《路面设计原理与方法》（第二版）第四讲 水泥混凝土路面应力（一）

路面设计原理与方 第四讲水泥混凝土路面应力(一) 早期荷载应力计算( C. Older1920年) 1.计算公式 假定地基脱空,板是悬臂变截面 梁,由此推导出计算公式 图6-1路面板与地基脱开 M= Pa VIol 地基假定 1.温克勒地基 2.弹性半空间地基 三. Wester aa rd计算公式 1.基本假定 形变分量E极其微小,可以不计,E2=0 0;Vx=0=0 2.理论分析 从板上割取长和宽各为d,和d高为H得单元,根据单元的平衡条件(∑Z Mx=0;∑M,=0),可导出当板表面作用竖向荷载p,地基对板的作用反力q,板中面 的挠曲微分方程为 DV2V2w+g=p 由温克勒地基假定,q(x,y)=kw(x,y)得 DVVw+ kw=p WESTERGAARD经过假定,提出了应力分析的理论公式 3.荷载位置 4.应力计算 【1】荷载作用于板中(荷位1) 板底最大应力 a=1(1+)1+02673)21= eh 12-) 【2】荷载作用于板边(荷位2) 第54页

路面设计原理与方法 第54页 第四讲 水泥混凝土路面应力（一） 一．早期荷载应力计算（C.Older 1920 年） １．计算公式 假定地基脱空，板是悬臂变截面 梁，由此推导出计算公式。   M Pa I y ah h ah P h h P ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝      2 12 2 3 3 3 2 2 2 二．地基假定 １．温克勒地基 ２．弹性半空间地基 三．Ｗｅｓｔｅｒｇａａｒｄ计算公式 １．基本假定 形变分量z 极其微小，可以不计，z＝０ ｚｘ＝ｚｙ＝０ ｕｚ＝０＝０；ｖｚ＝０＝０ 2．理论分析 从板上割取长和宽各为ｄｘ和ｄｙ高为Ｈ得单元，根据单元的平衡条件（Ｚ＝０； Ｍｘ＝０；Ｍｙ＝０），可导出当板表面作用竖向荷载ｐ，地基对板的作用反力ｑ，板中面 的挠曲微分方程为： Ｄ 2 2w＋ｑ＝ｐ 由温克勒地基假定，ｑ（ｘ，ｙ）＝ｋw（ｘ，ｙ）得： Ｄ 2 2w＋ｋw＝ｐ ＷＥＳＴＥＲＧＡＡＲＤ经过假定，提出了应力分析的理论公式。 3．荷载位置 4．应力计算 【１】荷载作用于板中（荷位１） 板底最大应力 ( ) ( )    i c c c l b P h l E h K ＝11 1 0 2673 12 1 2 3 2 . + lg + . , 4       = − 【２】荷载作用于板边（荷位２） 图 6-1 路面板与地基脱开

路面设计原理与方法 =2116054)1g+00905 【3】荷载作用于板角(荷位3) 2R 5.半径R的修正 在弹性薄板假定中,忽略了竖向应力σ2的影响 并假定任何垂直于中面的直线在弯曲以后仍然为直 线。如果作用在面板上的力不出现集中现象,荷载半 径R与厚度h相差并不大,则以上的假定是符合实际 的.假如出现集中现象,R同h相比,小于某一限度 则以上的假定不再符合实际。应按照厚板理论进行计 算。由此采用当量半径b取代实际半径R。b和R的 关系按下式确定 当R(724h时,b=√16R2+h2-0675 0.20.50.7h 当R).724h时,b=R (6-18) 图6-4半径修正 6.阿灵顿试验路 1930年美国在阿灵顿( ArIi ng ton)进行了混凝土路面足尺试验,通过 试验,对应力计算公式进行了修正 【1】荷载作用于板中(荷位1) 认为实测应力小于计算值,Ke11y和 Br a d bu y提出了应力修正公式。 当L=1.757,μ=0.15时,Ke11y板底最大应力修正公式: L a=03164lg+0.178 (6-19) 当L=51,μ=0.15时, Br a d bu ry板底最大应力修正公式 =0316419b1063A (620) 由计算结果可知,修正结果比没有修正的结果小9-28% 【2】荷载作用于板边(荷位2) 在没有翘曲的情况下,对于常用的轮印,实测应力与理论计算结果很一致:假如a值 较大,则实测应力大于理论计算结果:假如a较小,则实测应力小于理论计算结果,但差 异很小。在白天有翘曲的情况下,对于常用的轮印,实测应力略大于理论计算结果;在夜 晚有翘曲的情况下,对于常用的轮印,实测应力明显大于理论计算结果。 Ke II y提出了修正。当L=5时 =0.5724g+1g (621) b 由计算结果可知,凯利结果比没有修正的结果大6-17% 【3】荷载作用于板角(荷位3) Br a d bury提出的修正公式相当于将地基的反应模量减少为原有的四分之 第55页

路面设计原理与方法 第55页  (  ) e c l b P h ＝2116 1 054 0 08975 2 . + . lg + .       【３】荷载作用于板角（荷位３） c R l P h = −               3 1 2 0 6 2 . 5．半径Ｒ的修正 在弹性薄板假定中，忽略了竖向应力ｚ的影响， 并假定任何垂直于中面的直线在弯曲以后仍然为直 线。如果作用在面板上的力不出现集中现象，荷载半 径Ｒ与厚度ｈ相差并不大，则以上的假定是符合实际 的．假如出现集中现象，Ｒ同ｈ相比，小于某一限度， 则以上的假定不再符合实际。应按照厚板理论进行计 算。由此采用当量半径ｂ取代实际半径Ｒ。ｂ和Ｒ的 关系按下式确定∶ 当 时， ＝ 当 时， R h b R h h R h b R  + −  = 1724 16 0 675 1724 2 2 . . . . （6-18） 6．阿灵顿试验路 １９３０年美国在阿灵顿（Ａｒｌｉｎｇｔｏｎ）进行了混凝土路面足尺试验，通过 试验，对应力计算公式进行了修正。 【１】荷载作用于板中（荷位１） 认为实测应力小于计算值，Ｋｅｌｌｙ和Ｂｒａｄｂｕｒｙ提出了应力修正公式。 当Ｌ＝１．７５ l ，＝０．１５时，Ｋｅｌｌｙ板底最大应力修正公式： i L b P h ＝0 316 4 0178 2 . lg + .       （6-19） 当 L=5 l ，＝０．１５时，Ｂｒａｄｂｕｒｙ板底最大应力修正公式。 i L b P h ＝0 316 4 0 633 2 . lg + .       （6-20） 由计算结果可知，修正结果比没有修正的结果小 9－28％ 【２】荷载作用于板边（荷位２） 在没有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力与理论计算结果很一致；假如ａ值 较大，则实测应力大于理论计算结果；假如ａ较小，则实测应力小于理论计算结果，但差 异很小。在白天有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力略大于理论计算结果；在夜 晚有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力明显大于理论计算结果。 Ｋｅｌｌｙ提出了修正。当Ｌ＝５ l 时 2 0.572 4lg lg h P b b L e       ＝  ＋ （6-21） 由计算结果可知，凯利结果比没有修正的结果大６－１７％ 【３】荷载作用于板角（荷位３） Ｂｒａｄｂｕｒｙ提出的修正公式相当于将地基的反应模量减少为原有的四分之一。 图 6-4 半径修正

路面设计原理与方 R (6-22) Ke II y通过观测,在白天有翘曲的情况下,对于常用的轮印,板与地基保持接 触,实测应力与理论计算结果一致;在夜晚有向上翘曲的情况下,对于常用的轮印,实测 应力明显大于理论计算结果,且大于 Br a d bury公式的计算结果,Kel1y提出 了修正公式。 √2R P (6-23) h 四.弹性半空间地基刚性路面应力分析 1.基本假定 形变分量c2极其微小,可以不计,E2=0 2.弹性曲面微分方程 DVVW+g=p eh 2 3.公式推导 利用亨格尔变换方法,可以推导理论解 亨格尔变换 f(r)=f(so( r)sds V'p(ro( r)rdr=-g2p(s fviplMo(s r)rdr=5 po() 对弹性曲面微分方程求亨格尔变换,得 DW(5)+q()=p(5) 而地基的垂直位移公式为: ()=20)v(5k5=C((k E 2k() DEWIa, EsW=p(E) 2- 第56页

路面设计原理与方法 第56页 c R l P ＝ h 3 1 0 6 − 2             . （6-22） Ｋｅｌｌｙ通过观测，在白天有翘曲的情况下，对于常用的轮印，板与地基保持接 触，实测应力与理论计算结果一致；在夜晚有向上翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测 应力明显大于理论计算结果，且大于Ｂｒａｄｂｕｒｙ公式的计算结果，Ｋｅｌｌｙ提出 了修正公式。 c R l P h ＝3 1 2 1 2 − 2               . （6-23） 四．弹性半空间地基刚性路面应力分析 １．基本假定 形变分量z 极其微小，可以不计，z＝０ ｚｘ＝ｚｙ＝０ ｕｚ＝０＝０；ｖｚ＝０＝０ ２．弹性曲面微分方程 Ｄ 2 2Ｗ＋ｑ＝ｐ ( ) D Ec h c = − 3 2 12 1  ３．公式推导 利用亨格尔变换方法，可以推导理论解。 亨格尔变换∶ ( ) ( )    ()            0 0 0 4 0 2 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ４ ２  =  = − = =         r J r rdr r J r rdr f r f J r d f f r J r rdr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                      p W D W E q W q J r d W J r d E W r D W q p + = = = − = +     ２ ４ ２ ２ ４ － Ｅ － 而地基的垂直位移公式为： （ ） ＝ 对弹性曲面微分方程求亨格尔变换，得 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 ( ) 2(1 ) ( ) ( )

路面设计原理与方 W()= D24+ W(r)=DW((5 ErEs E 6E(1-Ha 均布荷载 p()=ma)=P/(a) 集中荷载 p()= P Pr°小( 5(5)-(5) ,共(()+(k 当r→0时 因 P(1+H。 M -Me 01-3+5 4.贝塞尔函数的计算 计算方法同前 5.弹性半空间地基板路面计算程序(CP03) (2)数据文件cpo3dat 1,4,4,350000,500.,0.15,0.35,15 0.,0.,20.,20. 0.40.0.40 20.,-20.,20.20. 40.,40,-40.40 5000.5000.5000.5000 15.,15.,15.,15 (3)计算结果cp0out 第57页

路面设计原理与方法 第57页 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )              d l p J r E W r W r W J r d E D p W     + = = = 0 3 3 0 0 2 0 0 0 2 0 4 0 1 2 1 2 1 （－ ） （ ） （ ） （ ） － ＋ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )           2 6 1 1 1 1 2 0 2 0 P p a paJ a PJ a p E E l h c c ＝ 集中荷载 ＝ 均布荷载 － － ＝ ３ = ( ) M ( ) ( ) P a J a l J r r J r d r ＝ c  ＋        1 3 3 0 0 1 1 −   −  −      ( ) ( ) ( ) ( ) M P a J a l J r r J r d r Lim J r r  c        ＝   ＋ 当 时 因 ０ ０ 1 ｃ 3 3 1 1 1 0 1 2 −   +  −      → = ( ) ( ) M M P a J a l r ＝ ＝ d ＋ ｃ １  ０ ３      1 2 3 + −   ４．贝塞尔函数的计算 计算方法同前 ５．弹性半空间地基板路面计算程序（ＣＰ０３） （１）程序 （２）数据文件 cp03dat 1,4,4,350000.,500.,0.15,0.35,15. 0.,0.,20.,20. 0.,40.,0.,40. -20.,-20.,20.,20. -40.,40.,-40.,40. 5000.,5000.,5000.,5000. 15.,15.,15.,15. 48. （３）计算结果 cp03out

路面设计原理与方 五.多层地基板及有限尺寸板 多层地基板 了解层状地基与板的分析方法 2.有限尺寸板 刚性指数 R一一板的刚性半径 S10绝对柔性板 六.混凝土路面荷载应力的有限元分析概述 1.弹性力学问题的解法 理论法 有限差分法 有限元法 变分法 2.有限元法的发展 张佑启和监克维奇1965年首先分析弹性地基板 hudson,W. R a nd ma tOck,H分析了刚性路面出现翘 曲的情况 Hu ang,Y.H分析了刚性路面的温度应力和接缝混凝土路面 姚祖康、邓学钧和王秉纲等都分析了刚性路面的应力 1.基本理论 利用弹性曲面微分方程,可以得出板中弯矩与挠度的关系为: E As 2 (M=[DIx 第58页

路面设计原理与方法 第58页 五．多层地基板及有限尺寸板 １．多层地基板 了解层状地基与板的分析方法 ２．有限尺寸板 刚性指数 S E E R h ＝ － Ｒ－－ 板 的 刚 性 半 径 ２ ０ 3 ２ 1 1 0 3 3 −   Ｓ＜０．５ 绝对刚性板 ０．５＜Ｓ＜１０ 有限刚性板 Ｓ＞１０ 绝对柔性板 六．混凝土路面荷载应力的有限元分析概述 １．弹性力学问题的解法 理论法 有限差分法 有限元法 变分法 ２．有限元法的发展 张佑启和监克维奇１９６５年首先分析弹性地基板 Ｈｕｄｓｏｎ，Ｗ．Ｒ ａｎｄ Ｍａｔｌｏｃｋ，Ｈ 分析了刚性路面出现翘 曲的情况 Ｈｕａｎｇ，Ｙ．Ｈ 分析了刚性路面的温度应力和接缝混凝土路面 姚祖康、邓学钧和王秉纲等都分析了刚性路面的应力 1．基本理论 利用弹性曲面微分方程，可以得出板中弯矩与挠度的关系为：        M E h w x w y w x y M D c c c ＝ （ ） c － － － ＝ ｃ ２ 3 2 2 2 2 2 12 1 1 0 1 0 0 0 1 2 2 − −                                                      =                   － － － ２ 2 2 2 2 2 w x w y w x y

路面设计原理与方 式中 Eh 2(1-42)41 00 由此可知,只要知道板的位移表达式,可以得出板中的弯矩 2.矩形薄板单元的位移模式 由于道路与机场的水泥混凝土路面板采用矩形分块,因此在有限元分析中,采用矩形 单元较为合适。此外,采用矩形单元可以较好地反映弹性薄板位移分布的非线性性质 块连续的薄板被离散化,分割为若干个单元之后,单元各结点相互连接。由于相邻单元之 间有法向力和力矩传递,所以结点必然要满足刚性连接的要求。即对于几个单元共有的结 点,它的广义位移,对于每个单元都是相等的,所承受的广义结点力也相等。单元的编号 顺序与结点的编号顺序是任意的,但是必须保证计算分析时,计算机程序结构紧凑,总刚 度矩阵带宽较窄,少占机器内存 由于薄板的位移、形变、应力、内力等都可以单一地用挠度w来表示,因此,薄板单 元中的位移模式问题,就是挠度w取什么样的函数(坐标x和y的函数)的问题。如取弹性地 基板的单元为矩形薄板单元,一个矩形薄板单元在四个角点上各有三个自由度,故挠度w 的表达式含有12个参数,现取如下的位移模式 + 2x+a y+a4x+asxy+a y+ax+asx++,x y 图6-8单元结点力与结点位移 矩形薄板单元节点位移的正向及其相应的节点力,转角的正向以右手螺旋规则决定 由几何关系有b 及b, a,因此在节点,它的位移可以表示为 (6-42) O 如果已知各结点的位移,则可以解出12系数与结点位移的关系式,回代后得 w=[N]{} (643) 将式(6-43)代入式(6-40)得 第59页

路面设计原理与方法 第59页 式中：  D Ech c c = c − −               3 2 12 1 1 0 1 0 0 0 1 2 （ ） ｃ     由此可知，只要知道板的位移表达式，可以得出板中的弯矩。 2．矩形薄板单元的位移模式 由于道路与机场的水泥混凝土路面板采用矩形分块，因此在有限元分析中，采用矩形 单元较为合适。此外，采用矩形单元可以较好地反映弹性薄板位移分布的非线性性质。一 块连续的薄板被离散化，分割为若干个单元之后，单元各结点相互连接。由于相邻单元之 间有法向力和力矩传递，所以结点必然要满足刚性连接的要求。即对于几个单元共有的结 点，它的广义位移，对于每个单元都是相等的，所承受的广义结点力也相等。单元的编号 顺序与结点的编号顺序是任意的，但是必须保证计算分析时，计算机程序结构紧凑，总刚 度矩阵带宽较窄，少占机器内存。 由于薄板的位移、形变、应力、内力等都可以单一地用挠度 w 来表示，因此，薄板单 元中的位移模式问题，就是挠度 w 取什么样的函数(坐标 x 和 y 的函数)的问题。如取弹性地 基板的单元为矩形薄板单元，一个矩形薄板单元在四个角点上各有三个自由度，故挠度 w 的表达式含有 12 个参数，现取如下的位移模式： Ｗ＝ａ１＋ａ２ｘ＋ａ３ｙ＋ａ４ｘ ２＋ａ５ｘｙ＋ａ６ｙ ２＋ａ７ｘ ３＋ａ８ｘ ２ｙ＋ａ９ｘ ｙ ２＋ａ１０ｙ ３＋ａ１１ｘ ３ｙ＋ａ１２ｘｙ ３ 矩形薄板单元节点位移的正向及其相应的节点力，转角的正向以右手螺旋规则决定。 由几何关系有    x w y = − 及 x w y    = ，因此在节点 i，它的位移可以表示为                                    = −           = i i i yi xi i x w y w w w      i  （6-42） 如果已知各结点的位移，则可以解出１２系数与结点位移的关系式，回代后得： w  N  ＝ e  （6-43） 将式（6-43）代入式（6-40）得： 图 6-8 单元结点力与结点位移

路面设计原理与方 (x)=-ow (6-44) =[B]{G6}° 将式(6-44)代入式(6-39)得: M}=[DB]{a} (6-45) 3.单元刚度矩阵(虚功原理) 根据虚位移原理,如果在一组外荷载作用下,弹性体是处于平衡状态的,当其受到 附加微小的与约束条件相适应的虚位移(即经过虚位移后,结构仍为一连续体),同时力系在 虚位移过程中始终保持平衡,则外荷载在虚位移上的虚功,就等于整个弹性体内应力在虚 应变上的虚功。 }'{F}=∫/;}{oah (6-46) 将虚位移原理应用于矩形薄板单元,其虚功方程为: (6-47) 因{x}=[Bl (M=DIBI8 则:{F=[B[ DIB]dxdy18 (6-48) F K]=IB]IDIBldxdy (6-49) 式(6-49)为单元刚度矩阵 4.地基刚度矩阵 矩形薄板刚度矩求得后,还要和矩形薄板地基刚度矩阵相加,才能得到弹性地基矩形 薄板刚度矩阵。刚性路面的力学分析通常采用温克勒地基和弹性半空间地基两种模式,下 面分别推导这两种地基模式的地基刚度矩阵。 (1)温克勒地基 设单元jk角点发生虚位移,则: (y=回v;mv以}(650 图6-9地基反力与相应的虚位移 此时,节点力(F}在虚位移上的虚功为({8})r(F}°,板中某微分面积dxdy 的内力在虚应变上的虚功为({x})TM}dxdy,板底某微分面积上的地基反力在虚 第60页

路面设计原理与方法 第60页            =                    = － － － ２ 2 2 2 2 2 w x w y w x y B e （6-44） 将式（6-44）代入式（6-39）得： M DB  e =  （6-45） 3．单元刚度矩阵（虚功原理） 根据虚位移原理，如果在一组外荷载作用下，弹性体是处于平衡状态的，当其受到一 附加微小的与约束条件相适应的虚位移(即经过虚位移后，结构仍为一连续体)，同时力系在 虚位移过程中始终保持平衡，则外荷载在虚位移上的虚功，就等于整个弹性体内应力在虚 应变上的虚功。          =  T T F dxdydz （6-46） 将虚位移原理应用于矩形薄板单元，其虚功方程为： (  )         =  ｅ T e T F M dxdy （6-47）            因      = = B M D B e e               则 ： F B D B dxdy F K e T e e e = =    （6-48） K  B  D Bdxdy T =  （6-49） 式（6-49）为单元刚度矩阵 4．地基刚度矩阵 矩形薄板刚度矩求得后，还要和矩形薄板地基刚度矩阵相加，才能得到弹性地基矩形 薄板刚度矩阵。刚性路面的力学分析通常采用温克勒地基和弹性半空间地基两种模式，下 面分别推导这两种地基模式的地基刚度矩阵。 （1）温克勒地基 设单元 ijlk 角点发生虚位移，则： ( )   * yk * xk * * yl * xl * * yj * xj * * yi * xi * *  i   j   l   k   T = w w w w (6-50) 此时，节点力｛Ｆ｝e在虚位移上的虚功为（｛δ*｝）T｛Ｆ｝e，板中某微分面积 dxdy 的内力在虚应变上的虚功为（｛χ｝*）T｛Ｍ｝edxdy，板底某微分面积上的地基反力在虚 图 6-9 地基反力与相应的虚位移

路面设计原理与方 位移上的虚功为 w*pdxdy=kw*wdxdy (6-51) 以上各式中,p为单位面积上的地基反力,k为地基反应模量,其余符号同前。因此,虚功 方程为 {}){F)-j{}k。mdc=∫∫{x){Mhh(6-52) -a-b 因: {v}=[N]{s}° {w"}=[N]{s x}=[B]{"} M}=[DB]{S}° 代入可得 F}=([Dldh+K∫NNdb)l)(653) 也可简写为: F}°=(k]+[]{o} (6-54) [] kab 6300 1226-548b398a3454 对 称 48b-240b2168ab922b320b2 232b232a 398b548a3454 232b120b2112ab398b160b2168ab922b320b2 394232b232a1226548b-398a3454 168ab-232b-120b2-112ab-548b-240b2168ab-922b320b2 548a168b240a2-232a-112ab-120a2-398a-168ab160a2-922a252ab320a2 对温克勒地基的处理,还可以采用一种简化的方法,即在薄板划分成单元之后,把每 个结点范围内的地基当作为弹性支柱,并且以结点处的挠度作为弹性支柱的压缩量 图6-9单元的结点沉降与结点反力 地基反力来自于假定的弹性支柱,其反力施加于四个结点: q, oab (6-55) 在求解方程时,将地基反力作为一种结点力,施加于单元结点,可得到: 第61页

路面设计原理与方法 第61页 位移上的虚功为 w*pdxdy=kw*wdxdy （6-51） 以上各式中，p 为单位面积上的地基反力，k 为地基反应模量，其余符号同前。因此，虚功 方程为： (  )             − −  − − −   =   e T e b b a a T b b a a T F w K w dxdy M dxdy 0 （6-52） 因：                      w N w N B M D B e e e e = = = =          代入可得： F B DBdxdy K  N  Ndxdy   e T T e =  +  ( ) 0  （6-53） 也可简写为： F K K    e s e = ( + )  （6-54） K  K ab b b a ab a b a b b ab b b a ab a a ab a b a b a b b ab b b ab b b a ab a a ab a a ab s =  − − − − − − − − − − − − − − 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6300 3454 922 320 922 252 320 1226 548 398 3454 548 240 168 922 320 398 168 160 922 252 320 394 232 232 1226 398 548 3454 232 120 112 398 160 168 922 320 232 112 120 548 168 240 922 252 320 对 称 a b a b a b a b b ab b b ab b b ab b b a b a a ab a a ab a a ab a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1226 398 548 394 232 232 1226 548 398 3454 398 160 168 232 120 112 548 240 168 922 320 548 168 240 232 112 120 398 168 160 922 252 320 − − − − − − − − − − − − − − − − − −                                       对温克勒地基的处理，还可以采用一种简化的方法，即在薄板划分成单元之后，把每 个结点范围内的地基当作为弹性支柱，并且以结点处的挠度作为弹性支柱的压缩量。 地基反力来自于假定的弹性支柱，其反力施加于四个结点： q q q q q k ab w w w w e i j l k i j l k =               =               0 4 （6-55） 在求解方程时，将地基反力作为一种结点力，施加于单元结点，可得到： 图 6-9 单元的结点沉降与结点反力

路面设计原理与方 F}-{q}=[]( (6-56) 将式(6-55)代入,整理后可得 F=18+y 将式中等号右边第二项也写成线点位移与刚度矩阵的形式: 00 对称 由此可见,在形成包括薄板与地基在内的总刚度矩阵时,只需在薄板刚度矩阵的主对角 元与竖向位移w相关的元素项加上koab4即可。这种处理方法比较简单,对于边界不受约 束的弹性地基板,在挠度比较均匀的情况下,不致产生过大的误差,但是对于地基支承不 均匀,特别是边界受约束的弹性地基板,则误差较大 (2)弹性半空间地基 将弹性半空间地基上薄板的假定用于刚性路面应力的有限元分析,其地基刚度矩阵的 建立,可以采用布辛尼斯克公式。假定在结点i四周的地基反力是均匀分布的,由该反力荷 载引起的任意点的挠度可写为: =2=动 (6-58) x=y=0,即荷载中心时 W= PF (6-59) 式中:F= 1-A4)a mae bn+lata+ W=PF (6-60) Ted d为n点离i点的距离 由于弹性半空间体表面各结点处的力对各点的垂直位移都有影响,可以运用矩阵运算 第62页

路面设计原理与方法 第62页 F q K  e e e − =  （6-56） 将式(6-55)代入，整理后可得： F K  k ab w w w w e e i j l k = +                0 4 （6-57） 将式中等号右边第二项也写成线点位移与刚度矩阵的形式： K  K ab s e ＝ 对 称 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0                                       由此可见，在形成包括薄板与地基在内的总刚度矩阵时，只需在薄板刚度矩阵的主对角 元与竖向位移 w 相关的元素项加上 k0ab/4 即可。这种处理方法比较简单，对于边界不受约 束的弹性地基板，在挠度比较均匀的情况下，不致产生过大的误差，但是对于地基支承不 均匀，特别是边界受约束的弹性地基板，则误差较大。 （2）弹性半空间地基 将弹性半空间地基上薄板的假定用于刚性路面应力的有限元分析，其地基刚度矩阵的 建立，可以采用布辛尼斯克公式。假定在结点 i 四周的地基反力是均匀分布的，由该反力荷 载引起的任意点的挠度可写为： ( ) ( ) ( ) W P ab E d d x y ni i a b = − − + −   2 2 1 4 0 2 0 0 0 2 2       （6-58） 当 x = y = 0, 即 荷 载 中 心 时， Wii = Pi Fii （6-59） 式中： ( ) F aE a b b a b a a b a b ii = − +       +         + +       +                 1 1 1 0 2 0 2 2   ln ln Wni = Pi Fni （6-60） 式中： F E d ni ni = 1− 0 2 0   d n i ni 为 点 离 点 的 距 离 由于弹性半空间体表面各结点处的力对各点的垂直位移都有影响，可以运用矩阵运算， 即：

路面设计原理与方 FmL Fnz . IP (w)=LEJP (6-61) {P}=F丁vK,]nw (6-62) 将地基刚度矩阵区}迭加到总刚矩阵中,可得: (F](Kbo*isa +k, D8) 此时,地基刚度矩阵的形式为: 000 K,00K (6-64) 00000 K,H 00000 0000000 00000 00000 000 5.荷载矩阵 矩形薄板单元上,与各个节点位移相应的节点荷载,可用列阵表示为 R={2TT乙TT,TTTT (6-65) 如一矩形单元在z方向作用有分布荷载q(x,y),则传给各节点的荷载为 R=∫Nqxy)dc 下面来推导荷载向节点移置的表达式(6-59)。设有法向集中荷载P作用在矩形单元i、j、 1、k上的任意点(xy)。假想该单元发生虚位移,其中(xy)点相应的虚位移为 [fe= w)e 而节点的相应虚位移为{δ}°。按照静力等效的原则,即节点荷载与原荷载在上述虚 位移上的虚功相等,可得 )(R2={} 式中:P为点(xy)处的集中荷载 因{f}=[N]{8·}c代入得 (6)(1=N)P 根据矩阵乘积的逆序法则,上式可化为: 第63页

路面设计原理与方法 第63页                                                             n n nn n n n n P P P F F F F F F F F F w w w                                  2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 ＝ w F P ＝ s （6-61） 则： P Fs  w Ks  n*n w 1 ＝ ＝ ' − （6-62） 将地基刚度矩阵Ks ' n*n迭加到总刚矩阵中，可得： F＝(K3n*3n＋Ks ) （6-63） 此时，地基刚度矩阵的形式为：   n n s s s s s s s s s s s K K K K K K K K K K K 3 *3 41 42 43 44 31 32 33 21 22 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                                       ＝ （6-64） 5．荷载矩阵 矩形薄板单元上，与各个节点位移相应的节点荷载，可用列阵表示为： R Z Z Z Z  e i j l k T = xi yi xj yj xl yl xk yk T T T T T T T T （6-65） 如一矩形单元在 z 方向作用有分布荷载 q(x,y)，则传给各节点的荷载为 R  N q x y dxdy e T =  ( , ) （6-66） 下面来推导荷载向节点移置的表达式(6-59)。设有法向集中荷载 P 作用在矩形单元 i、j、 l、k 上的任意点(x,y)。假想该单元发生虚位移，其中(x,y)点相应的虚位移为： ｛f｝e=｛w｝e 而节点的相应虚位移为｛δ｝e。按照静力等效的原则，即节点荷载与原荷载在上述虚 位移上的虚功相等，可得： (  )     * * e T e T R = f P （6-67） 式中：P 为点(x,y)处的集中荷载。 因｛f *｝=［Ｎ］｛δ*｝e代入得： (  )      * * ( ) e T e e T R = N P （6-68） 根据矩阵乘积的逆序法则，上式可化为：