东北林业大学：《刚性路面》课程教学讲义（水泥混凝土路面）第二章 水泥混凝土路面应力分析

第二章水泥混凝土路面应力分析 空间问题的讨论 空间问题共有15个未知函数: 6个应力分量:x0:、t==x=x、=rx 6个应变分量:E、E、E 3个位移分量:l以、w 15个函数应该满足15个基本方程 ∑F=0 +X=0 3个平衡微分方程:1F=0=+2τ+Y=0 ∑F Z=0 6个几何方程: az ax ax e+E 1+ E 八(G+a) e+a 1 1-2 E (a2+0) E u e+a 6个物理方程 1+1-2 [o:-(a1+σ,) 2(1+4) 2(1+) E 2(1+) E 2(1+) e=(8+8+8 2) (o,+o,+o:) E 第1页共18页

第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 1 页 共 18 页 空间问题的讨论 空间问题共有 15 个未知函数： 6 个应力分量：          x y z yz zy zx xz xy yx 、 、 、 = = = 、 、 6 个应变分量： x y z yz zx xy       、 、 、 、 、 3 个位移分量： u v w 、 、 15 个函数应该满足 15 个基本方程： 3 个平衡微分方程： 0 0 0 0 0 0 x zx yz x y zy xy y Z xz yz z F X x y z F Y y z x F Z z x y             =  + + + =       =  + + + =       =  + + + =     6 个几何方程： , , , , x y z yz zx xy u v w x y z w v u w v u y z z x x y          = = =          = + = + = +       6 个物理方程： ( ) 1 1 2 ( ) 1 1 2 ( ) 1 1 2 , 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) 1 2 ( ) ( ) x x y y z z yz yz zx zx xy xy x y z x y z E e E e E e E E E e E                                = + + − = + + − = + + − = = + + = + − = + + = + + 或 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) x x y z y y z x z z x y yz yz zx z x xy xy E E E E E E                         = − +     = − +     = − +     + = + = + = z

第二章水泥混凝土路面应力分析 第二章水泥混凝土路面应力分析 §2.1概述 应力分析的目的 弹性材料的疲劳方程:=2=a-BlgN a和B由材料性质决定,N是作用次数,G是材料的强度(抗拉?), 是试验应力,由结构,作用力决定(刚体) 已知:a和B、可r、N和作用力(Bz-100,可以求得p 2.结构设计法——荷载影响和环境影响效应对拟定结构所引致疲劳使结构能在达到正常使 用极限状态或承载能力极限状态时的作用次数达到或超过N次 、关键点 求得σn的过程一一结构应力分析的过程 三、水泥混凝土路面板的应力分析方法 解析法 有限单元法 §2.2水泥混凝土路面的力学模型和弹性曲面方程 、力学模型和假设 1.力学模型:弹性地基上的小挠度弹性薄板 2.假设: 地基假设一弹性地基( Winkler地基或 Boussinesq地基) 板的假设一薄板,h<<最小尺寸b,不计自重 小挠度,挠度w<<h 弹性假设,(1)垂直于中面方向的形变分量εx极其微小,可忽略不计(板无 压缩) (2)应力分量Txx、tx、o2远小于其余三个应力分量,因而是 次要的,由它们引起的应变不计。(无畸变) (3)薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移。(无剪切滑移) 、模型几何方程、物理方程、平衡方程的推导 (一)、几何方程 由假设(1):=g=0即=x, (2-1) +f(x, y) az ax 由假设(2):yx=yx=0 Ow av (2-2) +x=0-o_O f(, y) 第2页共18页

第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 2 页 共 18 页 第二章 水泥混凝土路面应力分析 §2.1 概述 一、应力分析的目的 1．弹性材料的疲劳方程： lg p f N     = −  和  由材料性质决定， N 是作用次数，  f 是材料的强度(抗拉？)，  p 是试验应力，由结构，作用力决定（刚体） 已知：  和  、 f 、 N 和作用力（BZZ—100），可以求得  p 2．结构设计法——荷载影响和环境影响效应对拟定结构所引致疲劳使结构能在达到正常使 用极限状态或承载能力极限状态时的作用次数达到或超过 N 次。 二、关键点 求得  p 的过程——结构应力分析的过程 三、水泥混凝土路面板的应力分析方法 解析法 有限单元法 §2.2 水泥混凝土路面的力学模型和弹性曲面方程 一、力学模型和假设 1． 力学模型：弹性地基上的小挠度弹性薄板 2． 假设： 地基假设—弹性地基（Winkler 地基或 Boussinesq 地基） 板的假设—薄板，h<<最小尺寸 b，不计自重。 小挠度，挠度 w<<h 弹性假设，(1) 垂直于中面方向的形变分量εz 极其微小，可忽略不计（板无 压缩） (2) 应力分量τzx 、τzy 、σz 远小于其余三个应力分量，因而是 次要的，由它们引起的应变不计。（无畸变） （3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移。（无剪切滑移） 二、模型几何方程、物理方程、平衡方程的推导 (一)、几何方程 由假设（1）： 0, ( , ) z w w w x y z   = = =  即 (2-1) 由假设（2）： 0 zx zx   = = 1 2 0 ( , ) 0 ( , ) zx zy u w u w w u z f x y z x z x x w v v w w v z f x y y z z y y        + =  = −  = − +           = + =  = −  = − +      ＝ (2-2)

第二章水泥混凝土路面应力分析 由假设(3)al=0=v=0=0,(22)式=》 (2-3) f(x,y)=0 az 由假设和(2-3)式,可以推出板的几何方程为 ay a-w av y (二)、物理方程 由(29)可见,按照假设,薄板弯曲时的主要应变分量为x面内的应变分量E1、E,和yy 且仅用一个挠度函数w即可表示,即板内任意一点均处于平行与中面的平面应力状态。 由假设(1)中E.=0,且假设(2)中由应力分量σ.引起得形变不计得薄板物理方程为: E,=[o1-(,+o)]=[1-o,] 6,=Loy-(G:+a,)=o,-0 E n2(n+E,) E:=B[0:-以(,+,)=0 E 2(1+) 将其改写为σ,=,2(En+uE,) E 2(1+) 2(1+4) 2(1+) E 第3页共18页

第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 3 页 共 18 页 由假设（3） 0 0 | | 0 z z u v = = = = ，（2-2）式 ＝》 1 2 ( , ) 0 ( , ) 0 w f x y u z x w f x y v z y  =  = −   =  = −  (2-3) 由假设和(2-3)式，可以推出板的几何方程为： 2 2 2 2 2 0 0 0 2 z yz zx x y xy w z w v y z u w z x u w z x x v w z y y v u w x y x y        = =    = + =     = + =     = = −     = = −      = + = −     (2-9) （二）、物理方程 由(2-9)可见，按照假设，薄板弯曲时的主要应变分量为 xy 面内的应变分量 x  、 y  和 xy  ， 且仅用一个挠度函数 w 即可表示，即板内任意一点均处于平行与中面的平面应力状态。 由假设（1）中 z  ＝0，且假设（2）中由应力分量  z 引起得形变不计得薄板物理方程为： 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 0 2(1 ) 0 2(1 ) 0 2(1 ) x x y z x y y y z x y x z z x y yz yz zx z x xy xy E E E E E E E E                             = − + = −         = − + = −         = − + =     + = + = + = ＝ ＝ 将其改写为 2 2 ( ) 1 ( ) 1 2(1 ) x x y y y x xy xy E E E            = + − = + − = +

第二章水泥混凝土路面应力分析 e a2. 将几何方程(29)带入上式σ 5(E,+HE) tu ar2)2)(2-10) e aw 1+4 Oxy (三)平衡方程 薄板弯曲时,各应力分量的量级虽然有所不同(τx、τxy、o-甚小,故在物理方 程中略去),但他们的微商(沿坐标之变化率)之间的关系仍然满足三维微元体的平衡方程 =0→ +X=0,(1) Y=0,(2) ∑F=0→-++ 02+2=0(3) (1)、(2)中因不存在平行与中面的荷载,所以X=Y=0,(3)式中2≠0 上面已经考察了主要应力分量σ、σn、tm,下面用平衡微分方程考察次要应力分量o Tzx、τxy(目的把σ2、tx、tx也仅仅用w表示) 1.Tx、τ,用w表示 将(2-10)代入(2-)中的(1)和(2),并注意到ry=rx,得到: E=3a3 e: a 0= 1-42 ax' axdy2 1-H2 其中:V 一拉普拉斯算子 Er an a u- ay 注意到假设1,w=w(x,y),w不随z而变,将上式对z积分: E (1-y2) F(, y) E20 F2(x,y) 利用薄板上下表面的边界条件::22x=rn=0,求出F(xy)、F(x,y),代会上 第4页共18页

第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 4 页 共 18 页 将几何方程(2-9)带入上式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ,(1) 1 1 ( ) ,(2) 1 1 ,(3) 2(1 ) 1 x x y y y x xy xy E E w w x y E E w w y x E E w x y                     = + = − +   − −         = + = − +   − −      = = − + +   （2-10） （三）平衡方程 薄板弯曲时，各应力分量的量级虽然有所不同（τzx 、τzy 、σz 甚小，故在物理方 程中略去），但他们的微商（沿坐标之变化率）之间的关系仍然满足三维微元体的平衡方程。 0 0,(1) 0 0,(2) 0 0,(3) x zx yz x x y y zy y xz yz Z z F X x y z F Y y y z F Z x y z             =  + + + =       =  + + + =       =  + + + =       (2-11) （1）、（2）中因不存在平行与中面的荷载，所以 X ＝Y ＝0，（3）式中 Z ≠0 上面已经考察了主要应力分量  x 、 y 、 xy  ，下面用平衡微分方程考察次要应力分量σz、 τzx 、τzy （目的把σz、τzx 、τzy 也仅仅用 w 表示） 1． τz x 、τzy 用 w 表示 将（2－10）代入(2-11)中的（1）和（2），并注意到 xy yx   = ，得到： 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 ( ) 1 1 ( ) 1 1 zx zy Ez w w Ez w z x x y x Ez w w Ez w z y y x y           = + =   −    −      = + =   −    −  其中： 2 2 2 2 2 x y    = +   ——拉普拉斯算子 注意到假设 1， w w x y = ( , ) ,w 不随 z 而变，将上式对 z 积分： 2 2 2 1 2 2 2 2 ( , ) 2(1 ) ( , ) 2(1 ) zx zy Ez w F x y x Ez w F x y y      =  + −   =  + −  利用薄板上下表面的边界条件： 0 2 zx zy h z =  = = 时  ，求出 1 F x y ( , ) 、 2 F x y ( , ) ，代会上

第二章水泥混凝土路面应力分析 式得: (2-12) Vw,(2) (2-12)式表明r和沿厚度成抛物线分布,与与直梁的剪应力解相似 2.o,用w表示 把薄板美单位面积内的体力归并为面力(如表面均布压力),由圣维南定理 (q=(2)+(z)+2k)消去(21)的(3)中的乙.(这样处理只会对次要应力分 量σ,引起误差,对其他应力分量毫无影响), 得(2-1)的(3)式为,8r1升+2+0=0(Z已经归并为面力,Z=0) 再将(2-12)中的x和代入上式得: Ec =2)V2 02(1- E 上式对z积分并注意到w不随z而变得:a.= )Vw+F(x, y) 2(1-2)43 利用薄板下面边界条件σ:|=0,求出F3(x,y),再代回O表达式得: E h E 四、薄板挠曲面微分方程 板的上表面边界条件:(G:)b=-q,q为由圣维南定理计算的面力或者表面均布荷载, 代回公式(2-13)得 Eh Vw=q,12(1-A)D Eh 板得弯曲刚度 12(1-4) 则上式写成:Vy=9,展开成 q 上两式即为板的挠曲面微分方程(相当于材料力学中直梁的 求解时,可按照边 d I E 界条件由此式求得w,在由w求各应力分量。 第5页共18页

第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 5 页 共 18 页 式得： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ,(1) 2(1 ) 4 ( ) ,(2) 2(1 ) 4 zx zy Ez h z w x Ez h z w y      = −  −   = −  −  （2－12） （2－12）式表明 zx  和 zy  沿厚度成抛物线分布，与与直梁的剪应力解相似。 2．σz 用 w 表示 把 薄 板 美 单 位 面 积 内 的 体 力 归 并 为 面 力 （ 如 表 面 均 布 压 力 ）， 由 圣 维 南 定 理 （ 2 2 2 2 ( ) ( ) h h h h z z q Z Z Zdz =− = − = + +  ）消去(2-11)的（3）中的 Z。（这样处理只会对次要应力分 量σz 引起误差，对其他应力分量毫无影响）， 得(2-11)的（3）式为： 0 0 xz yz Z x y z    + + + =    (Z 已经归并为面力，Z＝0) 再将（2－12）中的 zx  和 zy  代入上式得： 2 2 2 2 ( ) 2(1 ) 4 z E h z w z    = −   − 上式对 z 积分,并注意到 w 不随 z 而变得： 2 3 2 2 3 ( ) ( , ) 2(1 ) 4 3 z E h z  z w F x y  = −  + − 利用薄板下面边界条件 2 | 0 z h z  = = ，求出 3 F x y ( , ) ，再代回  z 表达式得： 2 3 3 4 2 4 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) (1 ) 2(1 ) 4 2 3 8 6(1 ) 2 z E h h h E z z z z w w h h      = − − −  = − +    − −   （2－13） 四、薄板挠曲面微分方程 板的上表面边界条件： 2 ( )z h z  q =− = − ，q 为由圣维南定理计算的面力或者表面均布荷载， 代回公式（2－13）得： 3 4 2 12(1 ) Eh w q   = − ，令 3 2 12(1 ) Eh D  = − ，叫做板得弯曲刚度， 则上式写成： 4 q w D  = ，展开成： 4 4 4 4 2 2 4 w w w q x x y y D    + + =     上两式即为板的挠曲面微分方程（相当于材料力学中直梁的 4 4 d w q dl EJ = ,求解时，可按照边 界条件由此式求得 w，在由 w 求各应力分量

第二章水泥混凝土路面应力分析 五、用内力表示的挠曲面微分方程 由式(2-10)知,各项应力分量均为在z的奇函数,因此在厚度方向截面上内力的和为0 表述为:N=2o,yt=0,N,=2o,xd=0 单位宽度截面上的水平剪力:sn=xnx=0s=xny=0 e-2 Td=-D2v'w,( 、τ合成竖向剪力,表述为: Q,=Er, d==-Doviw,(2) 此外,在单元上的应力分量σ、、合成弯矩M、M,和扭矩Mn=M((2-14) z0,d=-D(2+H2),(3) M,=nzo, d==-D ow.02, ),(4) Mn=M2=「n2d=-D(1-)、5y (2-14)与(2-10)、(2-12)、(2-13)联立,的到用内力表示的应力表达式 12M (2-14)的(3)代入(2-10)的(1) 12M, (2-14)的(4)代入(2-10)的(2) h3 12M (2-14)的(5)代入(2-10)的(3) h (2-14)的(1)代入(2-12)的(1)>(2-15) h34 (2-14)的(2)代入(2-12)的(2) 0.=202n)(+), (2-13)引入边界条件(a) 12(1-y)q,再代回(2-1 第6页共18页

第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 6 页 共 18 页 五、用内力表示的挠曲面微分方程 由式（2－10）知，各项应力分量均为在 z 的奇函数，因此在厚度方向截面上内力的和为 0 表述为： 2 2 2 2 0, 0 h h N ydz N xdz x x y y h h   − − = = = =   单位宽度截面上的水平剪力： 2 2 2 2 0, 0 h h xy xy yx yx h h s xdz s ydz   − − = = = =   xz  、 yz  合成竖向剪力，表述为： 2 2 2 2 2 2 ,(1) ,(2) h x xz h h y yz h Q dz D w x Q dz D w y   − −  = = −    = = −     此外，在单元上的应力分量  x 、 y 、 xy  合成弯矩 M M M M x y xy yx 、 和扭矩 = （2－14） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ),(3) ( ),(4) (1 ) ,(5) h x x h h y y h h xy yx xy h w w M z dz D x y w w M z dz D y x w M M z dz D x y       − − −   = = − +     = = − +    = = = − −      (2-14)与（2－10）、(2-12)、（2－13）联立，的到用内力表示的应力表达式: 3 12 x x M z h  = (2-14)的（3）代入（2－10）的(1) 3 12 y y M z h  = (2-14)的（4）代入（2－10）的(2) 3 12 xy xy yx M z h   = = (2-14)的（5）代入（2－10）的(3) 2 2 3 6 ( ) 4 x xz Q h z h  = − (2-14)的（1）代入（2－12）的(1) (2-15) 2 2 3 6 ( ) 4 y yz Q h z h  = − (2-14)的（2）代入（2－12）的(2) 1 2 2 ( ) (1 ) 2 z z z q h h  = − − + ， （2-13）引入边界条件 2 ( )z h z  q =− = − 3 4 2 12(1 ) Eh w q    = − ,再代回（2－13）

第二章水泥混凝土路面应力分析 (2-15)中的最大值,σ、可可发生在上下表面,x、zx发生在中面,a2发生在顶面 6M 6M2 6M 6M 2h 3 O 由教材上的图(2-2),写出单元体受力平衡方程,约去二阶微量,整理得: 对轴力矩平衡:Q=0M+0Nn,0 aMaM 对y轴力矩平衡:Q, (2)(2-16) 对z轴力矩平衡 +q=0,(3) ⊙将(2-16)中的(1)、(2)代入(3)得,M,2M1M+q=0 (2-17) andy ay 它与公式(2 ,a°w,aw-9一样,是薄板的挠曲面微分方程的表达式 x" ax'ay ay d §2.3弹性地基板的荷载应力 板与地基接触关系假设 当板置于弹性地基上并与之共同工作,在分析时,除了前面所作的弹性小挠度薄板的假设仍 然适用外,在解题时还应对板与地基之间的联系做补充 补充假设如下:1在变形过程中,板与地基始终紧密接触,因此地基顶面的垂直位移与薄板 中面的垂直位移相等(上下协调变形 2板与地基的接触面上无摩擦阻力,可以自由滑动,即层间水平剪力为0 地基对板只有垂直作用 此时,弹性地基板的弹性挠曲面微分方程为:Dvv2=q-p 式中的q—不同于上节的q是板顶的均布荷载 第7页共18页

第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 7 页 共 18 页 (2-15)中的最大值，    x y xy 、 、 发生在上下表面， xz yz   、 发生在中面，  z 发生在顶面 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 6 | | 6 | | 6 | | 6 | | 3 | 2 3 | 2 | x x h x h z z x y h y h z z xy xy h xy h z z yx yx h yx h z z x xz z y yz z z h z M h M h M h M h Q h Q h q            = =− = =− = =− = =− = = =− = − = = − = = − = = − = = = = − 由教材上的图(2-2)，写出单元体受力平衡方程，约去二阶微量，整理得： ,(1) ,(2) 0,(3) x xy x y xy y x y M M x Q x y M M Q y x Q Q q x y   = +     = +     + + =   对 轴力矩平衡： 对y轴力矩平衡： 对z轴力矩平衡： （2－16） 将（2－16）中的（1）、（2）代入（3）得： 2 2 2 2 2 2 0 M M M q x x y y    + + + =     （2－17） 它与公式（2－ 4 4 4 4 2 2 4 w w w q x x y y D    + + =     一样，是薄板的挠曲面微分方程的表达式 §2.3 弹性地基板的荷载应力 一、板与地基接触关系假设 当板置于弹性地基上并与之共同工作，在分析时，除了前面所作的弹性小挠度薄板的假设仍 然适用外，在解题时还应对板与地基之间的联系做补充。 补充假设如下：1 在变形过程中，板与地基始终紧密接触，因此地基顶面的垂直位移与薄板 中面的垂直位移相等（上下协调变形） 2 板与地基的接触面上无摩擦阻力，可以自由滑动，即层间水平剪力为 0， 地基对板只有垂直作用。 此时，弹性地基板的弹性挠曲面微分方程为： 2 2 D w q p   = − 式中的 q——不同于上节的 q,是板顶的均布荷载

第二章水泥混凝土路面应力分析 P—一地基反力 板自身承担的荷载 对于同样的q,当采用不同的地基,就会有不同的p与q-p的分配;采用不同的地基模型, 就会有不同的反力表达式,因此板的有关解也不同 二、地基模型建立的目的 地基模型建立的目的:找出w-p关系,使挠曲面微分方程只有一个未知量 、地基模型种类 稠密液体地基( Hertz- Winkl地基):k=P 弹性半无限空间体地基 Bousinessiq地基、弹性半无限空间体地基):E §24 Winkler地基板轴对称课题解 Winkler地基:b_P,k地基反应模量/基床系数/垫层系数 Winkler地基模型对地基实际工作状态所作的假定,有时出入较大,所以在不少情况下, Winkler地基板的理论解不能较好地反映弹性地基板的真实工作状态,但是由于引入这种假 设,使得一些弹性地基板课题变得简单或有可能求解。 解的方法和过程 (一)、待定系数法 挠曲面微分方程:Dvvw()+Kn(r)=q(r) 其中:V2=2+101 对于轴对称问题,w=w(四d1d 引入相对刚度半径l=,令=,则上式变为 Vm()+m=k5),v2=d+1a D 微分方程的解为其对应的齐次方程的通解及该方程的特解之和,也即:w=w+* 挠曲面微分方程对应的齐次方程为:v2v2(5)+(2)=0是一个四阶线性微分方程,其通 解为:w=AF(5)+AF(5)+4(5)+AF1(5) 其中:A、A2、A、A4是积分常数(待定),F(5)、F2(5)、F(5)、F(5)是四个互 不相关的独立解,确定四个互不相关的解可用幂级数法,也可以用贝赛尔函数法 第8页共18页

第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 8 页 共 18 页 P——地基反力 q p − ——板自身承担的荷载 对于同样的 q，当采用不同的地基，就会有不同的 p 与 q p − 的分配；采用不同的地基模型， 就会有不同的反力表达式，因此板的有关解也不同。 二、地基模型建立的目的 地基模型建立的目的：找出 w——p 关系，使挠曲面微分方程只有一个未知量。 三、地基模型种类 稠密液体地基（Hertz—Winkler 地基）： p k w = 弹性半无限空间体地基(Bousinessiq 地基、弹性半无限空间体地基)： 2 0 (1 ) c pd E w = −   §2.4Winkler 地基板轴对称课题解 Winkler 地基： p k w = ，k——地基反应模量/基床系数/垫层系数 Winkler 地基模型对地基实际工作状态所作的假定，有时出入较大，所以在不少情况下， Winkler 地基板的理论解不能较好地反映弹性地基板的真实工作状态，但是由于引入这种假 设，使得一些弹性地基板课题变得简单或有可能求解。 一、解的方法和过程 （一）、待定系数法 挠曲面微分方程： 2 2 D w r Kw r q r   + = ( ) ( ) ( ), 其中： 2 2 2 2 1 1      = + +  r r r r ， 2 2 1 对于轴对称问题， =  = + ( ), d d w w r dr r dr 引入相对刚度半径 = 4 D l K ，令 ＝ r l ，则上式变为 4 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) ,          + =  = + q l d d w w D d d 微分方程的解为其对应的齐次方程的通解及该方程的特解之和，也即： w w w = + * 挠曲面微分方程对应的齐次方程为： 2 2   + = w w ( ) ( ) 0   是一个四阶线性微分方程，其通 解为： w A F A F A F A F = + + + 1 1 2 2 3 3 4 4 (    ) ( ) ( ) ( ) 其中：A1、A2、A3、A4 是积分常数（待定）， F1 ( )、 F2 ( ) 、 F3 ( )、 F4 ( ) 是四个互 不相关的独立解，确定四个互不相关的解可用幂级数法，也可以用贝赛尔函数法

第二章水泥混凝土路面应力分析 贝赛尔函数简介 贝赛尔函数标准形:x2 ay dy (x2-n)y=0 它的解:①y=cJ(x)+C2Jn(x),(n=0,±1+2) ②y=c(x)+cH(x)(m为实数) 或上两式组合 3y=CU, (x)+iY,(x)]+CU,(x)iY (x)]=CH(x)+C,H,(x) 其中:Jn(x)叫n阶第一类贝赛尔函数 (x)叫n阶第二类贝赛尔函数 Hn1(x)叫n阶第一类汉克尔函数 H2(x)叫n阶第二类汉克尔函数 若函数形如 xg2+2-(2+m)y=0 令x=-i或x=i做变量代换化为:=202y 423d+(2-)y=0 它的解:①y=cl(x)+c1n(x)(m为整数) y=cl1(x)+c2K(x)(m为实数) 其中:x叫做虚数变量 Jn(x)叫做虚数变量的n阶第一类开尔文函数 Kn(x)叫做虚数变量的n阶第二类开尔文函数 第9页共18页

第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 9 页 共 18 页 贝赛尔函数简介： 贝赛尔函数标准形： ( ) 2 2 2 2 2 0 y dy x x x n y x dx  + + − =  它的解：① y c J x c J x n = + =   1 2 n n ( ) ( ), 0, 1, 2 − ( ) ② y c J x c Y x n = + 1 2 n n ( ) ( ),( 为实数) 或上两式组合： ③ (1) 1 2 1 2 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) n n n n n n y c J x iY x c J x iY x c H x c H x = + + − = + 其中： ( ) n J x 叫 n 阶第一类贝赛尔函数 ( ) Y x n 叫 n 阶第二类贝赛尔函数 ( ) H x n （1） 叫 n 阶第一类汉克尔函数 ( ) H x n （2） 叫 n 阶第二类汉克尔函数 若函数形如： ( ) 2 2 2 2 2 0 y dy x x x n y x dx  + − + =  令 x i = −  或 x i =  做变量代换化为： ( ) 2 2 2 2 2 0 y dy n y d       + + − =  它的解：① y c I x c I x n = + 1 2 n n ( ) ( ), − ( 为整数) ② y c I x c K x n = + 1 2 n n ( ) ( ),( 为实数) 其中： x 叫做虚数变量 ( ) n I x 叫做虚数变量的 n 阶第一类开尔文函数 ( ) K x n 叫做虚数变量的 n 阶第二类开尔文函数

第二章水泥混凝土路面应力分析 贝赛尔函数解法 齐次方程Vv2(5)+(5=0又可以表示为:(V2+)V2-1)=0 可分解为两个零阶贝赛尔方程:VW+i=0,(d) 0,(e) 令t=5√,则式(d)可变为v+=0 令t=5√一,则式(e)可变为v2w+w=0 因此式(d)()有公解"=4+4(小 2=AJ(y-i)+Al(2√-i) 两个解的线性组合即为上式解:w=4J(√)+Al(V)+4J(√-i)+AJ(5√- (√)=(Vh)-H(√ 根据第三类贝赛尔函数定义,有 (5√=)=J(√-1)-H(√ 它们代入上式为:=BJ(5√)+B1B(5V)+BJ(5√=i)+BH(5V=) J(x√)=(x)+mn(x) 令 J(x√-i)=a0(x)-vo(x) H(x√)=f(x)+g(x) (x√-i)=f(x)-ig0(x) 上式表示为:w=c1(5)+C2V(5)+C3f()+cg0(5) 所有的贝赛尔函数及其变形都可以展开成幂级数,待定系数均为实数,可通过课题的边界条 件求得:(无限大板) ①板中集中荷载: r) 40(5),在板中心处,E==0=)J0)= 2 8D 对于柱坐标(极坐标) =》G,和G d-w 1 du M ②板中圆面积均布荷载: 第10页共18页

第二章 水泥混凝土路面应力分析 第 10 页 共 18 页 贝赛尔函数解法： 齐次方程 2 2   + = w w ( ) ( ) 0   又可以表示为： 2 2 ( )( ) 0  +  − =   i i w 可分解为两个零阶贝赛尔方程： 2w iw d 0,( )  + =  2w iw e 0,( )  − =  令 t i =  ，则式（d）可变为 2 0  + = t w w 令 t i = −  ，则式（e）可变为 2 0  + = t w w 因此式（d）（e）有公轭解： 1 1 0 2 0 2 3 0 4 0 ( ) ( ) ( ) ( ) w A J i A Y i w A J i A Y i     = + = − + − 两个解的线性组合即为上式解： 1 0 2 0 3 0 4 0 w A J i A Y i A J i A J i = + + − + − ( ) ( ) ( ) ( )     根据第三类贝赛尔函数定义，有： (1) 0 0 0 (1) 0 0 0 ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] Y i i J i H i Y i i J i H i       = − − = − − − 它们代入上式为： (1) (1) 1 0 2 0 3 0 4 0 w B J i B H i B J i B H i = + + − + − ( ) ( ) ( ) ( )     令 0 0 0 0 0 0 (1) 0 0 0 (1) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J x i u x iv x J x i u x iv x H x i f x ig x H x i f x ig x = + − = − = + − = − 上式表示为： 1 0 2 0 3 0 4 0 w c u c v c f c g = + + + ( ) ( ) ( ) ( )     所有的贝赛尔函数及其变形都可以展开成幂级数，待定系数均为实数，可通过课题的边界条 件求得：(无限大板) ① 板中集中荷载： 2 0 ( ) ( ) 4 Ql w r f D =  ，在板中心处， 0 r l  = = ＝》 0 1 (0) 2 f = ，＝》 2 max 8 Ql w D = 对于柱坐标(极坐标)： 2 2 2 2 1 ( ) 1 ( ) r d w dw M D u dr r dr d w dw M D u dr r dr  = − + = − + =》   r和  ② 板中圆面积均布荷载：