《路面设计原理与方法》课程教学资源（第二版，教案讲义）第五章沥青路面应力分析.doc_大学文库

路面设计原理与方法第 36页第五章沥青路面应力分析一．古典设计方法 1．麻省公式１９０１年，美国麻省道路委员会第八次年会上发表了世界上第一个路面设计的公式。它假定汽车是一个集中荷载 P，荷载以４５角通过碎石基层分布于边长为碎石层厚 2 倍的正方形面积的土基上，所以： q P h P h q 2 1 2 2 ＝＝（）（5-1）集中荷载式中：土基承载强度 P q 2．Ｄｏｗｎｓ公式１９３３年，Ｄｏｗｎｓ对麻省公式进行修正，认为荷载在路面层内的传布与垂直方向成某一分布角的圆锥上，所以传到路面的顶面时，压力分布于一个圆形的面积上而不是正方形，但他仍假定汽车荷载为集中荷载。据此： P h t g q h t g P q ＝＝    2 2 0 .5 6 4 （5-2）集中荷载式中：土基承载强度 P q 3．Ｇｒａｙ公式 1934 年、Ｇｒａｙ认为由于汽车荷载轮胎接触路面由一个面积，所以不应当假定汽车荷载为集中荷载，而应当假定汽车荷载为圆形均布荷载，并设轮载接地圆形面积的半径为 a，即： P htg a q h tg P q a ＝（）＝（）      2 1 0.564 （5-3）集中荷载式中：土基承载强度 P q 4．评述古典理论公式是假定路面只要起分布荷载的作用，采用简单的分布角的概念，这个朴素思想的路面力学理论应予解决的问题；从各公式得知，路面厚度主要取决于土基承载力得大小，这就是土基强度得问题。但初期没有提出土基参数的测定问题；古典公式以轮载作为交通荷载，它不能反映交通量的因素，这在当时轻交通时代可能矛盾不突出，但随着交通得发展，不考虑交通量是无法使用的解决的办法就是在土基承载力取值上应根据交通量的大小采取不同的安全系数。二．弹性半空间体１．解答过程１８８７～１８８５布辛尼斯克得到完整的解答，方法是采用半逆解法。１９２５年Ａ．Ｅ．Ｌｏｖｅ势能法得到了解答。采用路面力学中的方法，同样可以得到解答。２．Ａ．Ｅ．Ｌｏｖｅ解图 5-1 古典公式示意图图 5-2 古典公式改进

路面设计原理与方法第 37页轮隙弯沉的计算及应用采用以上公式          2 1 2 0 2 1 0 0 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1/ 2 2 E pa r a z w E pa r z w a z z a za E p w （）当＝，＝时＝（）当＝，＝时＝＋（＋）（）＝２／                                                       2 4 6 2 1 0.125 0.047 0.024 1 2 1 0 r a r a r a r r a F r a F E pa r a z ２＝当＞，＝时ｗ＝  三．多层体系１．解答过程 1945 年，Ｄ．Ｍ．Ｂｕｒｍｉｓｔｅｒ得到理论解． 1945－1955 研究层状体系的工程应用 1955，Ｒ．Ｌ．希夫曼得到非轴对称的解２．计算方法采用查诺模图法采用程序计算法四．计算程序沥青路面通常是多层体系。自从本世纪四十年代以来无论在理论分析，还是在数值计算方面，都取得很大进展，特别是计算机科学的发展及其在工程技术中广泛应用，使层状体系理论的研究的日趋完善，其中有波米斯特(D.M.Burmister)(1945 年)及英因福克斯(L.Fox)、阿堪姆(W.E.Acum)、苏联科岗(Korah)及英国琼斯(A.Jones)等所作的贡献。在荷载形式方面，包括轴对称均布荷载与非轴对称单向水平荷载，都可直接进行数值计算，在层次结构方面，由双层体系、三层体系发展到多层体系。在计算机程序方面，有壳牌公司编制的 Bisar 程序，雪弗隆公司编制的 Chevron 程序，美国地沥青学会所采用的 DAMA 程序。１．基本图式与基本假定多层体系在圆形均布垂直荷载作用下的计算图式如图 1 所示。层状体系基本假定： (1)各层都是由均质、各向同性的弹性材料组成，这种材料的力学性能服从虎克定律； (2)假定土基在水平方向和向下的深度方向均为无限，其上的各层厚度均为有限，但水平方向仍为无限； (3)上层表示作用着轴对称圆形均布垂直荷载，同时在上层无限深度处及水平无限远处应力和应变都是零； (4)层间接触面假定完全连续。 Z1 , E1 , 1 , h1 Z2 , E2, 2 , h2 Z3, E3 , 3 , h3 Zn-1, En-1 , n-1 , hn-1 En , n-1 R P R 图 1 计算图式２．基本原理

路面设计原理与方法第 38页根据弹性理论，对于轴对称空间体，其几何方程为：               r  z zr u r u r w z u z w r ＝；＝；＝；＝＋ 1 其物理方程为：     r  r    z E ＝－＋ 1     ＝ －  ＋ 1 E r z     z  z     r E ＝－＋ 1        zr zr E ＝ 2 1 2  式中：G 为剪数模量，   G E ＝ 2 1   μ为弹性体的泊桑比轴对称空间课题微分单元的平衡微分方程为：                r zr r  z zr zr r z r z r r ＋＋－＝＋＝ 0  0 3 从式 1～式 3 看出，三式中共有十个变量，并且已有十个方程式，结合边界条件即可解出未知量值。但这种解法相当困难，甚至不可能得到应力分量。因此一般采用应力函数求解。研究物体的变形一般是针对物体内部割出的一块微分单元体，显然各相邻单元体的变形应是谐调的。所以物体在变形前是一个连续体，在变形后也应是一个连续体。消去位移分量，可得变形连续方程为：      2 2 2 2 2 1 1    0 4    r r  r r －－＋＋＝  Θ——第一应力不变量，＝ r＋ ＋ z 变形连续方程又称相容条件，是由圣维南(B.desaint-Venant)于 1864 年提出的。实际上式 4 应有四个相容条件，但确是等效的。采用应力函数法求解轴对称课题主要有 Love 函数法及 Southwell 函数法，这里介绍 Love 函数法。设应力函数φ＝φ(r,z)并给定         r z r ＝  －       2 2 2        ＝－１ z r r        2         z z z ＝（2－） 2 － 2  2                 zr r z ＝（1－）－ 5 2 2  2       将式 5 代入平衡微分方程式 3 和变形连续方程式 4，除平衡微分方程中第一个恒等于零外，其余全部转化为重调和方程，即     2 2 ＝ 0 6 这就是说，如果应力函数φ是重调和方程的解，则能满足平衡微分方程的变形连续方程。并可由式 5 求得应力分量，再由物理方程求得应变分量。位移分量可由下式求得

路面设计原理与方法第 39页   u E r z W E z ＝＝＋（－）－          1 1 2 1 7 2 2 2 2            重调和方程的求解可采用分离变量法。对于多层体系中某一层 j，可以给定应力函数为： j＝GjzJ0r 8 代入重调和方程可以得出：     d dz G z 2 2 2 2  0 9        ＝令 H z H r ＝；＝，解以上方程式，可得应力函数为：           [ ](10 ) 1 1 2 0 3 j j  j j  j j j C j D j A e B e H J                  －－－－－－－－＝－＋ｅ－ｅ式中：ξ——参数； J０(ξρ)——第一类零阶贝塞尔函数；  j j z H  ——无量纲系数； Aｊ,Bｊ,Cｊ,Dｊ为积分常数，可由每一层的边界条件和层间结合条件等确定。下标 j 从 1 到 n，表示同该层次相应的计算参数。将应力函数式（10）代入洛夫应力函数与应力关系式。 ( )  {[ ( )] [ ( )] } ( ) ( )              z j j j j j j j J A C e B D e j j                0 1 2 1 2 1 (11) 以上表达的各项分量并非因荷载ｐ(ρ)所引起，而是由σｚ＝-ξJ０(ξr)所引起。通过 Hankel 变换等推演过程，可以求得： p    p  J  d   ( ) ( ) 0 0 （12）假设： p   J 0 () p    p  p  d    ( ) ( ) 0 （13）假设式（11）的各项分量为 Y *，而由实际荷载 p(ρ)产生的各项应力、位移分量为 Y，这两者有以下关系： Y   Y p d    ( )  0 （14）将式（11）代入： ( )    {[ (1 2 )] [ (1 2 )] } (15) ( ) ( ) 0 0 1                p J A C e B D e d j j z j j j j j j j                由σｚ=q(ρ)这个实际荷载引起的各项分量。３．积分常数计算对 n 层体系具有 4n 个积分常数。由以上算式可以看出，多层体系的应力应变计算的关键是要确定对应于各个层次的积分常数，然后通过贝塞尔函数的无穷积分计算，便可完成全部计算分析工作。确定积分常数，可以根据相应的边界条件与层间结合条件来进行。在多层体系顶面(j=1,λ=0)具有以下边界条件： (σｚ）１=-ξJ０(ξρ) (τｚｒ)１=0 （１6）在第 j 层与第 j+1 层之间的结合面上(λ=λj)，若这两层是完全连续的，则具有以下连续条件：

路面设计原理与方法第 40页（σｚ）ｊ＝(σｚ)ｊ＋１（τｚｒ）ｊ=(τｚｒ)ｊ＋１ (u ）ｊ=(u )ｊ＋１ (w )ｊ=(w )ｊ＋１（１7）此外，在地基的无限深处，应力与位移皆满足 (σｚ，σ，τｚｒ,u,w)r→∞=0 （１8）则要求应力函数φｎ｜=0，因 e ｜=∞，即： Aｎ=Ｃｎ=0（１9）则对于 n 层体系，还有 4n-2 个待定积分系数，而根据边界条件可以建立 4n-2 个方程式，因此全部积分系数均可以求解。确定待定积分系数，用矩阵法非常简单，便于使用计算机分析计算。为此可将应力和位移中包含有 Aｊ, Bｊ,Cｊ,Dｊ的系数写成矩阵形式：                 z j zr j j j j j j j j j j j u W M E h A B C D                         ＝，，， 20 式中 hｊ=λｊ－λｊ－１ ; M——4×4 的矩阵根据连续条件，可以写成： M E h      A B C D M E h A B C D j j j j j j j j j j j j j j j j ，，，＝  ，， ，                             1 1 1 1 1 1 1 1 21 由式 21 可以看出，第 j 层积分常数可由第 j+1 层的积分常数求得。通过逐层计算，可以将第一层的积分常数与第 n 层的积分常数联系起来。并利用下式可得：     A B C d N B D C B C jn j n n n n 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 22                                       ＝  ＝由多层体系顶面的边界条件代入（11）得： A e B C e D h h 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1           (  ) (  ) A e B C e D h h 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0         (  ) (  ) 则：                                             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * 1 2 2 1 (1 2 ) (1 2 ) 0 1 1 1 1 1 D C B A F D C B A e e e e h h h h              1 0 0 0 23                  F C B D n n 因此，在计算积分常数时，可按以下步骤进行计算： 1)形成矩阵［Ｃ］

路面设计原理与方法高斯型点P的选择,可以根据计算精度确定。 A 0.5773502692 0.7745966692 0.55555555556 0. 0.88888888889 363116 0.347854845 0.3399810436 0.65211451549 0.9061798459 00 2369268851 0.5384693101 4786286705 0.5888888889 (3)贝塞尔函数的积分为避免因贝塞尔函数的波动性而引起积分误差,在积分时采用贝塞尔函数零点积分的办法,即首先找到贝塞尔函数的零点,然后在该范围内进行高斯积分,则: [(x=∑F 控制精度 F 对于两个贝塞尔函数的积分,方法同前只是零点应包括两个贝塞尔函数的零点。 4.计算程序五.层状体系计算程序层状体系应力,应变及位移的计算时主要涉及的是贝塞尔函数的无穷积分,因此无穷积分的精度将直接影响计算精度。因为贝塞尔函数是波动衰减函数,如果采用第二章所述的高斯积分,必须合理选取高斯积分段。在一般的数值积分法中主要采用等值增长的办法,使计算相对误差达到规定的精度。但由于贝塞尔函数是波动衰减函数,如果高斯积分区段一端函数值为正,另一端函数值为负,高斯积分点或为正,或为负,那么计算结果误差则比较大, 为了防止以上这种情况的发生,在程序中采用零点分段的办法。由于贝塞尔函数的零点为已知,那么零点与其它任何数相乘均为零,那么积分时选用的分段区间为相邻两零点之间,则积分结果精度较高。 6.求解N层体系积分常数A,B1,C1,D2子程序(SOL) 积分常数计算顺序由下而上进行,即由第n层的积分常数A,Bn,C,D2计算A 然后逐层向上,直到希望计算的某一层。程序中,积分常数计算的主要任务是确定系数阵[F]及[C]。其执行程序为(SOL) 程序中符号说明 M一相当于ξ。」 H(NH)—一每层的结构厚度(取总厚度的相对值) Z(NH)—一各层界面的竖向坐标(取总厚度的相对值) NH一结构层数(不包括第N层土基,NH=N-1) PR(N)—一各层次泊桑比; ECNH)—一相当于R= E(+ E(1 t H WV(4)—一存放每个层次的积分常数A3,B;,C;,D; LPT(NH)一一层次结构的顺序 A(4,4)—一系数矩阵[N;] C(4,4)一一系数矩阵[C] F(2,4)—一系数矩阵[F]。第43页

路面设计原理与方法第 43页高斯型点Ｐ的选择，可以根据计算精度确定。ｐ t Ａｋ２ 0.5773502692 1. ３ 0.7745966692 0.55555555556 0. 0.88888888889 ４ 0.8611363116 0.3478548451 0.3399810436 0.65211451549 ５ 0.9061798459 0.2369268851 0.5384693101 0.4786286705 0. 0.5888888889 (3)贝塞尔函数的积分为避免因贝塞尔函数的波动性而引起积分误差，在积分时采用贝塞尔函数零点积分的办法，即首先找到贝塞尔函数的零点，然后在该范围内进行高斯积分，则：     J x dx F E F F k K N N N k N 0 0 1       ＝控制精度 ∶ ＝对于两个贝塞尔函数的积分，方法同前，只是零点应包括两个贝塞尔函数的零点。＝１＝１  ４．计算程序五．层状体系计算程序层状体系应力，应变及位移的计算时主要涉及的是贝塞尔函数的无穷积分，因此无穷积分的精度将直接影响计算精度。因为贝塞尔函数是波动衰减函数，如果采用第二章所述的高斯积分，必须合理选取高斯积分段。在一般的数值积分法中主要采用等值增长的办法，使计算相对误差达到规定的精度。但由于贝塞尔函数是波动衰减函数，如果高斯积分区段一端函数值为正，另一端函数值为负，高斯积分点或为正，或为负，那么计算结果误差则比较大，为了防止以上这种情况的发生，在程序中采用零点分段的办法。由于贝塞尔函数的零点为已知，那么零点与其它任何数相乘均为零，那么积分时选用的分段区间为相邻两零点之间，则积分结果精度较高。 6.求解 N 层体系积分常数 Ai，Bi，Ci，Di子程序(SOL) 积分常数计算顺序由下而上进行，即由第 n 层的积分常数 An，Bn，Cn，Dn 计算 An-1 ,Bn-1,Cn-1,Dn-1，然后逐层向上，直到希望计算的某一层。程序中，积分常数计算的主要任务是确定系数阵［F］及［C］。其执行程序为(SOL)。程序中符号说明 TM——相当于ξｈｊ； H(NH)——每层的结构厚度(取总厚度的相对值)； Z(NH)——各层界面的竖向坐标(取总厚度的相对值)； NH——结构层数(不包括第 N 层土基，NH=N-1)； PR(N)——各层次泊桑比； EE(NH)——相当于     R E E j j j j j     1 1 1 1   VV(4)——存放每个层次的积分常数 Aj，Bj，Cj，Dj； LPT(NH)——层次结构的顺序； A(4，4)——系数矩阵［Ｎj］； C(4，4)——系数矩阵［C］； F(2，4)——系数矩阵［F］

路面设计原理与方法 7.积分计算子程序(同前) 8.余项计在某一区段内无穷积分积的执行程序可见多层体系计算程序。在程序中余项值的计算由控制变量INTT控制执行。当INTT值为零时,表明计算点在层状体系顶面(Z=0),则要求计算余顶值,当INTT为1时,表明计算点在层状体系顶面以下点(Z≠0),则不要计算余项。余项计算值代表符VS11,RS11,TS11及W11分别表示σ2,σ,τm及ω在有限积分段的余项值 9.多层体系应力、应变及位移计算程序说明本程序适用于多层体系结构,对双圆或多圆均布荷载可采用应力迭加原理得到。执行程序如下程序中主要变量说明 INTT一计算点位置符(INTT=0,表示要求余项) IC—一积分次数; VS(…),RS(…),TS(…),w(·)分别存放每次积分后o,0,,τ2,w的对应值 DEL—一积分的相对精度 WT(·),D(·)分别为高斯积分宽度和高斯积分点。其它变量名同子程序SOL 六、双圆或多圆荷载应力的计算现行的路面设计规范多用双圆均匀荷载,利用本程序进行应力计算时,必须对源程序进行修正。修正的基本方法是根据应力迭加原理。要求荷轮隙、轮印中心及轮印中心两侧的应力或位移,可利用计算两点位移或应力迭加的方法七.弹性多层体系应力、位移分析程序(AP01) 1.程序功能弹性多层体系应力,位移分析程序适用于N层组成的多层结构体系,具有如下功能 1)适用于多层弹性体系,层数不限,在此最大值定为L=6 2)每个层次的弹性模量和泊桑比不受限制; 3)适用于计算各层体系任意一点的应力,位移计算,可同时算出多个点的应力及位移,计算点最大值为24点 4)荷载为单园垂直均布荷载,作用于上层顶面 5)对双圆荷载,则利用单圆荷载进行应力迭加。 2.程序的输入输出说明输入变量 NL一一层状体系的层数(NL≤6) NS一一应力、应变及位移计算点数(NS≤24) NIC一一积分最多次数(NIC≤40) INTT一计算点状态参数(INTT=0,表面点,INTT≠0,内部点) DEL—一近似积分的精度,常用0.0001 CR—荷载圆的半径(cm): CP一荷载的单位接触压力Kg/cm^2: R(NS)—一每个计算点离荷载中心的径向坐标值(cm) Z(NS)—一每个计算点离表面的垂直坐标值(cm); E(NL)—一每一层的弹性模量,kg/cm^2 PR(N)——每一层的泊桑比 HA(NH)一一每一结构层的厚度(NH=NL-1)cm 输出变量 STRESS Z——Z方向正应力kg/cm^2: STRESS R—R方向正应力Kg/cm^2: STRESS T—一T方向正应力Kg/cm^2 STRESS ZR—ZR方向剪应力Kg/cm^2 STRAIN Z——Z方向应变 STRAIN R——R方向应变第44页

路面设计原理与方法第 44页 7．积分计算子程序(同前) 8．余项计算在某一区段内无穷积分积的执行程序可见多层体系计算程序。在程序中余项值的计算由控制变量 INTT 控制执行。当 INTT 值为零时，表明计算点在层状体系顶面(Z=0)，则要求计算余顶值，当 INTT 为 1 时，表明计算点在层状体系顶面以下点(Z≠0)，则不要计算余项。余项计算值代表符 VS11，RS11，TS11 及 W11 分别表示σz，σr，τzr及ω在有限积分段的余项值。 9．多层体系应力、应变及位移计算程序说明本程序适用于多层体系结构，对双圆或多圆均布荷载可采用应力迭加原理得到。执行程序如下：程序中主要变量说明 INTT——计算点位置符(INTT=0，表示要求余项)； IC——积分次数； VS(…)，RS(…)，TS(…)，ｗ(·)分别存放每次积分后σz，σｒ，ｚｒ,w 的对应值 DEL——积分的相对精度 WT(·)，D(·)分别为高斯积分宽度和高斯积分点。其它变量名同子程序 SOL 六、双圆或多圆荷载应力的计算现行的路面设计规范多用双圆均匀荷载，利用本程序进行应力计算时，必须对源程序进行修正。修正的基本方法是根据应力迭加原理。要求荷轮隙、轮印中心及轮印中心两侧的应力或位移，可利用计算两点位移或应力迭加的方法。七．弹性多层体系应力、位移分析程序(AP01) １．程序功能弹性多层体系应力，位移分析程序适用于 N 层组成的多层结构体系，具有如下功能： 1)适用于多层弹性体系，层数不限，在此最大值定为 L=6； 2)每个层次的弹性模量和泊桑比不受限制； 3)适用于计算各层体系任意一点的应力，位移计算，可同时算出多个点的应力及位移，计算点最大值为 24 点； 4)荷载为单园垂直均布荷载，作用于上层顶面； 5)对双圆荷载，则利用单圆荷载进行应力迭加。２．程序的输入输出说明输入变量 NL——层状体系的层数(NL≤6)； NS——应力、应变及位移计算点数(NS≤24)； NIC——积分最多次数(NIC≤40)； INTT——计算点状态参数(INTT=0，表面点，INTT≠0，内部点)； DEL——近似积分的精度，常用 0.0001； CR——荷载圆的半径(cm)； CP——荷载的单位接触压力 Kg/cm^２； R(NS)——每个计算点离荷载中心的径向坐标值(cm)； Z(NS)——每个计算点离表面的垂直坐标值(cm)； E(NL)——每一层的弹性模量，kg/cm^２； PR(NL)——每一层的泊桑比； HA(NH)——每一结构层的厚度(NH=NL-1)cm；输出变量 STRESS Z——Z 方向正应力 kg/cm^２； STRESS R——R 方向正应力 Kg/cm^２； STRESS T——T 方向正应力 Kg/cm^２； STRESS ZR——ZR 方向剪应力 Kg/cm^２； STRAIN Z——Z 方向应变； STRAIN R——R 方向应变；

《路面设计原理与方法》课程教学资源（第二版，教案讲义）第五章 沥青路面应力分析

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