(0≤x≤a) 2 在应用对称性,得:U=2 Jo 2EI 2 dxp2a3 LeL 1、n3 6El 思考:分布荷载时,可否用此法求C点位移?

例2 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。 W PfC 2 1 = 解：外力功等于应变能  = L x EI M x U d 2 ( ) 2 ;(0 ) 2 ( ) x x a P M x =   在应用对称性，得： EI P a x x P EI U a 12 ) d 2 ( 2 1 2 2 3 0 2 = =  EI Pa W U f C 6 3  =  = 思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？ q C a a A P B f

能量动法 §11-2单位载荷法莫尔积分 14 、定理的证明: 求任意点A的位移厂 )● 图a U- M( dx L 2EL A Mo(x) dx L 2EI ●● 图b U.- [M(x)+Mo(x)dx 2EI P0=1 [ING A UC=U+Uo+Ixf ●● M(x)M0(x), 图 La=J El

§11–2 单位载荷法 莫尔积分 C A U =U+U +1f 0  = L x EI M x U d 2 ( ) 2  = L x EI M x U d 2 ( ) 2 0 0  + = L C x EI M x M x U d 2 [ ( ) ( )]2 0  = L A x EI M x M x f d ( ) ( ) 0 求任意点A的位移f A 。 一、定理的证明： a A 图 fA q(x) 图c A P0 =1 q(x) f A 图b A P0=1