《路面设计原理与方法》课程教学资源（第二版，教案讲义）第四讲水泥混凝土路面应力（一）.doc_大学文库

路面设计原理与方法第55页  (  ) e c l b P h ＝2116 1 054 0 08975 2 . + . lg + .       【３】荷载作用于板角（荷位３） c R l P h = −               3 1 2 0 6 2 . 5．半径Ｒ的修正在弹性薄板假定中，忽略了竖向应力ｚ的影响，并假定任何垂直于中面的直线在弯曲以后仍然为直线。如果作用在面板上的力不出现集中现象，荷载半径Ｒ与厚度ｈ相差并不大，则以上的假定是符合实际的．假如出现集中现象，Ｒ同ｈ相比，小于某一限度，则以上的假定不再符合实际。应按照厚板理论进行计算。由此采用当量半径ｂ取代实际半径Ｒ。ｂ和Ｒ的关系按下式确定∶ 当时，＝当时， R h b R h h R h b R  + −  = 1724 16 0 675 1724 2 2 . . . . （6-18） 6．阿灵顿试验路１９３０年美国在阿灵顿（Ａｒｌｉｎｇｔｏｎ）进行了混凝土路面足尺试验，通过试验，对应力计算公式进行了修正。【１】荷载作用于板中（荷位１）认为实测应力小于计算值，Ｋｅｌｌｙ和Ｂｒａｄｂｕｒｙ提出了应力修正公式。当Ｌ＝１．７５ l ，＝０．１５时，Ｋｅｌｌｙ板底最大应力修正公式： i L b P h ＝0 316 4 0178 2 . lg + .       （6-19）当 L=5 l ，＝０．１５时，Ｂｒａｄｂｕｒｙ板底最大应力修正公式。 i L b P h ＝0 316 4 0 633 2 . lg + .       （6-20）由计算结果可知，修正结果比没有修正的结果小 9－28％【２】荷载作用于板边（荷位２）在没有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力与理论计算结果很一致；假如ａ值较大，则实测应力大于理论计算结果；假如ａ较小，则实测应力小于理论计算结果，但差异很小。在白天有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力略大于理论计算结果；在夜晚有翘曲的情况下，对于常用的轮印，实测应力明显大于理论计算结果。Ｋｅｌｌｙ提出了修正。当Ｌ＝５ l 时 2 0.572 4lg lg h P b b L e       ＝  ＋（6-21）由计算结果可知，凯利结果比没有修正的结果大６－１７％【３】荷载作用于板角（荷位３）Ｂｒａｄｂｕｒｙ提出的修正公式相当于将地基的反应模量减少为原有的四分之一。图 6-4 半径修正

路面设计原理与方法第59页式中：  D Ech c c = c − −               3 2 12 1 1 0 1 0 0 0 1 2 （）ｃ     由此可知，只要知道板的位移表达式，可以得出板中的弯矩。 2．矩形薄板单元的位移模式由于道路与机场的水泥混凝土路面板采用矩形分块，因此在有限元分析中，采用矩形单元较为合适。此外，采用矩形单元可以较好地反映弹性薄板位移分布的非线性性质。一块连续的薄板被离散化，分割为若干个单元之后，单元各结点相互连接。由于相邻单元之间有法向力和力矩传递，所以结点必然要满足刚性连接的要求。即对于几个单元共有的结点，它的广义位移，对于每个单元都是相等的，所承受的广义结点力也相等。单元的编号顺序与结点的编号顺序是任意的，但是必须保证计算分析时，计算机程序结构紧凑，总刚度矩阵带宽较窄，少占机器内存。由于薄板的位移、形变、应力、内力等都可以单一地用挠度 w 来表示，因此，薄板单元中的位移模式问题，就是挠度 w 取什么样的函数(坐标 x 和 y 的函数)的问题。如取弹性地基板的单元为矩形薄板单元，一个矩形薄板单元在四个角点上各有三个自由度，故挠度 w 的表达式含有 12 个参数，现取如下的位移模式：Ｗ＝ａ１＋ａ２ｘ＋ａ３ｙ＋ａ４ｘ２＋ａ５ｘｙ＋ａ６ｙ２＋ａ７ｘ３＋ａ８ｘ２ｙ＋ａ９ｘｙ２＋ａ１０ｙ３＋ａ１１ｘ３ｙ＋ａ１２ｘｙ３矩形薄板单元节点位移的正向及其相应的节点力，转角的正向以右手螺旋规则决定。由几何关系有    x w y = − 及 x w y    = ，因此在节点 i，它的位移可以表示为                                    = −           = i i i yi xi i x w y w w w      i  （6-42）如果已知各结点的位移，则可以解出１２系数与结点位移的关系式，回代后得： w  N  ＝ e  （6-43）将式（6-43）代入式（6-40）得：图 6-8 单元结点力与结点位移

路面设计原理与方法第60页            =                    = －－－２ 2 2 2 2 2 w x w y w x y B e （6-44）将式（6-44）代入式（6-39）得： M DB  e =  （6-45） 3．单元刚度矩阵（虚功原理）根据虚位移原理，如果在一组外荷载作用下，弹性体是处于平衡状态的，当其受到一附加微小的与约束条件相适应的虚位移(即经过虚位移后，结构仍为一连续体)，同时力系在虚位移过程中始终保持平衡，则外荷载在虚位移上的虚功，就等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功。          =  T T F dxdydz （6-46）将虚位移原理应用于矩形薄板单元，其虚功方程为： (  )         =  ｅ T e T F M dxdy （6-47）            因      = = B M D B e e               则： F B D B dxdy F K e T e e e = =    （6-48） K  B  D Bdxdy T =  （6-49）式（6-49）为单元刚度矩阵 4．地基刚度矩阵矩形薄板刚度矩求得后，还要和矩形薄板地基刚度矩阵相加，才能得到弹性地基矩形薄板刚度矩阵。刚性路面的力学分析通常采用温克勒地基和弹性半空间地基两种模式，下面分别推导这两种地基模式的地基刚度矩阵。（1）温克勒地基设单元 ijlk 角点发生虚位移，则： ( )   * yk * xk * * yl * xl * * yj * xj * * yi * xi * *  i   j   l   k   T = w w w w (6-50) 此时，节点力｛Ｆ｝e在虚位移上的虚功为（｛δ*｝）T｛Ｆ｝e，板中某微分面积 dxdy 的内力在虚应变上的虚功为（｛χ｝*）T｛Ｍ｝edxdy，板底某微分面积上的地基反力在虚图 6-9 地基反力与相应的虚位移

路面设计原理与方法第61页位移上的虚功为 w*pdxdy=kw*wdxdy （6-51）以上各式中，p 为单位面积上的地基反力，k 为地基反应模量，其余符号同前。因此，虚功方程为： (  )             − −  − − −   =   e T e b b a a T b b a a T F w K w dxdy M dxdy 0 （6-52）因：                      w N w N B M D B e e e e = = = =          代入可得： F B DBdxdy K  N  Ndxdy   e T T e =  +  ( ) 0  （6-53）也可简写为： F K K    e s e = ( + )  （6-54） K  K ab b b a ab a b a b b ab b b a ab a a ab a b a b a b b ab b b ab b b a ab a a ab a a ab s =  − − − − − − − − − − − − − − 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6300 3454 922 320 922 252 320 1226 548 398 3454 548 240 168 922 320 398 168 160 922 252 320 394 232 232 1226 398 548 3454 232 120 112 398 160 168 922 320 232 112 120 548 168 240 922 252 320 对称 a b a b a b a b b ab b b ab b b ab b b a b a a ab a a ab a a ab a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1226 398 548 394 232 232 1226 548 398 3454 398 160 168 232 120 112 548 240 168 922 320 548 168 240 232 112 120 398 168 160 922 252 320 − − − − − − − − − − − − − − − − − −                                       对温克勒地基的处理，还可以采用一种简化的方法，即在薄板划分成单元之后，把每个结点范围内的地基当作为弹性支柱，并且以结点处的挠度作为弹性支柱的压缩量。地基反力来自于假定的弹性支柱，其反力施加于四个结点： q q q q q k ab w w w w e i j l k i j l k =               =               0 4 （6-55）在求解方程时，将地基反力作为一种结点力，施加于单元结点，可得到：图 6-9 单元的结点沉降与结点反力

路面设计原理与方法第63页                                                             n n nn n n n n P P P F F F F F F F F F w w w                                  2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 ＝ w F P ＝ s （6-61）则： P Fs  w Ks  n*n w 1 ＝＝ ' − （6-62）将地基刚度矩阵Ks ' n*n迭加到总刚矩阵中，可得： F＝(K3n*3n＋Ks ) （6-63）此时，地基刚度矩阵的形式为：   n n s s s s s s s s s s s K K K K K K K K K K K 3 *3 41 42 43 44 31 32 33 21 22 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                                       ＝（6-64） 5．荷载矩阵矩形薄板单元上，与各个节点位移相应的节点荷载，可用列阵表示为： R Z Z Z Z  e i j l k T = xi yi xj yj xl yl xk yk T T T T T T T T （6-65）如一矩形单元在 z 方向作用有分布荷载 q(x,y)，则传给各节点的荷载为 R  N q x y dxdy e T =  ( , ) （6-66）下面来推导荷载向节点移置的表达式(6-59)。设有法向集中荷载 P 作用在矩形单元 i、j、 l、k 上的任意点(x,y)。假想该单元发生虚位移，其中(x,y)点相应的虚位移为：｛f｝e=｛w｝e 而节点的相应虚位移为｛δ｝e。按照静力等效的原则，即节点荷载与原荷载在上述虚位移上的虚功相等，可得： (  )     * * e T e T R = f P （6-67）式中：P 为点(x,y)处的集中荷载。因｛f *｝=［Ｎ］｛δ*｝e代入得： (  )      * * ( ) e T e e T R = N P （6-68）根据矩阵乘积的逆序法则，上式可化为：

《路面设计原理与方法》课程教学资源（第二版，教案讲义）第四讲 水泥混凝土路面应力（一）

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