平第四章抽样分布与参数估计 第一节频率、概率与概率分布 第二节抽样分布 第三节总体参数估计 第四节抽样设计 4-1
4-1 第四章 抽样分布与参数估计 ◼ 第一节 频率、概率与概率分布 ◼ 第二节 抽样分布 ◼ 第三节 总体参数估计 ◼ 第四节 抽样设计
平第一节频率、概率与概率分布 一、随机事件与概率 (一)随机试验与事件 随机现象的特点是:在条件不变的情况下,一系列 的试验或观测会得到不同的结果,并且在试验或观 测前不能预见何种结果将出现。对随机现象的试验 或观测称为随机试验,它必须满足以下的性质: (1)每次试验的可能结果不是唯一的; (2)每次试验之前不能确定何种结果会出现 (3)试验可在相同条件下重复进行。 4-2
4-2 第一节 频率、概率与概率分布 ◼ 一、随机事件与概率 ◼ （一）随机试验与事件 ◼ 随机现象的特点是：在条件不变的情况下，一系列 的试验或观测会得到不同的结果，并且在试验或观 测前不能预见何种结果将出现。对随机现象的试验 或观测称为随机试验，它必须满足以下的性质： ◼ （1）每次试验的可能结果不是唯一的； ◼ （2）每次试验之前不能确定何种结果会出现； ◼ （3）试验可在相同条件下重复进行
在随机试验中,可能出现也可能不出现的结 果,称之为随机事件,简称事件。试验的结 果可能是一个简单事件,也可能是一个复杂 事件。简单事件就是不可以再分解的事件, 又称为基本事件。复杂事件是由简单事件组 合而成的事件。基本事件还可称为样本点, 设试验有n个基本事件,分别记为O (i=1,2,…,m)。集合!2={o1,o2,…,On}称为 样本空间,g中的元素就是样本点 4-3
4-3 ◼ 在随机试验中，可能出现也可能不出现的结 果，称之为随机事件，简称事件。试验的结 果可能是一个简单事件，也可能是一个复杂 事件。简单事件就是不可以再分解的事件， 又称为基本事件。复杂事件是由简单事件组 合而成的事件。基本事件还可称为样本点， 设试验有n个基本事件，分别记为 (i=1,2,…，n)。集合Ω={ω1 ,ω2 , … ,ωn}称为 样本空间，Ω中的元素就是样本点。 i
例:投掷一粒均匀的六面体骰子,出现的点 数有可能是1、2、3、4、5、6共六种。这六 种结果是基本结果,不可以再分解成更简单 的结果了,所以g={1,2,3,4,5,6}为该 试验的样本空间。“出现点数是奇数”这 事件就不是简单事件,它是由基本事件{1}, {3}和5}组合而成的。我们通常用大写字母A, B,C,…来表示随机事件,例如,设A表示 “出现点数是奇数”,则A={1,3,5};设B 表示“出现点数是偶数”,则B={2,4,6} 4-4鲁
4-4 ◼ 例：投掷一粒均匀的六面体骰子，出现的点 数有可能是1、2、3、4、5、6共六种。这六 种结果是基本结果，不可以再分解成更简单 的结果了，所以Ω={1，2，3，4，5，6}为该 试验的样本空间。“出现点数是奇数”这一 事件就不是简单事件，它是由基本事件{1}， {3}和{5}组合而成的。我们通常用大写字母A， B，C，…来表示随机事件，例如，设A表示 “出现点数是奇数”，则A={1，3，5}；设B 表示“出现点数是偶数”，则B={2，4，6}
(二)概率 1.概率的定义 概率就是指随机事件发生的可能性,或称为机率 是对随机事件发生可能性的度量。进行n次重复试 验,随机事件A发生的次数是m次,发生的频率是 m/,当试验的次数n很大时,如果频率在某一数值 p附近摆动,而且随着试验次数n的不断增加,频率 的摆动幅度越来越小,则称p为事件A发生的概率, 记为:P(A)=p。在古典概型场合,即基本事件发生的 概率都一样的场合: P(4)=m=包含的样木点个数=4的有利场合数 样本点总数 样本点总数 4-5
4-5 ◼ （二）概率 ◼ 1. 概率的定义 ◼ 概率就是指随机事件发生的可能性，或称为机率， 是对随机事件发生可能性的度量。 进行n次重复试 验，随机事件A发生的次数是m次，发生的频率是 m/n，当试验的次数n很大时，如果频率在某一数值 p附近摆动，而且随着试验次数n的不断增加，频率 的摆动幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率， 记为：P(A)=p。在古典概型场合, 即基本事件发生的 概率都一样的场合: ( ) 样本点总数 A包含的样本点个数 n m P A = = 样本点总数 A的有利场合数 =
例:设一个袋子中装有白球2个,黑球3个。(1) 从中随机摸出1只球,问刚好是白球的概率有 多大?(2)从中随机摸出2只球,一问2只球 都是白球的概率有多大?二问2只球一白一黑 的概率有多大?三问2只球都是黑球的概率有 多大? 解:(1)由于摸出的任何1只球都形成一个基 本事件,所以样本点总数为n=5。用A表示摸 出的是白球事件,则A由两个基本点组成,即 A={白球,白球},有利场合数m=2。因此, 刚好摸出白球的概率为P(A)=m/n=2/5=0.4
4-6 ◼ 例：设一个袋子中装有白球2个，黑球3个。(1) 从中随机摸出1只球，问刚好是白球的概率有 多大？ (2) 从中随机摸出2只球，一问2只球 都是白球的概率有多大? 二问2只球一白一黑 的概率有多大? 三问2只球都是黑球的概率有 多大? ◼ 解：(1) 由于摸出的任何1只球都形成一个基 本事件，所以样本点总数为n=5。用A表示摸 出的是白球事件，则A由两个基本点组成，即 A={白球，白球}，有利场合数m=2。因此， 刚好摸出白球的概率为P(A)=m/n=2/5=0.4
(2)由于摸出2只球才成一个基本事件,所以 样本点总数为C故 P(A)=P(2只球都是白球)=1/C5=1/10 P(B)=P(2只球一白一黑)=2×3/0=6/10 P(C)=P(2只球都是黑球)=3/10 NOTE: P(A+B+C=1 4-7
4-7 ◼ (2) 由于摸出2只球才成一个基本事件，所以 样本点总数为 故 ◼ P(A)=P(2只球都是白球)=1/ =1/10 ◼ P(B)=P(2只球一白一黑)=2×3/10=6/10 ◼ P(C)=P(2只球都是黑球)=3/10 ◼ NOTE: P(A+B+C)=1 2 C5 2 C5
2.概率的基本性质 性质11≥P(A≥0 n性质2P()=1。 性质3若事件A与事件B互不相容,即AB=Φ, 则P(AUB)=P(A)+P(B) 推论1不可能事件的概率为0,即:P(Φ)=0 推论2P(A)=1-P(A),A表示A的对立事件,即 它们二者必有一事件发生但又不能同时发生。 4-8鲁
4-8 ◼ 2. 概率的基本性质 ◼ 性质1 1≥P(A)≥0。 ◼ 性质2 P(Ω)=1。 ◼ 性质3 若事件A与事件B互不相容，即AB=Ф， 则P(A∪B)=P(A)+P(B)。 ◼ 推论1 不可能事件的概率为0，即：P(Ф)=0。 ◼ 推论2 P( )=1-P(A), 表示A的对立事件，即 它们二者必有一事件发生但又不能同时发生。 A A
学 例:袋中装有4只黑球和1只白球,每次从袋中随机 地摸出1只球,并换入1只黑球。连续进行,问第 次摸到黑球的概率是多少? 解:记A为“第三次摸到黑球”,则为“第三次 摸到白球”。先计算P()。 由于袋中只有1只白球,如果某一次摸到了白球,换 入了黑球,则袋中只有黑球了。所以相当于第 第二次都是摸到黑球,第三次摸到白球。注意这是 种有放回的摸球,样本点总数为53,有利场合数 是42×1。故: 42.116 P(A)= 125 所以 (4)=1-P() 42.1109 53125 4-9
4-9 ◼ 例：袋中装有4只黑球和1只白球，每次从袋中随机 地摸出1只球，并换入1只黑球。连续进行，问第三 次摸到黑球的概率是多少？ ◼ 解: 记A为“第三次摸到黑球”，则 为“第三次 摸到白球”。先计算P( )。 ◼ 由于袋中只有1只白球，如果某一次摸到了白球，换 入了黑球，则袋中只有黑球了。所以相当于第一、 第二次都是摸到黑球，第三次摸到白球。注意这是 一种有放回的摸球，样本点总数为53，有利场合数 是42×1。故： P( )= ， ◼ 所以 A A 125 16 5 4 1 3 2 = ( ) ( ) 125 109 5 4 1 1 1 3 2 = P A = − P A = − A
学 3.事件的独立性 定义对事件A与B,若p(AB)=p(Bp(A),则称它们 是统计独立的,简称相互独立 例:已知袋中有6只红球,4只白球。从袋中有放回地 取两次球,每次都取1球。设B表示第次取到红球。 那么, 63 P(B1)=P(B2)= P(B2|B)= P(B1B2)1003 P(B1) 因此,P(B)=P(B2AB)P(B)=3x5=PB)P(B),也就是说 B1,B2相互独立。从题目条件看,这一结论是显然的。 4-10
4-10 ◼ 3. 事件的独立性 ◼ 定义 对事件A与B，若p(AB)=p(B)p(A)，则称它们 是统计独立的，简称相互独立。 ◼ 例：已知袋中有6只红球, 4只白球。从袋中有放回地 取两次球,每次都取1球。设 表示第i次取到红球。 那么， ◼ 因此， ，也就是说， B1 ,B2相互独立。从题目条件看，这一结论是显然的。 Bi 1 2 6 3 ( ) ( ) 10 5 P B P B = = = 1 2 2 1 1 36 ( ) 100 3 ( ) ( ) 5 3 5 P B B P B B P B = = = 1 2 2 1 1 1 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 P B B P B B P B P B P B = = =