《固体物理学》课程授课教案（讲义）第四章 晶格振动

第四章晶格振动 S4.1简谐振动和简正坐标 一、简谐近似 一般地，晶格的势能可写为格点位置坐标的函数， V=VRn+u,0}(3.1- 其中， Rn=n,+n,a2+n,=na,(3.1-2) 是第n个格点的平衡位置，u{是1时刻第n个格点相对R的偏离。 y可以展为泰物级数（在平衡位置R处展开）： (\=0(平衡位置) u.) 并令'(R)=0为零势点参考点，当略去2阶以上高阶项时， 2 (3.1-) 此式即为简谐近似下品格的势能表达式。换句话说，仅保留品格势能函数的展开式的2阶项 的近似称为简谐近似。 品格的动能为各格点的动能之和， T芝m或61-2》 2、简正坐标 为简化晶格的动能和势能的表达式（消去交叉项），由分析力学知可引入简正坐标Q。 即作如下正交变换， i,(=Vm,4)=a2,(31-3) 1

1 第四章 晶格振动 §4.1 简谐振动和简正坐标 一、简谐近似 一般地，晶格的势能可写为格点位置坐标的函数， V VR u (t) (3.1 ~ 1)  n  n 其中，     (3.1 2) n i i R n a n a n a n a 1 1 2 2 3 3 是第 n 个格点的平衡位置，un{t}是 t 时刻第 n 个格点相对 Rn 的偏离。 V 可以展为泰勒级数（在平衡位置 Rn 处展开）：                                           N i N j i j i j N i i i n N n m n m n m N n n n u u u u V u u V V V V V V 3 1 3 1 0 3 2 1 0 0 1 , 0 2 1 ( ) : 2 1 ( ) R R u u u 0 0            ui V  （平衡位置） 并令 ( ) 0 V0 Rn  为零势点参考点，当略去 2 阶以上高阶项时， (3.1 1) 2 1 3 1 3 1 0 2                N i N j i j i j u u u u V V 此式即为简谐近似下晶格的势能表达式。换句话说，仅保留晶格势能函数的展开式的 2 阶项 的近似称为简谐近似。 晶格的动能为各格点的动能之和， (3.1 2) 2 1 3 2    N i T miui  2、简正坐标 为简化晶格的动能和势能的表达式（消去交叉项），由分析力学知可引入简正坐标 Qj。 即作如下正交变换， ( ) (3.1 3) ~ui  miui  aijQj 

注：利用了爱因思坦求和规则，即两个相同指标表示求和。 (3.1一3)式的逆变换是， Q,=a(3.1-4) 变换系数a,满足正交条件 (1 j=k da=a-0 (3.2-5) 利用31-3)式，(31-)和31-2)试可化为如下正定形式， r-2g6i-0 -2 (3.1-7) 3、体系的哈密顿量 由分析力学知，多粒子体系的拉格朗日函数， L=T-V, 正测动量月=影=0 (3.1-8) 哈密顿量 H=T+r-2g+0)-24,6I-) 说明在简谐近似下，利用简正坐标，晶格的振动化为3N个独立的谐振子。 4、振动模 2,-0m 应用正则方程{ (3.1-10) g 31-8C== aH 80, 可得Q+og=0(3.1-11) (l,2,3,3N

2 注：利用了爱因思坦求和规则，即两个相同指标表示求和。 (3.1－3)式的逆变换是， (3.1 4) ~ Qj  aijui  变换系数 aij满足正交条件， * 1 (3.2 5) 0 ij ik jk j k a a j k          利用(3.1－3)式，(3.1－1) 和(3.1－2)式可化为如下正定形式， (3.1 6) 2 1 3 1 2 2     N i V i Qi (3.1 7) 2 1 3 1 2     N  i T Qi 3、体系的哈密顿量 由分析力学知，多粒子体系的拉格朗日函数， L  T-V ， 正则动量   (3.1 8)    i i i Q Q L P    哈密顿量 ( ) (3.1 9) 2 1 3 1 3 1 2 2 2           N i i N i H T V Pi iQi H 说明在简谐近似下，利用简正坐标，晶格的振动化为 3N 个独立的谐振子。 4、振动模 应用正则方程 (3.110)                 i i i i Q H P P H Q 可得 0 (3.1 11) 2      Qi i Qi (i=1，2，3，., 3N) 由(3.1-8)，          , i i i Q H Q P

这是一个关于简正坐标Q,的独立的谐振方程，表明了简正坐标的意义，即简正坐标描述晶 格中独立的简谐振动，这种独立的振动共有3N个。这样在简正坐标下，具有3N个自由度 的晶格的振动被简化为3N个独立简谐振动（即3N个独立的弹簧）。 (3.1-11)式的解为2，=A,sin(o1+8)(3.1-12) 由和Q,的正交变换关系(3.1-3)知，当仅考虑一种简正振动2时， 1 m4@1+8)B1-13) 这里，1-1,2,3,3N· 所以， (1)一个简正振动并不代表一个格点的振动，而是代表所有格点的同频集体振动，称为 一个振动模式（简称一个振动模）。 (2)晶格中格点（原子）的真实振动是所有3N个简正振动（振动模）的叠加。 至此我们已看到： 所谓“简谐近似“即简化为谐振的近似： 所谓“简正坐标”即使系统的势能和动能都简化为正定形式的坐标。 5、振动模的能量和本征态 品格振动必须用量子力学来处理。 作特代P→防品 (3.1-9)式可化为量子力学形式 o+o0)-2u (3.1-8) (3.1-8)为3N个独立谐振子的哈密顿之和。对每一谐振子有薛定谔方程 +名+gmg=tQ)a1-司 其解为熟知的， 8=(+h@, (本征能量) 3

3 这是一个关于简正坐标 Qi 的独立的谐振方程，表明了简正坐标的意义，即简正坐标描述晶 格中独立的简谐振动，这种独立的振动共有 3N 个。这样在简正坐标下，具有 3N 个自由度 的晶格的振动被简化为 3N 个独立简谐振动〔即 3N 个独立的弹簧〕。 （3.1－11）式的解为 Q A sin(t  ) (3.112) i i i 由 ui和 Qi的正交变换关系（3.1-3）知，当仅考虑一种简正振动Qk 时， sin( ) (3.1 13) 1 1 1 1 3 1           a A t m a Q m a Q m a Q m u ik k k i ik k i N j ij j i ij j i i 这里，i=1，2，3，., 3N 。 所以， （1）一个简正振动并不代表一个格点的振动，而是代表所有格点的同频集体振动，称为 一个振动模式（简称一个振动模）。 （2）晶格中格点（原子）的真实振动是所有 3N 个简正振动（振动模）的叠加。 至此我们已看到： 所谓“简谐近似”即简化为谐振的近似； 所谓“简正坐标”即使系统的势能和动能都简化为正定形式的坐标。 5、振动模的能量和本征态 晶格振动必须用量子力学来处理。 作替代 i i Q P i      （3．1-9）式可化为量子力学形式， ( ) (3.1 8) 2 1 3 1 3 1 2 2 2 2 2            N i i N i i i i Q H Q H  （3．1-8）为 3N 个独立谐振子的哈密顿之和。对每一谐振子有薛定谔方程， ( ) ( ) ( ) (3.1 8) 2 1 2 2 2 2 2           i i i i i i Q Q Q Q  其解为熟知的， i i i   n  ) 2 1 ( （本征能量〕

,@-层eg-以，)（体 -贤e 系统的总能量和总本征态为 E-Z Ψ=im,g) 4

4 ) ( ) 2 ( ) exp( n i i i n i i i Q H        （本征态） i i i Q     系统的总能量和总本征态为    N i E i 3 1     N i n Qi i 3 1 ( )

4.2一维单原子链 一、振动方程及格波解 1、振动方程 设链上原子间的相互作用仅存在于 最近邻原子之间，并且近邻原子间的相产2一月2 互作用势能为 Vn(a+δn),则体系的总势能为， 10 900 u-2a+6) (3.2-1) —维单原子链 δ。为第n个原子相对于平衡位置的 偏离。 简谐近似下， u2器袋0 相邻原了间的作用力，了=一 第n个原子的受力为，f+f云 ∫&=-B(ua-m.） f=-B(u,-山+》 所以，第n个原子的牛顿运动方程为 mim=f+f右=(4*+4r1一2)(3.2-4) 这里，n=l,2,3,N。 即：对N原子链，共有N个这样的联立方程（齐次线性方程）。 2、格波解 可以验证(32一4)式具有下列形式的解， u,(q)=un=Aee-g）(3.2-5) 将(3.2-5)式代入(32-4)可得：

5 4.2 一维单原子链 一、振动方程及格波解 1、振动方程 设链上原子间的相互作用仅存在于 最近邻原子之间，并且近邻原子间的相 互作用势能为 vn a n (   )，则体系的总势能为， ( ) (3.2 1) 1      N n n a n U v  n 为第ｎ个原子相对于平衡位置的 偏离。 简谐近似下， (3.2 2) 2 1 2 1 1 2 0 2 2 1 2 0 2 2                        N i n n N i n n U v U       相邻原子间的作用力， (3.2 3) 2 2                n n n a n n U v f       其中， n a n v          2 2    为近邻原子间的弹性系数。 第 n 个原子的受力为，f=f 左+f 右 f 左＝－(un－un-1) f 右＝－(un－un+1) 所以，第 n 个原子的牛顿运动方程为 mun  f 左+f 右＝( un+1+ un-1－2 un) (3.2－4) 这里，n=1，2，3，.，N。 即：对 N 原子链，共有 N 个这样的联立方程（齐次线性方程）。 2、格波解 可以验证(3.2－4)式具有下列形式的解， ( ) (3.2 5) ( )    i tnaq un q unq Ae  将（3.2－5）式代入（3.2－4）可得：

02=291-c0sag(32-6) (3.2-6) m 即：只要o与q满足关系(32-6)，(3.2-5)式就是联立方程(32-4)的解。 (3.2-5)式中A为振幅，o为角频率，0g为第n个原子的振动位相因子。（注：振幅 A和角频率o是格波的函数，即A=A()=A:o=o(g)=ag·所以：q格波引起的第n个原 子的位移（振动方程3.2-5）式)为， ,(g)==Ae"- 而原子的实际总位移是所有格波的叠加， un=∑4.(q)=∑A,e 问题*：证明一维单原子晶格的简正坐标可以写为 0g=4”,线胜线线系数动，产次。 (42一5)为平面波形式，表明在简谐近似下，晶格中原子的振动是以平面波的形式存在的， 这种波称为格波（相对于连续波）。 二、布里渊区和周期性边条件 1、布里渊区 若将(3.2-5)中的a叫换成ag+2m(m为整数)，则格波解(32-5)不变。这表明可 将g限定在一定的取值范围，在此范围之外不存在新的格波解，为此取 -x<aqsn 或-a<gsla(3.2-7) 由(32-7)定义的q的取值范围，包括了所有可解的格波解，称为布里渊区。 2、有限介质玻恩一卡曼条件（周期性边条件） 对于有限链情况，两端的原子只受到一个近邻原子的作用，联立方程的形式（在端点） 发生变化，求解就复杂了，为此常利用玻恩一卡曼条件：将N个原子有限链看作头尾相接 的环。这时，方程(32-4)及其解仍然适用，只是要求N+1号原子就是1号原子： Ung =UNl 也即：

6 (1 cos ) (3.2 6) 2 2   aq  m   或 ) (3.2 6) 2 1 sin ( 2 4 2  aq  m   即:只要与 q 满足关系（3.2－6），（3.2－5）式就是联立方程（3.2－4）的解。 （3.2－5）式中 A 为振幅，为角频率，naq 为第 n 个原子的振动位相因子。（注：振幅 A 和角频率是格波的函数，即 A＝A(q)＝Aq；＝(q)＝q。所以：q 格波引起的第 n 个原 子的位移（振动方程(3.2-5)式）为， ( ) ( ) i t naq n nq q q u q u A e     。 而原子的实际总位移是所有格波的叠加，      q i t naq q q n n q u q A e ( ) u ( )  问题**：证明一维单原子晶格的简正坐标可以写为 i t q q Q q NmA e  ( )  ; 线性变换系数为 inaq nq e N a   1 （4.2－5）为平面波形式，表明在简谐近似下，晶格中原子的振动是以平面波的形式存在的， 这种波称为格波（相对于连续波）。 二、布里渊区和周期性边条件 1、布里渊区 若将（3.2－5）中的 aq 换成 aq+2m (m 为整数)，则格波解（3.2－5）不变。这表明可 将 aq 限定在一定的取值范围，在此范围之外不存在新的格波解，为此取 －<aq 或 －/a<q/a (3.2-7) 由(3.2-7)定义的 q 的取值范围，包括了所有可解的格波解，称为布里渊区。 2、有限介质 玻恩－卡曼条件（周期性边条件） 对于有限链情况，两端的原子只受到一个近邻原子的作用，联立方程的形式（在端点） 发生变化，求解就复杂了，为此常利用玻恩－卡曼条件：将 N 个原子有限链看作头尾相接 的环。这时，方程（3.2－4）及其解仍然适用，只是要求 N＋1 号原子就是 1 号原子： u1q  u(N 1)q 也即：

ef-ag(=el(e-ag)e-Nag =ef(e-ag) 故e-=1(32-8) 因此，NagF2xh(h为整数) 9-0462-9 由于-la<gsla 所以-N2<hsN2(32-10) 所以， g急-急-老兮- (32-10)式表明h共有N个不同取值，所以g有N个值，每一q对应一个格波，共有N 个不同格波。即一维原子链中总共可以存在与自由度相同的格波数（注：这是一个一般结论）。 三、色散关系和格波速度 1、色散关系 由(32-6)式，并注意到物理上要20， (-π/a<q≤π/a) (32-11) (32-11)式称为色散关系。 图画出了色散关系曲线 维单原子链中格波的色散关系(0~？函数关系) 2、格波速度（相速度）V。 (长波极 限：q→0) (注：只求大小) 按定义 2g悟- 7

7 i t aq(N 1) i( t aq) iNaq i( t aq) e e e e           故  1 (3.2  8) iNaq e 因此， Naq=2h (h 为整数) (3.2 9) 2  h  Na q  由于 －/a<q/a 所以 －N/2<hN/2（3.2－10) 所以,                  a N Na N a Na h Na q 1), 2 ( 2 1), , 2 ( 2 ( ), 2  （3.2－10)式表明 h 共有 N 个不同取值，所以 q 有 N 个值，每一 q 对应一个格波，共有 N 个不同格波。即一维原子链中总共可以存在与自由度相同的格波数（注：这是一个一般结论）。 三、色散关系和格波速度 1、色散关系 由（3.2－6）式，并注意到物理上要0， 则 ( / / ) 2 1 2 sin aq a q a m        （3.2－11） （3.2－11）式称为色散关系。 图画出了色散关系曲线 2、格波速度（相速度）vp ( 长 波 极 限: q0) （注：只求大小） 按定义 m a a m aq q a m q aq m q v p / / 2 1 2 2 1 2 sin          

注意到F=-B8=-Ba 则pa为伸长模量(y) 所以，=（白2(m线密度 这表明，在长波极限(q0),品格中传播的格波就象在连续介质中传播一样，这也是从微观 角度对连续介质的波速公式的论证。（习题） 3、群速度 (能量传播的速度，波包的速度) (注：只求大小) 按定义可求出。 dg 显然，q=士π/a=0。即，布里渊区边界处，群速度为零。其实，q=士π/a对应的 是驻波(~2=2江=2红=2a),所以群速度，=0。 gπ/a

8 注意到 a F a      则为伸长模量（） 所以 1/ 2 ( )   vp  (=m/a=线密度) 这表明，在长波极限（q~0），晶格中传播的格波就象在连续介质中传播一样，这也是从微观 角度对连续介质的波速公式的论证。（习题） 3、群速度 vg （能量传播的速度，波包的速度） （注：只求大小） 按定义 dq d vg   可求出， ) 2 1 . cos( aq m a dq d vg      显然，q   / a, vg  0。即，布里渊区边界处，群速度为零。其实，q   / a 对应的 是驻波（ a q a 2 / 2 2        ）, 所以群速度 vg＝0

§4.3一维双原子链（一维复式晶格）、声学波和光学波 一、振动方程及格波解 1、振动方程 ←一个晶胞》 8 ● (2m-2)(2m -13 (2+1)(2m+2) 维双原子链模型 仿照一维单原子链情况，一维双原子链上原子的振动方程为， ml2n=B(31+gm-1-2n）(3.3-1） M1l2m+1=B(en+2+n-2W+）(3.3-2) 这两个方程分别是第个晶胞内两个原子的振动方程。对包含N个原胞的一维双原子 链，共有N个这样的联立方程组（即2N个方程）. 2、格波解和色散关系 (3.3-1&2)式具有下列形式的解， “zn(q)）=Aew-2nagl zni(q）=Bew-2m+lagl (3.3-3) 注：n是原胞编号。 (3.3-3)代入(3.3-1&2)可得： (mo2-2B)A+(2Bcosaq)B=0] (3.3-4) (2Bcosaq)A+(M@2-2B)B=0] (3.3一4)有解的条件是它的系数行列式为零，即： K(mo2-2B) (3.3-5) (2B cosaq) (Mo-28) 由(3.3一5)式可得， oi=pm+M (3.3-6 mM [将(3.3-6)式带回到(33-4)式可得

9 §4.3 一维双原子链（一维复式晶格）、声学波和光学波 一、振动方程及格波解 1、振动方程 仿照一维单原子链情况，一维双原子链上原子的振动方程为， mu n  2 ( u2n+1+ u2n-1－2 u2n) (3.3－1) Mu n  2 1 ( u2n+2+ u2n－2 u2n+1) (3.3－2) 这两个方程分别是第 n 个晶胞内两个原子的振动方程。对包含 N 个原胞的一维双原子 链，共有 N 个这样的联立方程组（即 2N 个方程）。 2、格波解和色散关系 (3.3－1&2)式具有下列形式的解， (3.3 3) ( ) ( ) [ (2 1) ] 2 1 ( 2 ) 2            i t n aq n i t naq n u q Be u q Ae   注：n 是原胞编号。 （3.3－3）代入（3.3－1&2）可得： (3.3 4) (2 cos ) ( 2 ) 0 ( 2 ) (2 cos ) 0 2 2            aq A M B m A aq B       (3.3－4)有解的条件是它的系数行列式为零，即： 0 (3.3 5) (2 cos ) ( 2 ) ( 2 ) (2 cos ) 2 2           aq M m aq 由(3.3－5)式可得， sin ( ) (3.3 6) ( ) 4 1 1 2 1 2 2 2                        aq m m mM mM m M   [将(3.3－6)式 带回到] 由(3.3－4)式可得

）.-2 A 2Bcosag (3.3-7 (33一6)式表明存在两种色散关系：(q)和@.(q,且>@.（如图示）。后面将说明，相 应的格波称为光学波：@相应的格波称为声学波。 二、布里渊区和周期性边 条件 l、布里渊区(Brillouin ,(q) Zone) 若将(3.3-3)中的 2ag换成2ag叶2m(m为 o.(q) 整数)，格波解(33一3) 不变。这表明可将2ag π 限定在一定的取值范围， 0 2a 2a 在此范用之外不存在新 两种格波的色散关系：®0-光学波：®.（心-声学波 的格波解，为此取 -π<2agsr 或-元2a<qs元2a(3.3-8) 由(3.3-8)定义的9的取值范围，包括了所有可解的格波解，称为布里渊区。 注意，在布里渊区内，一个g对应两个格波(@(q)和o(q)。 2、周期性边条件 对于有限链情况，两端的原子只受到一个近邻原子的作用，联立方程的形式（在端点》 发生变化，求解就复杂了。为此常利用玻恩一卡曼条件：将2W个原子有限链看作头尾相接 的环。这时，方程(32-1,2)及其解仍然适用，只是要求2N+1号原子就是1号原子： ig uN+1)g 也即： elo1-2ag(N+I]=ei(ot-2aq)e-iN2ag=ei@t-2ag) 6

10 (3.3 7) 2 cos 2 2 cos 2 2 2                               aq M A B aq M A B       (3.3－6)式表明存在两种色散关系：+(q)和-(q)，且+>-（如图示）。后面将说明，+相 应的格波称为光学波；-相应的格波称为声学波。 二、布里渊区和周期性边 条件 1 、 布 里 渊 区 (Brillouin Zone) 若将（3.3－3）中的 2aq 换成 2aq+2m (m 为 整数)，格波解（3.3－3） 不变。这表明可将 2aq 限定在一定的取值范围， 在此范围之外不存在新 的格波解，为此取 －<2aq 或 －/2a<q/2a (3.3-8) 由(3.3-8)定义的 q 的取值范围，包括了所有可解的格波解，称为布里渊区。 注意，在布里渊区内，一个 q 对应两个格波（+(q)和-(q)）。 2、周期性边条件 对于有限链情况，两端的原子只受到一个近邻原子的作用，联立方程的形式（在端点） 发生变化，求解就复杂了。为此常利用玻恩－卡曼条件：将 2N 个原子有限链看作头尾相接 的环。这时，方程（3.2－1，2）及其解仍然适用，只是要求 2N＋1 号原子就是 1 号原子： u1q  u(N 1)q 也即：   e e e e i t aq N  i t aq iN aq i t aq   2 ( 1) ( 2 ) 2 ( 2 )