《固体物理学》课程授课教案（讲义）非谐效应——热膨胀研究性教学教案设计

安徽大学固体物理学研究 性示范课程教案 课程名称： 固体物理 授课教师： 吴明在 联系电话： 15955127125 邮 箱： wumz@ustc.edu.cn

1 安徽大学固体物理学研究 性示范课程教案 课程名称： 固体物理 授课教师： 吴明在 联系电话： 15955127125 邮 箱： wumz@ustc.edu.cn

§4-7非谐效应：热膨胀研究性教学教案设计 教学内容 热膨胀效应、非简谐效应、零热膨胀材料 1.了解非简谐效应，理解热膨胀产生的根源，提 教学目的与要求 升知识创新能力 2.势函数展开与热膨胀系数的计算，提升理论知识 应用能力 学时分配 4学时 教学重点 非谐效应的应用 教学难点 热膨胀系数的计算 设计思路：以为什么水泥地面中间总是有一道道空隙间隔为出发点，引导 学生思考热膨胀现象，培养学生发现问题的能力。通过简谐晶体势函数展 开非谐项的引入培养学生分析问题和解决问题的能力。最后，通过当前科 研热点负热膨胀材料概念的引入，培养学生调研文献和将所学理论应用实 践的能力精神。 4.7.1热膨胀现象（案例引入） 启发提问：为什么水泥地面中间总是有一道道空隙间隔？ 分组讨论：引入热膨胀现象，并就简谐效应、势函数泰勒展开、平均位移计算 分成三个小组就热膨胀现象的根由进行讨论。 2 图47-1原子间的相互作用势能曲线

2 §4-7 非谐效应：热膨胀研究性教学教案设计 教学内容 热膨胀效应、非简谐效应、零热膨胀材料 教学目的与要求 1．了解非简谐效应，理解热膨胀产生的根源，提 升知识创新能力 2．势函数展开与热膨胀系数的计算,提升理论知识 应用能力 学时分配 4 学时 教学重点 非谐效应的应用 教学难点 热膨胀系数的计算 设计思路：以为什么水泥地面中间总是有一道道空隙间隔为出发点，引导 学生思考热膨胀现象，培养学生发现问题的能力。通过简谐晶体势函数展 开非谐项的引入培养学生分析问题和解决问题的能力。最后，通过当前科 研热点负热膨胀材料概念的引入，培养学生调研文献和将所学理论应用实 践的能力精神。 4. 7. 1 热膨胀现象（案例引入） 启发提问：为什么水泥地面中间总是有一道道空隙间隔？ 分组讨论：引入热膨胀现象，并就简谐效应、势函数泰勒展开、平均位移计算 分成三个小组就热膨胀现象的根由进行讨论。 图 4-7-1 原子间的相互作用势能曲线 1 2

简谐近似的方法是认为原子振动位移很小，故势能展开式中只保留二次 项，忽略三次方及以上的各非谐项，并用一系列独立的谐振子来描述晶格振动。 这种简谐理论，数学处理简单，可以成功地解释品格比热等物理问题，却不能 解释晶体热膨胀问题。按简谐近似，原子间相互作用能在平衡位置附近是对称 的（如图47-1中的虚线所示），随着温度升高，原子的总能量增高，但原子 间的距离的平均值不会增大，因此，简谐近似不能解释热膨胀现象。若计入非 简谐效应，即考虑原子间的相互作用势能的4次方以上的项，则势能曲线在平 衡位置附近将不再对称（如图4-7-1中的实线所示），当温度升高，总能量增 大时，原子间的平均距离将会增大，从而引起热膨胀现象。 教师总结：简谐近似能够成功解释晶格热容理论，但在处理热膨胀现象时，需 考虑非谐效应。那么如何用物理的语言描述热膨胀能力这一物理现象？ 4.7.2热膨胀能力的数学描述：晶体的热胀系数（精讲） 为简单起见，只考虑非谐项对一维品体中某两个原子平均距离的影响。设 晶体中的原子1固定在原点，原子2的平衡位置为，δ代表B原子离开平衡 位置的位移。两原子之间的相互作用势能在处附近作泰勒级数展开，得： 这里，（兴，=0，Uc)对品格动力学问愿无影响，可取U6)0。若令 0水，=8 则有：U(6+8)=K82-g心3.(4-7-2) 在简谐近似下，势能展开式中只保留到二次项，即： U(%+6)=K62.(4-7-3) 3

3 简谐近似的方法是认为原子振动位移很小，故势能展开式中只保留二次 项，忽略三次方及以上的各非谐项，并用一系列独立的谐振子来描述晶格振动。 这种简谐理论，数学处理简单，可以成功地解释晶格比热等物理问题，却不能 解释晶体热膨胀问题。按简谐近似，原子间相互作用能在平衡位置附近是对称 的（如图 4-7-1 中的虚线所示），随着温度升高，原子的总能量增高，但原子 间的距离的平均值不会增大，因此，简谐近似不能解释热膨胀现象。若计入非 简谐效应，即考虑原子间的相互作用势能的 4 次方以上的项，则势能曲线在平 衡位置附近将不再对称（如图 4-7-1 中的实线所示），当温度升高，总能量增 大时，原子间的平均距离将会增大，从而引起热膨胀现象。 教师总结：简谐近似能够成功解释晶格热容理论，但在处理热膨胀现象时，需 考虑非谐效应。那么如何用物理的语言描述热膨胀能力这一物理现象？ 4.7.2 热膨胀能力的数学描述：晶体的热胀系数（精讲） 为简单起见，只考虑非谐项对一维晶体中某两个原子平均距离的影响。设 晶体中的原子 1 固定在原点，原子 2 的平衡位置为 0 r ，δ 代表 B 原子离开平衡 位置的位移。两原子之间的相互作用势能在 0 r 处附近作泰勒级数展开，得： 0 0 0 2 3 2 3 0 2 3 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2! 3! r r r U U U U r U r r r r        + = + + + +    .（4-7-1） 这里， 0 ( ) 0 r U r  =  ， 0 U r( ) 对晶格动力学问题无影响，可取 0 U r( ) =0。若令 0 2 2 1 ( ) 2! r U K r  =  ， 0 3 3 1 ( ) 3! r U g r  =  则有： 2 3 0 U r K g ( ) + = −    .（4-7-2） 在简谐近似下，势能展开式中只保留到二次项，即： 2 0 U r K ( ) + =   .（4-7-3）

由图47-1可看出，图中虚线是简谐近似下的势能曲线，是对称的。在任 何温度下，原子围绕其平衡位置作对称简谐振动，温度低时，振幅小，温度高 时，振幅大。但其平衡位置仍在，所以无热膨胀，显然与实际不符。也可用 数学方法计算位移δ的平均值δ。按玻尔兹曼统计，平均位移可写为： ōep-kF δ= .(4-7-4) K82】 上式中分子的被积函数是奇函数，故积分为0，即δ=0。由此可见原子 的平均位置和原子的平衡位置相同，没有热膨胀。若计入非谐项的影响，则势 能曲线不对称，原子振动的平衡位置不再是原来的平衡位置，随温度升高，振 动平衡位置向右移，增大了两原子的间距。而且温度越高，这距离越大，显示 出热膨胀，且热胀系数与T有关。 按玻尔兹曼统计，平均位移可写为： 广a号}5广am2 dδ K8+8o d8 -.(4-7-5) 设δ很小，则上式的分子和分母分别为： 分r-广an）h6节0g6 kT .(4-7-6 2.(4-7-7)） 所以，得到石=是T.(478

4 由图 4-7-1 可看出，图中虚线是简谐近似下的势能曲线，是对称的。在任 何温度下，原子围绕其平衡位置作对称简谐振动，温度低时，振幅小，温度高 时，振幅大。但其平衡位置仍在 0 r ，所以无热膨胀，显然与实际不符。也可用 数学方法计算位移 δ 的平均值  。按玻尔兹曼统计，平均位移可写为： 2 2 exp exp exp exp B B B B U K d d k T k T U K d d k T k T          + + − − + + − −         − −     = =         − −         .（4-7-4） 上式中分子的被积函数是奇函数，故积分为 0，即  = 0 。由此可见原子 的平均位置和原子的平衡位置相同，没有热膨胀。若计入非谐项的影响，则势 能曲线不对称，原子振动的平衡位置不再是原来的平衡位置，随温度升高，振 动平衡位置向右移，增大了两原子的间距。而且温度越高，这距离越大，显示 出热膨胀，且热胀系数与 T 有关。 按玻尔兹曼统计，平均位移可写为： 2 3 2 3 exp exp exp exp B B B B U K g d d k T k T U K g d d k T k T            + + − − + + − −     +     − −     = =     +     − −         .（4-7-5） 设 δ 很小，则上式的分子和分母分别为： 2 2 3 3 exp (1 ) B K k T B B K g g d e d k T k T         + + − − −   + = −  +     分子   2 5 4 1 2 2 0 3 2 4 B K k T B B B g g k T e d k T k T K     + −    = =        .（4-7-6） 1 2 3 2 2 exp exp B B B K g K k T d d k T k T K       + + − −     +   = − = − =             分母   .（4-7-7） 所以，得到： 2 3 4 B g k T K  = .（4-7-8）

线胀系数为=1d6=3g.（47.9） dT 4K 由此可见，热膨胀系数是由非谐项决定的，仅考虑势能展开式中的三次方 项，热胀系数是与温度无关的常数。如果计入势能展开式中的更高次项，则线 胀系数将与温度有关。 4.7.3课程论文调研： 针对该章节知识点内容，结合当前科研热点负热膨胀材料成立三个小组， 分组就负热膨胀材料类型、如何实现零热膨胀材料、热缺陷对热膨胀的贡献关 系进行讨论，并作出相应PPT予以汇报和答辩。 教学效果与讨论： 通过本章节的学习，培养了学生的自主学习能力，强化了学生的主体 意识，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。在今后的教学中， 如何加强学生的主体意识，锻炼学生发现问题、分析问题和解决问题的能 力成为教师课程设计最重要的任务

5 线胀系数为： 2 0 0 1 3 4 B d g k r dT K r   = = .（4-7-9） 由此可见，热膨胀系数是由非谐项决定的，仅考虑势能展开式中的三次方 项，热胀系数是与温度无关的常数。如果计入势能展开式中的更高次项，则线 胀系数将与温度有关。 4.7.3 课程论文调研： 针对该章节知识点内容，结合当前科研热点负热膨胀材料成立三个小组， 分组就负热膨胀材料类型、如何实现零热膨胀材料、热缺陷对热膨胀的贡献关 系进行讨论，并作出相应 PPT 予以汇报和答辩。 教学效果与讨论： 通过本章节的学习，培养了学生的自主学习能力，强化了学生的主体 意识，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。在今后的教学中， 如何加强学生的主体意识，锻炼学生发现问题、分析问题和解决问题的能 力成为教师课程设计最重要的任务