工程科学学报，第41卷，第2期：199-208,2019年2月 Chinese Journal of Engineering,Vol.41,No.2:199-208,February 2019 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2019.02.006;http://journals.ustb.edu.cn 连铸流动与凝固耦合模拟中糊状区系数的表征及影响 李少翔，张晓萌，李亮，兰鹏，唐海燕，张家泉⑧ 北京科技大学冶金与生态工程学院，北京100083 区通信作者，E-mail:jqzhang(@metall.usth.edu.cn 摘要分析提出了连铸流动与凝固耦合数值模拟中，钢液在两相区流动时的糊状区系数(A)与渗透率的关系：通过建立 大方坯连铸结晶器三维耦合数值模型，揭示了不同糊状区系数对钢液流动、传热与凝固进程的影响，以及早期相关研究结果 差异的源头.结果表明：糊状区系数越大，钢液在糊状区内的流动阻力越强，凝固时钢液流动速度降低越快.采用较大的糊状 区系数时，糊状区呈较窄的“带状”分布在固液相之间：当糊状区系数较小时，糊状区范围变大，钢液在结晶器内温降过快，自 由液面处出现过冷现象，凝固坯壳局部发生重熔.结合实验数据验证与模型分析，认为糊状区系数取值1×103~5×103kg· m3·s可以较可靠地揭示连铸结晶器内的实际凝固现象 关键词连铸：数值模拟；流动：凝固；糊状区系数 分类号TF777.2 Representation and effect of mushy zone coefficient on coupled flow and solidification simulation during continuous casting LI Shao-xiang,ZHANG Xiao-meng,LI Liang,LAN Peng,TANG Hai-yan,ZHANG Jia-quan School of Metallurgical and Ecological Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:jqzhang@metall.ustb.edu.en ABSTRACT The mushy zone refers to the region of the solid-liquid system where the temperature is between the liquidus and solidus temperatures.In this zone,the turbulence of the interdendritic flow is reduced by blockage of dendrites.The mushy zone coefficient (A)is an important calculating parameter in the continuous casting numerical simulation process,which strongly affects the predic- tion of fluid flow and solidification behavior in the mold zone.However,most researchers have neglected the influence of the mushy zone coefficient,and the correct expression of this coefficient is rarely found in the literature.Generally,the lower default value of 1 x 10 kgmsis used in the model,which leads to unrealistic results.In this study,the relationship between the mushy zone coeffi- cient and permeability was analyzed,and the expression of the mushy zone coefficient was proposed.A coupled flow and solidification numerical model was developed to evaluate the effect of the mushy zone coefficient on the melt flow and solidification phenomena in a bloom continuous casting mold.Results show that the higher the value of the mushy zone coefficient,the stronger the damping be- comes,and the faster the velocity drops as melt solidifies.A relatively high value of the mushy zone coefficient generates a"banded" form of mushy zone sandwiched between the solid and liquid phases in the mold zone.When the mushy zone coefficient is at a lower value,a wider mushy zone is obtained and the melt cools down rapidly in the mold region.In addition,the temperature at free surface is rel- atively low with supercooling,and the solidified shell remelts locally.The model is validated through comparison with measurements of shell thickness on a breakout shell.The value of the mushy zone coefficient ranging from 1x10 to 5x10 kgm.sis suggested. KEY WORDS continuous casting;numerical simulation;fluid flow;solidification;mushy zone coefficient 收稿日期：2018-03-01 基金项目：国家自然科学基金资助项目(U1860111,51604021):北京市自然科学基金资助项目(2174077)：北京科技大学本科教育教学改革资 助项目(JG2017M11)
工程科学学报,第 41 卷,第 2 期:199鄄鄄208,2019 年 2 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 41, No. 2: 199鄄鄄208, February 2019 DOI: 10. 13374 / j. issn2095鄄鄄9389. 2019. 02. 006; http: / / journals. ustb. edu. cn 连铸流动与凝固耦合模拟中糊状区系数的表征及影响 李少翔, 张晓萌, 李 亮, 兰 鹏, 唐海燕, 张家泉苣 北京科技大学冶金与生态工程学院, 北京 100083 苣通信作者, E鄄mail: jqzhang@ metall. ustb. edu. cn 摘 要 分析提出了连铸流动与凝固耦合数值模拟中,钢液在两相区流动时的糊状区系数(Amush )与渗透率的关系;通过建立 大方坯连铸结晶器三维耦合数值模型,揭示了不同糊状区系数对钢液流动、传热与凝固进程的影响,以及早期相关研究结果 差异的源头. 结果表明:糊状区系数越大,钢液在糊状区内的流动阻力越强,凝固时钢液流动速度降低越快. 采用较大的糊状 区系数时,糊状区呈较窄的“带状冶分布在固液相之间;当糊状区系数较小时,糊状区范围变大,钢液在结晶器内温降过快,自 由液面处出现过冷现象,凝固坯壳局部发生重熔. 结合实验数据验证与模型分析,认为糊状区系数取值 1 伊 10 8 ~ 5 伊 10 8 kg· m - 3·s - 1可以较可靠地揭示连铸结晶器内的实际凝固现象. 关键词 连铸; 数值模拟; 流动; 凝固; 糊状区系数 分类号 TF777郾 2 收稿日期: 2018鄄鄄03鄄鄄01 基金项目: 国家自然科学基金资助项目(U1860111,51604021);北京市自然科学基金资助项目(2174077);北京科技大学本科教育教学改革资 助项目(JG2017M11) Representation and effect of mushy zone coefficient on coupled flow and solidification simulation during continuous casting LI Shao鄄xiang, ZHANG Xiao鄄meng, LI Liang, LAN Peng, TANG Hai鄄yan, ZHANG Jia鄄quan 苣 School of Metallurgical and Ecological Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 苣Corresponding author, E鄄mail: jqzhang@ metall. ustb. edu. cn ABSTRACT The mushy zone refers to the region of the solid鄄鄄liquid system where the temperature is between the liquidus and solidus temperatures. In this zone, the turbulence of the interdendritic flow is reduced by blockage of dendrites. The mushy zone coefficient (Amush ) is an important calculating parameter in the continuous casting numerical simulation process, which strongly affects the predic鄄 tion of fluid flow and solidification behavior in the mold zone. However, most researchers have neglected the influence of the mushy zone coefficient, and the correct expression of this coefficient is rarely found in the literature. Generally, the lower default value of 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1 is used in the model, which leads to unrealistic results. In this study, the relationship between the mushy zone coeffi鄄 cient and permeability was analyzed, and the expression of the mushy zone coefficient was proposed. A coupled flow and solidification numerical model was developed to evaluate the effect of the mushy zone coefficient on the melt flow and solidification phenomena in a bloom continuous casting mold. Results show that the higher the value of the mushy zone coefficient, the stronger the damping be鄄 comes, and the faster the velocity drops as melt solidifies. A relatively high value of the mushy zone coefficient generates a “banded冶 form of mushy zone sandwiched between the solid and liquid phases in the mold zone. When the mushy zone coefficient is at a lower value, a wider mushy zone is obtained and the melt cools down rapidly in the mold region. In addition, the temperature at free surface is rel鄄 atively low with supercooling, and the solidified shell remelts locally. The model is validated through comparison with measurements of shell thickness on a breakout shell. The value of the mushy zone coefficient ranging from 1 伊10 8 to 5 伊10 8 kg·m -3·s -1 is suggested. KEY WORDS continuous casting; numerical simulation; fluid flow; solidification; mushy zone coefficient
·200· 工程科学学报，第41卷，第2期 连铸过程中，钢液在结晶器内的流动形态、温 在1×103~1×107kg·m-3·s-1对钢液凝固的影响， 度分布、初生坯壳生长情况都对铸坯质量有很大 结果表明当A值较低时，钢液温降过快与实际不 的影响).随着计算机计算性能的提高和商业软 符，当A为1×10'kgm-3s1时，计算结果更为 件的发展，数值模拟成为一个研究连铸过程传输 真实，但A增加到1.5×10'kg·m3·s后，计算 行为的重要手段，其中有限体积软件Fluent被广 难以收敛.王强强)指出，对于采用二分式水口的 泛应用于连铸过程中与流动相关物理现象的数值 板坯结晶器，当A为1×10kg·m-3·s-1时，结晶 模拟[2] 器内的钢液温度大多低于液相线温度，且窄面流股 钢液的凝固过程是在一个温度区间（液相线温 冲击区附近几乎无成型的坯壳.可见，选取合适的 度到固相线温度)内进行的，宏观上表现为固液两 糊状区系数对于结晶器内实际流动与凝固现象的认 相区，即糊状区.成形的铸坯一般存在表面激冷层， 识与掌握至关重要. 中心等轴品区和中间的柱状晶区：由此可知，在凝固 鉴于Fluent在连铸数值模拟领域被广泛应用， 过程中，糊状区由柱状晶或（和）等轴晶及液相组 但很少有报道对糊状区系数做出定量化研究.本文 成.其中，一部分柱状晶被流动的钢液打断并随着 首先在前人研究的基础上推导糊状区系数的表达 钢液运动，剩余的柱状晶则跟随已经凝固的坯壳运 式，得出糊状区系数的范围，然后建立数值模型，定 动并向前生长，而等轴晶则随着钢液流动或向下沉 量化研究了糊状区系数对结晶器内钢液流动、传热 积.柱状晶和等轴品都会阻碍钢液在糊状区的流 及凝固的影响，并给出合理的建议值 动，进而影响钢液的传热与凝固进程.为了在模型 中考虑到以上现象，一般采用两种方法处理糊状区 1糊状区系数表征 的钢液流动，分别为变黏度法和达西(Darcy)源项 Fluent采用焓-多孔介质tu8](enthalpy-porosity) 法.由于采用变黏度法时，糊状区的黏度数据不易 方法模拟凝固过程.此方法将糊状区视为一个多孔 获得，因此应用较为广泛的为达西源项法[).达西 介质区域，为了描述糊状区孔隙率减少造成的流股 源项法从宏观尺度处理糊状区，把糊状区内的枝晶 动量损失，需要在动量方程中添加Darcy源项： 视为随着凝固前沿移动的、充满液相的且固相分率 连续变化的多孔介质[4].其中，渗透率是反映多孔 Ss,=DBA(u-4,） (1) (B+) 介质传输性能的重要参数，其能反映具有一定动量 其中：B为液相分率：为一个很小的数(0.001)防 的液相在多孔介质中流动特性，主要受多孔介质的 止分母为零；u为钢液的流速，m·s;u。为凝固坯壳 结构特点及其物理性质影响.Pfeiler等[s)采用 的运动速度（拉速），m·s.A为糊状区系数，其 Blake-Kozeny law计算渗透率，认为渗透率为一次 控制流动阻尼的幅度，值越大，钢液凝固时速度降低 枝晶间距的函数.Beckermann等[6)给出的表达式也 得越快.由于连铸过程中，凝固坯壳被连续地拉出 认为渗透率的大小与一次枝晶间距有关.而多数学 结晶器计算域，因此需要足够大的糊状区系数在液 者[7-]则采用Carman--Kozeny方程处理渗透率，把 相凝固时使流体的速度在拉坯方向等于拉速，另外 渗透率看做二次枝晶间距的函数 两个方向为零1.下面主要分析讨论糊状区系数 糊状区系数A可由Carman-Kozeny方程得 的表达式及取值范围 出，是一个和渗透率相关的物理量.对于Fluent, 在结晶器内存在固相（坯壳）区、固液两相的糊 OpenFOAM,COMSOL等通用流体软件，糊状区系数 状区和中心液相区.在固相区，坯壳的运动速度等 A在多孔介质模型中引入了一个阻尼项.糊状区 于拉速：在液相区，钢液的流动采用湍流模型来描 系数对于数值计算钢液的流动与凝固行为有很大的 述；对于糊状区，通常采用达西(Darcy)定律来处理 影响，但很少有文献给出糊状区系数的正确表达式. 固液两相区内的钢液流动 多数学者忽略糊状区系数对模型的影响，通常采用 达西定律采用多孔介质模型来模拟糊状区，在 默认值1×10kgm-3s-1作为糊状区系数，导致计 多孔介质中流体流动速度正比于压力梯度，当孔隙 算结果与实际不符.有些学者[314]采用较小的糊 率趋于零时，源项对动量方程起主导作用，通常， 状区系数，造成计算结果出现过热耗散过快，液面过 Darcy源项Sp可写作为： 冷等现象.Trindade等[s]采用Fluent默认值l×l05 kg·m3·s-1作为糊状区系数，导致结品器出口中心 (u-“,） Sp= (2) Kp 处的钢液液相率低于L.Hietanen等6研究了Ab 式中：山1为钢液的层流黏度，约为0.006kg·m·
工程科学学报,第 41 卷,第 2 期 连铸过程中,钢液在结晶器内的流动形态、温 度分布、初生坯壳生长情况都对铸坯质量有很大 的影响[1] . 随着计算机计算性能的提高和商业软 件的发展,数值模拟成为一个研究连铸过程传输 行为的重要手段,其中有限体积软件 Fluent 被广 泛应用于连铸过程中与流动相关物理现象的数值 模拟[2] . 钢液的凝固过程是在一个温度区间(液相线温 度到固相线温度) 内进行的,宏观上表现为固液两 相区,即糊状区. 成形的铸坯一般存在表面激冷层, 中心等轴晶区和中间的柱状晶区;由此可知,在凝固 过程中,糊状区由柱状晶或(和) 等轴晶及液相组 成. 其中,一部分柱状晶被流动的钢液打断并随着 钢液运动,剩余的柱状晶则跟随已经凝固的坯壳运 动并向前生长,而等轴晶则随着钢液流动或向下沉 积. 柱状晶和等轴晶都会阻碍钢液在糊状区的流 动,进而影响钢液的传热与凝固进程. 为了在模型 中考虑到以上现象,一般采用两种方法处理糊状区 的钢液流动,分别为变黏度法和达西(Darcy) 源项 法. 由于采用变黏度法时,糊状区的黏度数据不易 获得,因此应用较为广泛的为达西源项法[3] . 达西 源项法从宏观尺度处理糊状区,把糊状区内的枝晶 视为随着凝固前沿移动的、充满液相的且固相分率 连续变化的多孔介质[4] . 其中,渗透率是反映多孔 介质传输性能的重要参数,其能反映具有一定动量 的液相在多孔介质中流动特性,主要受多孔介质的 结构 特 点 及 其 物 理 性 质 影 响. Pfeiler 等[5] 采 用 Blake鄄鄄 Kozeny law 计算渗透率,认为渗透率为一次 枝晶间距的函数. Beckermann 等[6]给出的表达式也 认为渗透率的大小与一次枝晶间距有关. 而多数学 者[7鄄鄄12]则采用 Carman鄄鄄 Kozeny 方程处理渗透率,把 渗透率看做二次枝晶间距的函数. 糊状区系数 Amush 可由 Carman鄄鄄 Kozeny 方程得 出,是一个和渗透率相关的物理量. 对于 Fluent, OpenFOAM,COMSOL 等通用流体软件,糊状区系数 Amush在多孔介质模型中引入了一个阻尼项. 糊状区 系数对于数值计算钢液的流动与凝固行为有很大的 影响,但很少有文献给出糊状区系数的正确表达式. 多数学者忽略糊状区系数对模型的影响,通常采用 默认值 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1作为糊状区系数,导致计 算结果与实际不符. 有些学者[13鄄鄄14] 采用较小的糊 状区系数,造成计算结果出现过热耗散过快,液面过 冷等现象. Trindade 等[15]采用 Fluent 默认值 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1作为糊状区系数,导致结晶器出口中心 处的钢液液相率低于 1. Hietanen 等[16]研究了 Amush 在 1 伊 10 3 ~ 1 伊 10 7 kg·m - 3·s - 1对钢液凝固的影响, 结果表明当 Amush值较低时,钢液温降过快与实际不 符,当 Amush为 1 伊 10 7 kg·m - 3·s - 1时,计算结果更为 真实,但 Amush增加到 1郾 5 伊 10 7 kg·m - 3·s - 1后,计算 难以收敛. 王强强[17]指出,对于采用二分式水口的 板坯结晶器,当 Amush为 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1时,结晶 器内的钢液温度大多低于液相线温度,且窄面流股 冲击区附近几乎无成型的坯壳. 可见,选取合适的 糊状区系数对于结晶器内实际流动与凝固现象的认 识与掌握至关重要. 鉴于 Fluent 在连铸数值模拟领域被广泛应用, 但很少有报道对糊状区系数做出定量化研究. 本文 首先在前人研究的基础上推导糊状区系数的表达 式,得出糊状区系数的范围,然后建立数值模型,定 量化研究了糊状区系数对结晶器内钢液流动、传热 及凝固的影响,并给出合理的建议值. 1 糊状区系数表征 Fluent 采用焓鄄鄄多孔介质[18] (enthalpy鄄鄄 porosity) 方法模拟凝固过程. 此方法将糊状区视为一个多孔 介质区域,为了描述糊状区孔隙率减少造成的流股 动量损失,需要在动量方程中添加 Darcy 源项: SP = (1 - 茁) 2 (茁 3 + 孜) Amush (u - up ) (1) 其中:茁 为液相分率;孜 为一个很小的数(0郾 001) 防 止分母为零;u 为钢液的流速,m·s - 1 ;up 为凝固坯壳 的运动速度(拉速),m·s - 1 . Amush为糊状区系数,其 控制流动阻尼的幅度,值越大,钢液凝固时速度降低 得越快. 由于连铸过程中,凝固坯壳被连续地拉出 结晶器计算域,因此需要足够大的糊状区系数在液 相凝固时使流体的速度在拉坯方向等于拉速,另外 两个方向为零[10] . 下面主要分析讨论糊状区系数 的表达式及取值范围. 在结晶器内存在固相(坯壳)区、固液两相的糊 状区和中心液相区. 在固相区,坯壳的运动速度等 于拉速;在液相区,钢液的流动采用湍流模型来描 述;对于糊状区,通常采用达西(Darcy)定律来处理 固液两相区内的钢液流动. 达西定律采用多孔介质模型来模拟糊状区,在 多孔介质中流体流动速度正比于压力梯度,当孔隙 率趋于零时,源项对动量方程起主导作用,通常, Darcy 源项 SP 可写作为: SP = 滋l KP (u - up ) (2) 式中:滋l 为钢液的层流黏度,约为 0郾 006 kg·m - 1· ·200·
李少翔等：连铸流动与凝固耦合模拟中糊状区系数的表征及影响 ·201· s:Kp为渗透率，是多孔介质的重要参数，与多孔 进程的影响，选取五个不同的值作为糊状区系数进 介质的结构和物理性质相关，反映了钢液在惯性力 行数值模拟计算，如表1所示. 下穿过糊状区的能力.渗透率是孔隙率的函数，在 50 糊状区，渗透率表现为液相分率的函数：当液相分率 45 ·一距弯月面100mm ·一距弯月面300mm 接近零的时候，渗透率也趋近于零，使钢液的速度转 40 +一距弯月面500mm 变为凝固坯壳的速度 由式(1)、(2)可得到糊状区系数与渗透率的关 35A 30 系如下： A=么.(B+) 25 K,(1-B)2 (3) 20 其中，渗透率可由Carman--Kozeny方程)获得： K=人品 2 468101214 (4) 距铸坯外表面的距离mm 图1二次枝品间距测量值 式中，K,为渗透率系数，取决于多孔介质的形态，可 Fig.I SDAS against distance from outer surface of breakout shell 通过Minakawa2]提出的公式计算得到： 表1数值模拟方案 人焉 (5) Table 1 Cases calculated for this study 方案 其中，入2为二次枝晶间距，m.对比式(3)、(4)、(5) 糊状区系数/(kgm3s1) A 1×105 可得，糊状区系数的表达式为： B 1×10 A=山入X3 180 C 1×103 (6) D 1×103 由式(6)可知，糊状区系数与钢液的层流黏度 5×103 和当地的二次枝晶间距有关，且糊状区系数的单位 为kgm3s 2数学模型 二次枝品间距与当地冷却速率密切相关，可由 2.1模型假设 Won和Thomas2]提出的经验公式计算得到： 为描述钢液在结晶器范围内的流动、传热与凝 A2= 固，做出以下假设： (169.1-720.9Wc)Vgs×10-6, 00.15 型模拟钢液的湍流效应： (7) (2)钢液假定为不可压缩牛顿流体，热物性参 式中：W。是钢中碳的质量分数：V。是当地的冷却速 数为常数，密度符合Boussinesq近似； cooling rate),K.s. (3)由于钢的固态相变潜热远小于凝固潜热， 计算可知，入2的数量级约为1×10-4m.Jiang 故忽略其影响； 和Zhu2]以及Ji等2]测量了从铸坯表面到中心的 (4)将糊状区视为多孔介质，糊状区内的流动 二次枝晶间距，约在20μm到200μm之间，且靠近 服从达西定律； 铸坯表面的二次枝晶间距较小.图1给出了漏钢坯 (5)忽略钢液凝固收缩和结品器弧度对结品器 壳距离弯月面不同位置处的二次枝品间距测量值， 内部钢液流动和温度状态的影响. 由图可知，在漏钢之前铸坯表面附近的二次枝晶间 2.2控制方程 距均小于50m,且随着距铸坯表面距离的增加而 (1)连续性方程. 增加.随后二次枝晶间距出现下降，这是因为漏钢 dui0 (8) 停浇后，内部初凝坯壳与空气接触，当地冷却速率加 dx: 快，二次枝品间距减小.其中二次枝晶间距为100 其中：x:为空间坐标；山：为x:方向的速度分量，m· m时，计算得出糊状区系数约为1×103kg·m-3. s-1. s·.综上，为了研究糊状区系数对钢液流动与凝固 (2)动量方程
李少翔等: 连铸流动与凝固耦合模拟中糊状区系数的表征及影响 s - 1 ;KP 为渗透率,是多孔介质的重要参数,与多孔 介质的结构和物理性质相关,反映了钢液在惯性力 下穿过糊状区的能力. 渗透率是孔隙率的函数,在 糊状区,渗透率表现为液相分率的函数;当液相分率 接近零的时候,渗透率也趋近于零,使钢液的速度转 变为凝固坯壳的速度. 由式(1)、(2)可得到糊状区系数与渗透率的关 系如下: Amush = 滋l KP · (茁 3 + 孜) (1 - 茁) 2 (3) 其中,渗透率可由 Carman鄄鄄Kozeny 方程[19]获得: KP = K0 (茁 3 + 孜) (1 - 茁) 2 (4) 式中,K0 为渗透率系数,取决于多孔介质的形态,可 通过 Minakawa [20]提出的公式计算得到: K0 = 姿 2 2 180 (5) 其中,姿2 为二次枝晶间距,m. 对比式(3)、(4)、(5) 可得,糊状区系数的表达式为: Amush = 滋l 180 姿 2 2 (6) 由式(6)可知,糊状区系数与钢液的层流黏度 和当地的二次枝晶间距有关,且糊状区系数的单位 为 kg·m - 3·s - 1 . 二次枝晶间距与当地冷却速率密切相关,可由 Won 和 Thomas [21]提出的经验公式计算得到: 姿2 = (169郾 1 -720郾 9·WC)·V -0郾 4935 R 伊10 -6 , 0 0郾 15 (7) 式中:WC 是钢中碳的质量分数;VR 是当地的冷却速 率(cooling rate),K·s - 1 . 计算可知,姿2 的数量级约为 1 伊 10 - 4 m. Jiang 和 Zhu [22]以及 Ji 等[23]测量了从铸坯表面到中心的 二次枝晶间距,约在 20 滋m 到 200 滋m 之间,且靠近 铸坯表面的二次枝晶间距较小. 图 1 给出了漏钢坯 壳距离弯月面不同位置处的二次枝晶间距测量值, 由图可知,在漏钢之前铸坯表面附近的二次枝晶间 距均小于 50 滋m,且随着距铸坯表面距离的增加而 增加. 随后二次枝晶间距出现下降,这是因为漏钢 停浇后,内部初凝坯壳与空气接触,当地冷却速率加 快,二次枝晶间距减小. 其中二次枝晶间距为 100 滋m 时,计算得出糊状区系数约为 1 伊 10 8 kg·m - 3· s - 1 . 综上,为了研究糊状区系数对钢液流动与凝固 进程的影响,选取五个不同的值作为糊状区系数进 行数值模拟计算,如表 1 所示. 图 1 二次枝晶间距测量值 Fig. 1 SDAS against distance from outer surface of breakout shell 表 1 数值模拟方案 Table 1 Cases calculated for this study 方案 糊状区系数/ (kg·m - 3·s - 1 ) A 1 伊 10 5 B 1 伊 10 6 C 1 伊 10 7 D 1 伊 10 8 E 5 伊 10 8 2 数学模型 2郾 1 模型假设 为描述钢液在结晶器范围内的流动、传热与凝 固,做出以下假设: (1)连铸过程视为稳态,采用低雷诺数 k鄄鄄 着 模 型模拟钢液的湍流效应; (2)钢液假定为不可压缩牛顿流体,热物性参 数为常数,密度符合 Boussinesq 近似; (3)由于钢的固态相变潜热远小于凝固潜热, 故忽略其影响; (4)将糊状区视为多孔介质,糊状区内的流动 服从达西定律; (5)忽略钢液凝固收缩和结晶器弧度对结晶器 内部钢液流动和温度状态的影响. 2郾 2 控制方程 (1)连续性方程. 鄣ui 鄣xi = 0 (8) 其中:xi 为空间坐标;ui 为 xi 方向的速度分量,m· s - 1 . (2)动量方程. ·201·
·202· 工程科学学报，第41卷，第2期 能+小- au,-日[ 式[25]计算得出： k=0.01a (18) a -+pgi+F8+Sp ε=2k5/D (19) ax (9) 其中：m为人口速度，m·s;D为水口的水力直径， 式中：p为钢液的密度，kgm-3;P为压强，Pa;g:为 m. 重力加速度，m·s-之.u为有效黏度系数，为层流黏 (2)计算域出口：采用充分发展边界条件，即所 度与湍流黏度之和，可通过下式计算： 有物理量沿出口法线方向的梯度为零 u=u+u (10) (3)自由液面：考虑到保护渣的保温效果，自由 4,为湍流黏度，表达式为： 液面处设为绝热：且液面处的剪切应力设为零。 以=以C生 (11) (4)壁面：均采用无滑移壁面，壁面附近的流场 由低雷诺数k-ε模型处理.其中，水口壁面为绝热； 式中，∫和C.为低雷诺数湍流模型常数.k为湍动 结晶器区的边界热流密度q。由Savage和Prit- 能，m2s-2;6为湍动能耗散率，m2s-3;由低雷诺数 chard[2提出的关系式计算得出： k-ε模型计算，低雷诺数k-ε模型的具体细节可参 考文献[24]. 9.=2680000-b√/u。 (20) F。为热浮力，如下所示： 其中， FB=pg:(T-T) (12) b=1.5×(2680000-92) (21) 其中：σ为热膨胀系数，K-1;T为当地温度，K;T为 an/u。 参考温度，K,设为钢液的液相线温度 9=年×mx47 M (22) Sp为见式(1). 式中：d为距弯月面的距离，m;d。为结晶器的有效 其中： 长度，m.g为结晶器区域的平均热流密度，W·m2; 0 T≤Ts T-Ts cw为冷却水比热容，J·kg1·K-;m为结晶器冷却 B= TL-Ts Ts<T<TL (13) 水流量，kg·s;△T为结晶器冷却水温差，K;M为 结品器有效冷却面积，m2. T≥T 对于计算域扩展到的足辊区与二冷区，分别采 其中：T和T分别为钢液的固相线温度和液相线 用不同的综合换热系数，其中， 温度，K 水喷嘴： (3)能量方程 4=420m8351 (23) (14) 气雾喷嘴： 其中：K为钢液层流导热系数，W·m1.K-1;P,为 2=116+10.44m851 (24) 湍流普朗特数，设为0.85：H为系统总焓，为显焓h 其中：1和t2分别为足辊区和二冷区的综合换热系 与潜热焓△H之和，见下式. 数，Wm2.K-1;mo为足辊区冷却水流量，Lm2. H=h+△H (15) s-l;m1为二冷区冷却水流量，Lm-2.min-1 本研究采用基于有限体积法的计算流体力学商 h=hd+cpdT (16) 业软件Fluent进行模拟计算.为使湍流充分发展， △H=BL (17) 计算域延长到2m,其中Z方向为拉坯方向，X方向 其中：h为参考焓；cp为钢液比热容，Jkgl·K-1;L 和Y方向分别平行于矩形铸坯的窄面和宽面.计算 为钢液的凝固潜热，约为270kJ·kg:△H为潜热 域内的网格均采用六面体网格，在水口边界层及凝 焓，与液相分率B相关，值在0（固相）与L(液相) 固区域等传输强度激烈区域进行网格加密，网格总 之间. 数约160万.考虑到糊状区系数较大时，残差曲线 2.3边界条件与模拟过程 容易发生震荡难以收敛，故采用PS0算法进行瞬态 (1)水口入口：入口速度由通钢量根据质量守 计算，其中时间步长从0.0005s逐渐增加到0.01s, 恒计算得出，入口温度为钢液液相线温度与过热度 计算总时间为40s.收敛标准设定为能量残差低于 之和.入口处的湍动能与湍动能耗散由半经验公 10-6,其他变量残差低于10-4.计算采用的45碳钢
工程科学学报,第 41 卷,第 2 期 籽 鄣uiuj 鄣xj = 鄣 鄣x [ j 滋eff ( 鄣ui 鄣xj + 鄣uj 鄣x ) ] i - 鄣P 鄣xi + 籽gi + FB + SP (9) 式中:籽 为钢液的密度,kg·m - 3 ;P 为压强,Pa;gi 为 重力加速度,m·s - 2 . 滋eff为有效黏度系数,为层流黏 度与湍流黏度之和,可通过下式计算: 滋eff = 滋l + 滋t (10) 滋t 为湍流黏度,表达式为: 滋t = 籽f 滋C滋 k 2 着 (11) 式中,f 滋 和 C滋 为低雷诺数湍流模型常数. k 为湍动 能,m 2·s - 2 ;着 为湍动能耗散率,m 2·s - 3 ;由低雷诺数 k鄄鄄着 模型计算,低雷诺数 k鄄鄄 着 模型的具体细节可参 考文献[24]. FB 为热浮力,如下所示: FB = 籽gi滓(T - Tref) (12) 其中:滓 为热膨胀系数,K - 1 ;T 为当地温度,K;Tref为 参考温度,K,设为钢液的液相线温度. SP 为见式(1). 其中: 茁 = 0 T臆TS T - TS TL - TS TS < T < TL 1 T逸T ì î í ï ï ï ï L (13) 其中:TS 和 TL 分别为钢液的固相线温度和液相线 温度,K. (3)能量方程. 籽ui 鄣H 鄣xi = 鄣 鄣x [ ( i Kl + 滋t Pr ) t 鄣T 鄣x ] i (14) 其中:Kl 为钢液层流导热系数,W·m - 1·K - 1 ;Prt 为 湍流普朗特数,设为 0郾 85;H 为系统总焓,为显焓 h 与潜热焓 驻H 之和,见下式. H = h + 驻H (15) h = href + 乙 T Tref cP dT (16) 驻H = 茁L (17) 其中:href为参考焓;cP 为钢液比热容,J·kg - 1·K - 1 ;L 为钢液的凝固潜热,约为 270 kJ·kg - 1 ;驻H 为潜热 焓,与液相分率 茁 相关,值在 0 (固相) 与 L(液相) 之间. 2郾 3 边界条件与模拟过程 (1)水口入口:入口速度由通钢量根据质量守 恒计算得出,入口温度为钢液液相线温度与过热度 之和. 入口处的湍动能与湍动能耗散由半经验公 式[25]计算得出: k = 0郾 01v 2 in (18) 着 = 2k 1郾 5 / D (19) 其中:vin为入口速度,m·s - 1 ;D 为水口的水力直径, m. (2)计算域出口:采用充分发展边界条件,即所 有物理量沿出口法线方向的梯度为零. (3)自由液面:考虑到保护渣的保温效果,自由 液面处设为绝热;且液面处的剪切应力设为零. (4)壁面:均采用无滑移壁面,壁面附近的流场 由低雷诺数 k鄄鄄着 模型处理. 其中,水口壁面为绝热; 结晶 器 区 的 边 界 热 流 密 度 qs 由 Savage 和 Prit鄄 chard [26]提出的关系式计算得出: qs = 2680000 - b d / up (20) 其中, b = 1郾 5 伊 (2680000 - q) dm / up (21) q = cW 伊 m 伊 驻T Meff (22) 式中:d 为距弯月面的距离,m;dm 为结晶器的有效 长度,m. q 为结晶器区域的平均热流密度,W·m - 2 ; cW 为冷却水比热容,J·kg - 1·K - 1 ;m 为结晶器冷却 水流量,kg·s - 1 ;驻T 为结晶器冷却水温差,K;Meff为 结晶器有效冷却面积,m 2 . 对于计算域扩展到的足辊区与二冷区,分别采 用不同的综合换热系数,其中, 水喷嘴: t 1 = 420m 0郾 351 0 (23) 气雾喷嘴: t 2 = 116 + 10郾 44m 0郾 851 1 (24) 其中:t 1 和 t 2 分别为足辊区和二冷区的综合换热系 数,W·m - 2·K - 1 ;m0 为足辊区冷却水流量,L·m - 2· s - 1 ;m1 为二冷区冷却水流量,L·m - 2·min - 1 . 本研究采用基于有限体积法的计算流体力学商 业软件 Fluent 进行模拟计算. 为使湍流充分发展, 计算域延长到 2 m,其中 Z 方向为拉坯方向,X 方向 和 Y 方向分别平行于矩形铸坯的窄面和宽面. 计算 域内的网格均采用六面体网格,在水口边界层及凝 固区域等传输强度激烈区域进行网格加密,网格总 数约 160 万. 考虑到糊状区系数较大时,残差曲线 容易发生震荡难以收敛,故采用 PISO 算法进行瞬态 计算,其中时间步长从 0郾 0005 s 逐渐增加到 0郾 01 s, 计算总时间为 40 s. 收敛标准设定为能量残差低于 10 - 6 ,其他变量残差低于 10 - 4 . 计算采用的 45 碳钢 ·202·
李少翔等：连铸流动与凝固耦合模拟中糊状区系数的表征及影响 ·203· 钢液热物性参数及连铸工艺参数见表2. A糊状区系数较小时，过热的钢液从浸入式水口注 表2钢液热物性参数及模拟参数列表 入到结晶器后，在结晶器上部区域快速冷却，钢液过 Table 2 Thermophysical properties and simulation conditions in this 热在水口附近完全耗散，糊状区范围很大，几乎没有 study 纯液相.对于方案B,糊状区系数为1×10kg·m-3. 参数名称 数值 s时，糊状区范围减小，但仍然可观察到明显的糊 结品器工作长度/mm 645 状区.从方案C、D、E看出，当糊状区系数增加到 铸坯断面/mm2 250×280 1×10'kgm3s1后，糊状区范围变得很窄，呈“带 拉速/(m'min-!) 1.05 状”分布在固相与液相之间，凝固前沿清晰可见，结 水口插入深度/mm 100 晶器内大部分为纯液相.图3给出了方案A与B的 水口内径/mm 40 液相等温线和固相等温线，以及方案C、D和E液相 水口外径/mm 90 分率的局部放大图.可以看出，随着糊状区系数的 钢液比热容/(Jkg1·K1) 680 增加，结晶器区域的糊状区范围明显缩小.当糊状 钢液导热系数/(Wm1K) 29 区系数大于1×10'kgm-3s-时，糊状区仅呈“带 钢液黏度/(kg·m·s1) 0.006 状”分布于固液相之间.此外，随着糊状区系数的增 钢液密度/(kg·m3) 7020 加，“带状”糊状区的范围进一步变窄，但差异越来 固相线温度/K 1718 越小 液相线温度/K 1766 为了定量分析糊状区系数对糊状区范围的影 凝固潜热/（小kg) 270000 响，图4给出了采用不同的糊状区系数时，结晶器出 热膨胀系数/K1 1×10-4 口处(Z=0.645m)铸坯横截面上的液相分率分布 过热度/K 30 云图.其中，液相分率为0.3处视为凝固前沿，图中 可见，当糊状区系数为1×105kg·m-3·s-1时，糊状 区范围很大，宽度约为48mm.当糊状区系数为1× 3计算结果与讨论 10kg·m3s时，糊状区范围减小，但仍有一定的 图2为采用不同的糊状区系数时，结晶器宽面 宽度，约为16.5mm.当糊状区系数增加到1×107 中心对称面(X=0m)上的液相分率分布情况，为显 kg·m3·s'后，糊状区宽度变得很窄且变化不再明 示清晰，沿拉坯方向取1.2m.图中可见，对于方案 显，但随着糊状区系数的增加，糊状区的宽度仍有变 0 0- 0 0- 液相分率 01 0.1- 0.1 0.1 01 ■0.95 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.90 0.85 0.3- 0.3 0.3 0.3 0.80 0.4 0.4- 04 075 0.70 0.65 0.5- 05 0.5 05 0.60 号0.6 50.61 06 0.6- 0.55 0.50 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.45 0.40 0.8 0.8- 0.8 0.8 0.35 0.30 0.9 0.9 0.9 0.9 838 1.0 1.0 1.0- 1.0 1.0 1.1 1.1 1.1 1.1 0.05 01 00.1 0.1 0.1 0. 0.1 00.1 0.1 0.1 Y/m m Y/m Y/m Y/m (a) (b) d 图2不同糊状区系数下结品器宽面中心对称面上的液相分率分布.(a)1×103kgm3s1:(b)1×10kgm3s1:(c)1×102kg m3sl:(d)1×103kgm3s1:(e)5×103kgm3s1 Fig.2 Distributions of liquid fraction on central symmetry plane of strand under different cases:(a)1x105 kg-m3.s;(b)Ix106 kgm3. s-1;(c)1x107 kg.m-3.s-1;(d)1x108 kg.m-3.s-1;(e)5x108 kg.m-3.s-1
李少翔等: 连铸流动与凝固耦合模拟中糊状区系数的表征及影响 钢液热物性参数及连铸工艺参数见表 2. 表 2 钢液热物性参数及模拟参数列表 Table 2 Thermophysical properties and simulation conditions in this study 参数名称 数值 结晶器工作长度/ mm 645 铸坯断面/ mm 2 250 伊 280 拉速/ (m·min - 1 ) 1郾 05 水口插入深度/ mm 100 水口内径/ mm 40 水口外径/ mm 90 钢液比热容/ (J·kg - 1·K - 1 ) 680 钢液导热系数/ (W·m - 1·K - 1 ) 29 钢液黏度/ (kg·m - 1·s - 1 ) 0郾 006 钢液密度/ (kg·m - 3 ) 7020 固相线温度/ K 1718 液相线温度/ K 1766 凝固潜热/ (J·kg - 1 ) 270000 热膨胀系数/ K - 1 1 伊 10 - 4 过热度/ K 30 图 2 不同糊状区系数下结晶器宽面中心对称面上的液相分率分布 郾 (a) 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1 ; (b) 1 伊 10 6 kg·m - 3·s - 1 ; ( c) 1 伊 10 7 kg· m - 3·s - 1 ; (d) 1 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 ; (e) 5 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 Fig. 2 Distributions of liquid fraction on central symmetry plane of strand under different cases: (a) 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1 ; (b) 1 伊 10 6 kg·m - 3· s - 1 ; (c) 1 伊 10 7 kg·m - 3·s - 1 ; (d) 1 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 ; (e) 5 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 3 计算结果与讨论 图 2 为采用不同的糊状区系数时,结晶器宽面 中心对称面(X = 0 m)上的液相分率分布情况,为显 示清晰,沿拉坯方向取 1郾 2 m. 图中可见,对于方案 A 糊状区系数较小时,过热的钢液从浸入式水口注 入到结晶器后,在结晶器上部区域快速冷却,钢液过 热在水口附近完全耗散,糊状区范围很大,几乎没有 纯液相. 对于方案 B,糊状区系数为1 伊 10 6 kg·m - 3· s - 1时,糊状区范围减小,但仍然可观察到明显的糊 状区. 从方案 C、D、E 看出,当糊状区系数增加到 1 伊 10 7 kg·m - 3·s - 1后,糊状区范围变得很窄,呈“带 状冶分布在固相与液相之间,凝固前沿清晰可见,结 晶器内大部分为纯液相. 图 3 给出了方案 A 与 B 的 液相等温线和固相等温线,以及方案 C、D 和 E 液相 分率的局部放大图. 可以看出,随着糊状区系数的 增加,结晶器区域的糊状区范围明显缩小. 当糊状 区系数大于 1 伊 10 7 kg·m - 3·s - 1时,糊状区仅呈“带 状冶分布于固液相之间. 此外,随着糊状区系数的增 加,“带状冶糊状区的范围进一步变窄,但差异越来 越小. 为了定量分析糊状区系数对糊状区范围的影 响,图 4 给出了采用不同的糊状区系数时,结晶器出 口处(Z = 0郾 645 m)铸坯横截面上的液相分率分布 云图. 其中,液相分率为 0郾 3 处视为凝固前沿,图中 可见,当糊状区系数为 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1时,糊状 区范围很大,宽度约为 48 mm. 当糊状区系数为 1 伊 10 6 kg·m - 3·s - 1时,糊状区范围减小,但仍有一定的 宽度,约为 16郾 5 mm. 当糊状区系数增加到 1 伊 10 7 kg·m - 3·s - 1后,糊状区宽度变得很窄且变化不再明 显,但随着糊状区系数的增加,糊状区的宽度仍有变 ·203·
·204· 工程科学学报，第41卷，第2期 0 0.58 058 0.58 9 液相分率 021 0.80 0.4- 0.75 0.70 0.5 0.5 0.65 液相线 0.60 0.6 息06- 等温线 号0.59- 号0.591 号0.59 0.55 050 0 0.7 0.45 0.8 08 0.9 周相线 等温线 0.9 固相线 等润线 0.20 1.0- 1.0- 0.15 0.10 1.1- 0.05 1.2 0.60 0.60- 0.60 01001 1.2 -0.100.1 0.1230.1260.129 0.1230.1260.129 0.1230.1260.129 Yim Y/m Yim Y/m Y/m (a) b (e) 图3不同糊状区系数下结品器宽面中心对称面上的糊状区示意图.(a)1×10kg·m3·s1:(b)1×10°kg·m3·s1:(c)1×10?kg m-3.s-1;(d)1x108 kg.m-3.s-1;(e)5x10 kg.m-3.s-1 Fig.3 Diagrams of mushy zone on central symmetry plane of strand under different cases:(a)1 x 105 kg'm3.s;(b)1x106 kgm3.s; (c)1x107 kg-m-3.s-1;(d)1x108 kg.m-3.s-1;(e)5x108 kg.m-3.s-1 窄的趋势：对于方案C、D和E,糊状区宽度分别约 所示.图8给出了采用不同糊状区系数时，自由液 为8、5和4.5mm.同时，图5给出了结晶器出口处 面处的钢液温度在宽面中心线上的分布情况，为使 液相分率在宽面中心线上的变化曲线.由图可知， 数据清晰直观，去掉了凝固坯壳附近温度过低的节 随着糊状区系数的增大，同一位置处的液相分率增 点.由图可知，自由液面处的钢液温度随着糊状区 加，说明凝固变迟缓.其中，方案A液相分率大部分 系数的增加而提高.其中，仅有方案D与方案E,钢 低于1，说明糊状区占较大比例：而其余方案除靠近 液在自由液面处有一定的过热度：对于方案A、B和 铸坯边部外，液相分率都为1，也就是说结晶器中间 C,液面温度均低于液相线温度，与实际不符.此外， 绝大部分为纯液相.综上，采用过小的糊状区系数 当糊状区系数为1×103kg·m3·s1时，自由液面处 会不切实际地加快钢液在结晶器范围内的冷却速 的钢液过冷度约为7K,反映了小的糊状区系数会导 率，且扩大糊状区范围. 致结晶器上部区域钢液冷却速率过快 图6为不同糊状系数下结品器中心线上的钢液 图9给出了采用不同的糊状区系数时，铸坯宽 温度沿拉坯方向的分布，反映了糊状区系数对钢液 面中心处的坯壳厚度沿拉坯方向的变化情况，其中 过热耗散的影响.从图中可以看出，随着糊状区系 以液相分率0.3处作为凝固前沿.从图中可以看 数的增加，同一位置处的钢液温度变高，说明糊状区 出，在自由液面至其下约0.6m范围，糊状区系数越 系数越小，钢液冷却越快.其中，当糊状区系数为1 小，凝固坯壳越厚.这是由于采用较小的糊状区系 ×10kg·m3·s-1时，钢液过热在结晶器出口处已 数时，结晶器上部区域的钢液冷却过快，加速了初生 经完全耗散，出结晶器后将没有液相存在：对于方案 坯壳的凝固.然而，距自由液面0.6m以下，凝固坯 B、C、D和E,结晶器出口处钢液仍有一定的过热 壳厚度随着糊状区系数的增大而增加.这是因为采 度，分别为3.70、9.41、11.00和11.53K. 用大的糊状区系数时，凝固前沿的速度梯度比较大， 图7显示了采用不同糊状区系数时，宽面中心 在液相凝固时钢液的速度快速变为拉速：而糊状区 弯月面处的钢液流线图与液相分率分布.从图中可 系数较小时，钢液速度在凝固前沿下降变慢，加强了 以看出，对于方案A与方案B,钢液在弯月面区域没 对凝固坯壳的冲刷，如图10所示：其中当糊状区系 有形成上循环区，这是由于弯月面附近处于糊状区， 数为1×10kgm3·s时，凝固坯壳出现了重熔现 钢液流动不够活跃；当糊状区系数增加到1×10'kg 象，与王强强[]得出的结果相符.图10显示了糊 ·m3·s1后，弯月面附近完全为液相，形成了清晰 状区系数分别为1×105kgm-3s1与5×108kg· 的上循环区.也就是说，随着糊状区系数的增加，钢 m3s'时，宽面中心上钢液主循环区处的钢液流 液在弯月面处的流动更加活跃.钢液在弯月面处的 线图与液相分率分布.从图中可以看出，当糊状区 流动形态会直接影响弯月面处的温度分布，如图8 系数为5×103kgm-3s时，凝固坯壳厚度随着距
工程科学学报,第 41 卷,第 2 期 图 3 不同糊状区系数下结晶器宽面中心对称面上的糊状区示意图 郾 (a) 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1 ; (b) 1 伊 10 6 kg·m - 3·s - 1 ; ( c) 1 伊 10 7 kg· m - 3·s - 1 ; (d) 1 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 ; (e) 5 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 Fig. 3 Diagrams of mushy zone on central symmetry plane of strand under different cases: (a) 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1 ; ( b) 1 伊 10 6 kg·m - 3·s - 1 ; (c) 1 伊 10 7 kg·m - 3·s - 1 ; (d) 1 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 ; (e) 5 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 窄的趋势;对于方案 C、D 和 E,糊状区宽度分别约 为 8、5 和 4郾 5 mm. 同时,图 5 给出了结晶器出口处 液相分率在宽面中心线上的变化曲线. 由图可知, 随着糊状区系数的增大,同一位置处的液相分率增 加,说明凝固变迟缓. 其中,方案 A 液相分率大部分 低于 1,说明糊状区占较大比例;而其余方案除靠近 铸坯边部外,液相分率都为 1,也就是说结晶器中间 绝大部分为纯液相. 综上,采用过小的糊状区系数 会不切实际地加快钢液在结晶器范围内的冷却速 率,且扩大糊状区范围. 图 6 为不同糊状系数下结晶器中心线上的钢液 温度沿拉坯方向的分布,反映了糊状区系数对钢液 过热耗散的影响. 从图中可以看出,随着糊状区系 数的增加,同一位置处的钢液温度变高,说明糊状区 系数越小,钢液冷却越快. 其中,当糊状区系数为 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1时,钢液过热在结晶器出口处已 经完全耗散,出结晶器后将没有液相存在;对于方案 B、C、D 和 E,结晶器出口处钢液仍有一定的过热 度,分别为 3郾 70、9郾 41、11郾 00 和 11郾 53 K. 图 7 显示了采用不同糊状区系数时,宽面中心 弯月面处的钢液流线图与液相分率分布. 从图中可 以看出,对于方案 A 与方案 B,钢液在弯月面区域没 有形成上循环区,这是由于弯月面附近处于糊状区, 钢液流动不够活跃;当糊状区系数增加到 1 伊 10 7 kg ·m - 3·s - 1 后,弯月面附近完全为液相,形成了清晰 的上循环区. 也就是说,随着糊状区系数的增加,钢 液在弯月面处的流动更加活跃. 钢液在弯月面处的 流动形态会直接影响弯月面处的温度分布,如图 8 所示. 图 8 给出了采用不同糊状区系数时,自由液 面处的钢液温度在宽面中心线上的分布情况,为使 数据清晰直观,去掉了凝固坯壳附近温度过低的节 点. 由图可知,自由液面处的钢液温度随着糊状区 系数的增加而提高. 其中,仅有方案 D 与方案 E,钢 液在自由液面处有一定的过热度;对于方案 A、B 和 C,液面温度均低于液相线温度,与实际不符. 此外, 当糊状区系数为 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1时,自由液面处 的钢液过冷度约为 7 K,反映了小的糊状区系数会导 致结晶器上部区域钢液冷却速率过快. 图 9 给出了采用不同的糊状区系数时,铸坯宽 面中心处的坯壳厚度沿拉坯方向的变化情况,其中 以液相分率 0郾 3 处作为凝固前沿. 从图中可以看 出,在自由液面至其下约 0郾 6 m 范围,糊状区系数越 小,凝固坯壳越厚. 这是由于采用较小的糊状区系 数时,结晶器上部区域的钢液冷却过快,加速了初生 坯壳的凝固. 然而,距自由液面 0郾 6 m 以下,凝固坯 壳厚度随着糊状区系数的增大而增加. 这是因为采 用大的糊状区系数时,凝固前沿的速度梯度比较大, 在液相凝固时钢液的速度快速变为拉速;而糊状区 系数较小时,钢液速度在凝固前沿下降变慢,加强了 对凝固坯壳的冲刷,如图 10 所示;其中当糊状区系 数为 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1时,凝固坯壳出现了重熔现 象,与王强强[17] 得出的结果相符. 图 10 显示了糊 状区系数分别为 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1与 5 伊 10 8 kg· m - 3·s - 1时,宽面中心上钢液主循环区处的钢液流 线图与液相分率分布. 从图中可以看出,当糊状区 系数为 5 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1时,凝固坯壳厚度随着距 ·204·
李少翔等：连铸流动与凝固耦合模拟中糊状区系数的表征及影响 ·205· 夜相分空 0.10 0.110 0.05 0.105 0 0.100 -0.05 0.095 -0.10 0.090 -0.10-0.0500.050.10 -0.125-0.120-0.1150.1I0-0.105-0.100 Y/m Y/m a 0.10 0.110 0.05 0.105 0 号0.100 -0.05 0.095 -0.10 0.090 -0.10-0.0500.050.10 0.125-0.120-0.115-0.110-.105 Y/m Y/m b 0.10 0.110 0.05 0.105 0 E月 -0.05 0.100 0.10 0.095 -0.10-0.0500.050.10 -0.1250120-011541110 Y/m Y/m c 0.110 0.10 0.108 0.05 0.106 0 0.104 -0.05 0.102 0.10 0.100- 0.10-0.0500.050.10 01240.122-0,120-0.118-0.116-0.114 Y/m Ym (d) 0.110+ 0.10 0.108 0.05 0.106 0 日 0.104 0.05 0.102 -0.10 0.100 -0.10-0.0500.050.10 0.1240.122-0.120-0.118-0.116-0.114 Y/m Y/m (e) 图4不同糊状区系数下结品器出口处铸坯横截面上的液相分率分布云图.(a)1×103kgm3s1:(b)1×106kgm~3.s·;(c)1× 102kgm3s1;(d)1×108kgm3sl;(e)5×108kgm-3sl Fig.4 Liquid fraction contour on cross plane at mold exit under different cases:(a)1x105 kg-m.s;(b)1x106 kg.m.s;(e)1x107 kgm3s:(d)1×108kgm3s:(e)5×108kgm3s1 弯月面的距离增加而逐渐增加：而糊状区系数为 在凝固前沿冲刷坯壳，造成坯壳停滞生长且发生 1×105kgm-3s1时，在距弯月面0.5m以下，钢液 重熔
李少翔等: 连铸流动与凝固耦合模拟中糊状区系数的表征及影响 图 4 不同糊状区系数下结晶器出口处铸坯横截面上的液相分率分布云图 郾 (a) 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1 ; ( b) 1 伊 10 6 kg·m - 3·s - 1 ; ( c) 1 伊 10 7 kg·m - 3·s - 1 ; (d) 1 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 ; (e) 5 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 Fig. 4 Liquid fraction contour on cross plane at mold exit under different cases: (a) 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1 ; (b) 1 伊 10 6 kg·m - 3·s - 1 ; (c) 1 伊 10 7 kg·m - 3·s - 1 ; (d) 1 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 ; (e) 5 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 弯月面的距离增加而逐渐增加;而糊状区系数为 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1时,在距弯月面 0郾 5 m 以下,钢液 在凝固前沿冲刷坯壳,造成坯壳停滞生长且发生 重熔. ·205·
·206· 工程科学学报.第41卷，第2期 1800 1.0 1795 0.8 1790 结品器出口 一方案A 10 ---方案B 解0.6 a.95 方案A 兰1785 -…-·方案C 方A -方案B 一一方案B -…·方案D 080 二为 方案0 方案E 075 案 a.70 …·方案E 1775 0.2 1770 液相线温度 1765 0.5 0 05 1.0 15 2.0 -0.15 -0.10-0.05 0 0.050.100.15 Z/m Y/m 图5不同糊状区系数下结品器出口处液相分率沿铸坯宽度方 图6不同糊状系区数下结品器中心线上的钢液温度沿拉坯方 向的变化曲线 向的分布 Fig.5 Variation of liquid fraction along Y direction at mold exit Fig.6 Temperature variations at strand center along casting direction 0.1 (a 0.1 (b) -0.1 -0.11{d0 -0.1m(e 液相分率 0.95 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 -0.1 -0.1 -0.1 -0.1 0.50 045 0.40 0.2 0.2 0.2 -0.2 0.2 0.25 0.10 0.05 0.3 03 0. 0.1 0.1 0.1 01 0.1 Y/m Y/m Y/m Y/m Y/m 图7不同糊状区系数下弯月面处的钢液流线图与液相分率云图.(a)1×105kg·m3.s1:(b)1×106kgm3·s1:(c)1×10?kg·m3 s1:(d)1x108kgm3.sl:(e)5×108kgm3s1 Fig.7 Liquid fraction contour and streamline around meniscus:(a)1 x105 kg'm-3.s!;(b)1x106 kg.m-3.s;(c)1x107 kg'm-3.s-; (d)1×10kgm-3s1;(e)5×108kgm3s1 1768 1766 结品器出口 1764 20 1762 液相线温度 15 型1760 一方案A 10 一方案A ---方案B 1758 一一·方案B 一…方案C 1756 -…-·方案C 5 =方案D -=方案D ·…方案E 1754 ·方案E 1752 0.04 0.06 0.08 0.100.120.14 0.5 1.0 .5 2.0 Y/m Z/m 图8不同糊状区系数下自由液面处的钢液温度沿宽面方向的 图9不同糊状区系数下宽面中心线上的坯壳厚度沿拉坯方向 分布 的变化情况 Fig.8 Variation of temperature along Y direction at free surface Fig.9 Shell thickness at center line of wide face along casting direc- tion
工程科学学报,第 41 卷,第 2 期 图 5 不同糊状区系数下结晶器出口处液相分率沿铸坯宽度方 向的变化曲线 Fig. 5 Variation of liquid fraction along Y direction at mold exit 图 6 不同糊状系区数下结晶器中心线上的钢液温度沿拉坯方 向的分布 Fig. 6 Temperature variations at strand center along casting direction 图 7 不同糊状区系数下弯月面处的钢液流线图与液相分率云图郾 (a) 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1 ; (b) 1 伊 10 6 kg·m - 3·s - 1 ; (c) 1 伊 10 7 kg·m - 3 ·s - 1 ;(d) 1 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 ; (e) 5 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 Fig. 7 Liquid fraction contour and streamline around meniscus: (a) 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1 ; (b) 1 伊 10 6 kg·m - 3·s - 1 ; (c) 1 伊 10 7 kg·m - 3·s - 1 ; (d) 1 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 ; (e) 5 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 图 8 不同糊状区系数下自由液面处的钢液温度沿宽面方向的 分布 Fig. 8 Variation of temperature along Y direction at free surface 图 9 不同糊状区系数下宽面中心线上的坯壳厚度沿拉坯方向 的变化情况 Fig. 9 Shell thickness at center line of wide face along casting direc鄄 tion ·206·
李少翔等：连铸流动与凝固耦合模拟中糊状区系数的表征及影响 ·207· b 形成的坯壳上，造成测量值大于实际值.实验对比 0.3 液相分率 表明，本研究采用的模型结果与实际基本吻合、具有 ■0.95 较好的可靠性. 0.4 0.4- 0.90 0.85 0.80 25 0.5 0.5 0.75 0.70 20 0.65 0.60 50.6 号0.6- 0.45 0.40 10 一经验公式计算值 0.7 0.7 一·数值模拟计算值 ·漏钢坯壳测量值 0.8 0.8- 0.15 0.10 0.05 0. 1.0 1.5 2.0 Z/m 0.9 09- 0 0.1 0 0.1 图12坯壳厚度数值计算值与测量值及经验公式计算值对比 Y/m Y/m Fig.12 Comparison of shell thickness under different conditions 图10不同糊状区系数时钢液流线图与液相分率云图.(a)1× 105 kg.m-3.s-1;(b)5x108 kg-m-3.s- Fig.10 Liquid fraction contour and streamline under different cases: 5 结论 (a)1×105kgm3.s1:(b)5×108kgm3sl 本研究提出糊状区系数A的表达式，并基于 有限体积软件Fluent建立了大方坯流动、传热与凝 4 模型验证 固耦合数值模型，结合实验计算研究了糊状区系数 为验证模型的准确性，取图11所示漏钢坯壳测 对钢液流场、温度分布与凝固进程的影响.结论 量其宽面中心线上的坯壳厚度，并采用经验公式 如下： (25)[]计算坯壳厚度，与数值模拟结果进行了 (1)糊状区系数控制流动阻尼的幅度，糊状区 对比. 系数越大，钢液在糊状区内的流动阻力越强，凝固时 速度降低越快 e=18x (25) (2)流动与凝固耦合分析采用较大的糊状区系 式中：e为坯壳厚度，mm;ea为拉速，mmin- 数时，可计算获得与实际相符的固液相之间较窄的 “带状”糊状区，同时可观察到清晰的凝固前沿 (3)糊状区系数越小，钢液的糊状区范围越大； 早期研究中常采用较小的糊状区系数时，钢液在结 晶器内温度降低过快，弯月面处的钢液流动不够活 跃，出现自由液面过冷现象，且凝固坯壳局部发生重 熔.这些假象可能不利于正确、可靠地指导连铸 工艺 (4)结合实验数据与经验公式验证了模型的准 确性，建议合理的糊状区系数数值范围是1×10~ 5×103kgm3s1,其具有较好的适用性. 图11：漏钢凝固坯壳示意图 Fig.11 Schematic of shell from breakout 参考文献 图12给出了坯壳厚度数值计算值与测量值及 [1]Thomas B G,Mika L J,Najjar F M.Simulation of fluid flow in- 经验公式计算值的对比，其中数值模拟结果选用糊 side a continuous slab-casting machine.Metall Trans B.1990,21 状区系数为5×108kg·m3·s1时的计算值.从图 (2):387 [2] Thomas B G,Zhang L F.Mathematical modeling of fluid flow in 中可以看出，数值模拟计算值与经验公式计算值基 continuous casting.IS/J//nt,2001,41(10):1181 本吻合，而从漏钢坯壳测量得到的坯壳厚度数据大 [3]Fujisaki K.Magnetohydrodynamic solidification calculation in Dar 于计算值：这是由于发生漏钢时，部分钢液黏附在已 cy flow [steel casting].IEEE Trans Magn,2003,39(6):3541
李少翔等: 连铸流动与凝固耦合模拟中糊状区系数的表征及影响 图 10 不同糊状区系数时钢液流线图与液相分率云图 郾 (a) 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1 ; (b) 5 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 Fig. 10 Liquid fraction contour and streamline under different cases: (a) 1 伊 10 5 kg·m - 3·s - 1 ; (b) 5 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 4 模型验证 为验证模型的准确性,取图 11 所示漏钢坯壳测 量其宽面中心线上的坯壳厚度,并采用经验公式 (25) [27]计算坯壳厚度, 与数值模拟结果进行了 对比. e = 18 伊 d vcast (25) 式中:e 为坯壳厚度,mm;vcast为拉速,m·min - 1 . 图 11 漏钢凝固坯壳示意图 Fig. 11 Schematic of shell from breakout 图 12 给出了坯壳厚度数值计算值与测量值及 经验公式计算值的对比,其中数值模拟结果选用糊 状区系数为 5 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 时的计算值. 从图 中可以看出,数值模拟计算值与经验公式计算值基 本吻合,而从漏钢坯壳测量得到的坯壳厚度数据大 于计算值;这是由于发生漏钢时,部分钢液黏附在已 形成的坯壳上,造成测量值大于实际值. 实验对比 表明,本研究采用的模型结果与实际基本吻合、具有 较好的可靠性. 图 12 坯壳厚度数值计算值与测量值及经验公式计算值对比 Fig. 12 Comparison of shell thickness under different conditions 5 结论 本研究提出糊状区系数 Amush的表达式,并基于 有限体积软件 Fluent 建立了大方坯流动、传热与凝 固耦合数值模型,结合实验计算研究了糊状区系数 对钢液流场、温度分布与凝固进程的影响. 结论 如下: (1)糊状区系数控制流动阻尼的幅度,糊状区 系数越大,钢液在糊状区内的流动阻力越强,凝固时 速度降低越快. (2)流动与凝固耦合分析采用较大的糊状区系 数时,可计算获得与实际相符的固液相之间较窄的 “带状冶糊状区,同时可观察到清晰的凝固前沿. (3)糊状区系数越小,钢液的糊状区范围越大; 早期研究中常采用较小的糊状区系数时,钢液在结 晶器内温度降低过快,弯月面处的钢液流动不够活 跃,出现自由液面过冷现象,且凝固坯壳局部发生重 熔. 这些假象可能不利于正确、可靠地指导连铸 工艺. (4)结合实验数据与经验公式验证了模型的准 确性,建议合理的糊状区系数数值范围是 1 伊 10 8 ~ 5 伊 10 8 kg·m - 3·s - 1 ,其具有较好的适用性. 参 考 文 献 [1] Thomas B G, Mika L J, Najjar F M. Simulation of fluid flow in鄄 side a continuous slab鄄casting machine. Metall Trans B, 1990, 21 (2): 387 [2] Thomas B G, Zhang L F. Mathematical modeling of fluid flow in continuous casting. ISIJ Int, 2001, 41(10): 1181 [3] Fujisaki K. Magnetohydrodynamic solidification calculation in Dar鄄 cy flow [steel casting]. IEEE Trans Magn, 2003, 39(6): 3541 ·207·
·208· 工程科学学报，第41卷，第2期 [4] Chakraborty S,Dutta P.Effects of dendritic arm coarsening on [16]Hietanen P T,Louhenkilpi S,Yu S.Investigation of solidifica- macroscopic modelling of solidification of binary alloys.Mater Sci tion,heat transfer and fluid flow in continuous casting of steel Technol..2001,17(12):1531 using an advanced modeling approach.Steel Res Int,2017,88 [5]Pfeiler C.Thomas B G,Wu M,et al.Solidification and particle (7):1600355 entrapment during continuous casting of steel.Steel Res Int,2008, [17]Wang QQ.Stundy on the Multiphase Flow,Heat Transfer and 79(8):599 Solidification,Motion and Entrapment of Inclusions during Con- [6]Gu J P,Beckermann C.Simulation of convection and macroseg- tinuous Casting Dissertation ]Beijing:University of Science regation in a large steel ingot.Metall Mater Trans A,1999,30 and Technology Beijing,2016 (5):1357 (王强强.连铸过程多相流、传热凝固及夹杂物运动捕获的 [7]Yang H L,Zhang X Z,Deng K W,et al.Mathematical simulation 研究[学位论文].北京：北京科技大学，2016) on coupled flow,heat,and solute transport in slab continuous [18]Voller V R,Prakash C.A fixed grid numerical modelling meth- casting process.Metall Mater Trans B,1998.29(6):1345 odology for convection-diffusion mushy region phase-change prob- [8]Aboutalebi M R,Hasan M,Guthrie R I L.Coupled turbulent lems.Int J Heat Mass Transfer,1987,30(8)1709 flow,heat,and solute transport in continuous casting processes. [19]Carman P C.Fluid flow through granular beds.Trans Inst Chem Metall Mater Trans B,1995,26(4):731 Eng,1937,15:150 [9] Seyedein S H,Hasan M.A three-dimensional simulation of cou- [20]Minakawa S,Samarasekera I V,Weinberg F.Centerline porosity pled turbulent flow and macroscopic solidification heat transfer for in plate castings.Metall Trans B,1985,16(4):823 continuous slab casters.Int J Heat Mass Transfer,1997,40(18): [21]Won Y M,Thomas B G.Simple model of microsegregation dur- 4405 ing solidification of steels.Metall Mater Trans A,2001,32(7): [10]Aboutalebi M R,Guthrie R I L,Seyedein S H.Mathematical 1755 modeling of coupled turbulent flotw and solidification in a single [22]Jiang D B,Zhu M Y.Flow and solidification in billet continuous belt caster with electromagnetic brake.Appl Math Modell,2007. casting machine with dual electromagnetic stirrings of mold and 31(8):1671 the final solidification.Steel Res Int,2015,86(9):993 [11]Netto PGQ,Guthrie R I L.Modelling of a novel configuration [23]Ji Y,Tang H Y,Lan P,et al.Effect of dendritic morphology for single-belt caster:the influence of empirical parameters on the and central segregation of billet castings on the microstructure and solidification profile.IS/J Int,2000,40(5):460 mechanical property of hot-rolled wire rods.Steel Res Int,2017, [12]Sun H B.Zhang JQ.Study on the macrosegregation behavior for 88(8):1600426 the bloom continuous casting:model development and validation. [24]Jones W P,Launder B E.The calculation of low-Reynolds-num- Metall Mater Trans B,2014,45(3):1133 ber phenomena with a two-equation model of turbulence.Int J [13]Sun H B.Zhang J Q.Effect of feeding modes of molten steel on Heat Mass Transfer,1973,16(6):1119 the mould metallurgical behavior for round bloom casting./S/ [25]Lai K Y M,Salcudean M,Tanaka S,et al.Mathematical model- ,2011,51(10):1657 ing of flows in large tundish systems in steelmaking.Metall Trans [14]He M L,Wang N,Chen M,et al.Physical and numerical simu- B.1986,17(3):449 lation of the fluid flow and temperature distribution in bloom con- [26]Savage J,Pritchard W H.The problem of rupture of the billet in tinuous casting mold.Steel Res Int,2017,88(9):1600447 the continuous casting of steel.J fron Steel Inst,1954.178(3): [15]Trindade L B,Nadalon J E A,Contini A C,et al.Modeling of 269 solidification in continuous casting round billet with mold electro [27]Cai KK.Continuous Casting Mold.Beijing:Metallurgical In- magnetic stirring (M-EMS).Steel Res Int,2017.88(4): dustry Press,2008 1600319 (蔡开科.连铸结品器.北京：冶金工业出版社，2008)
工程科学学报,第 41 卷,第 2 期 [4] Chakraborty S, Dutta P. Effects of dendritic arm coarsening on macroscopic modelling of solidification of binary alloys. Mater Sci Technol, 2001, 17(12): 1531 [5] Pfeiler C, Thomas B G, Wu M, et al. Solidification and particle entrapment during continuous casting of steel. Steel Res Int, 2008, 79(8): 599 [6] Gu J P, Beckermann C. Simulation of convection and macroseg鄄 regation in a large steel ingot. Metall Mater Trans A, 1999, 30 (5): 1357 [7] Yang H L, Zhang X Z, Deng K W, et al. Mathematical simulation on coupled flow, heat, and solute transport in slab continuous casting process. Metall Mater Trans B, 1998, 29(6): 1345 [8] Aboutalebi M R, Hasan M, Guthrie R I L. Coupled turbulent flow, heat, and solute transport in continuous casting processes. Metall Mater Trans B, 1995, 26(4): 731 [9] Seyedein S H, Hasan M. A three鄄dimensional simulation of cou鄄 pled turbulent flow and macroscopic solidification heat transfer for continuous slab casters. Int J Heat Mass Transfer, 1997, 40(18): 4405 [10] Aboutalebi M R, Guthrie R I L, Seyedein S H. Mathematical modeling of coupled turbulent flotw and solidification in a single belt caster with electromagnetic brake. Appl Math Modell, 2007, 31(8): 1671 [11] Netto P G Q, Guthrie R I L. Modelling of a novel configuration for single鄄belt caster: the influence of empirical parameters on the solidification profile. ISIJ Int, 2000, 40(5): 460 [12] Sun H B, Zhang J Q. Study on the macrosegregation behavior for the bloom continuous casting: model development and validation. Metall Mater Trans B, 2014, 45(3): 1133 [13] Sun H B, Zhang J Q. Effect of feeding modes of molten steel on the mould metallurgical behavior for round bloom casting. ISIJ Int, 2011, 51(10): 1657 [14] He M L, Wang N, Chen M, et al. Physical and numerical simu鄄 lation of the fluid flow and temperature distribution in bloom con鄄 tinuous casting mold. Steel Res Int, 2017, 88(9): 1600447 [15] Trindade L B, Nadalon J E A, Contini A C, et al. Modeling of solidification in continuous casting round billet with mold electro鄄 magnetic stirring ( M鄄鄄 EMS ). Steel Res Int, 2017, 88 ( 4 ): 1600319 [16] Hietanen P T, Louhenkilpi S, Yu S. Investigation of solidifica鄄 tion, heat transfer and fluid flow in continuous casting of steel using an advanced modeling approach. Steel Res Int, 2017, 88 (7): 1600355 [17] Wang Q Q. Stundy on the Multiphase Flow, Heat Transfer and Solidification, Motion and Entrapment of Inclusions during Con鄄 tinuous Casting [ Dissertation]. Beijing: University of Science and Technology Beijing, 2016 (王强强. 连铸过程多相流、传热凝固及夹杂物运动捕获的 研究[学位论文]. 北京: 北京科技大学, 2016) [18] Voller V R, Prakash C. A fixed grid numerical modelling meth鄄 odology for convection鄄diffusion mushy region phase鄄change prob鄄 lems. Int J Heat Mass Transfer, 1987, 30(8): 1709 [19] Carman P C. Fluid flow through granular beds. Trans Inst Chem Eng, 1937, 15: 150 [20] Minakawa S, Samarasekera I V, Weinberg F. Centerline porosity in plate castings. Metall Trans B, 1985, 16(4): 823 [21] Won Y M, Thomas B G. Simple model of microsegregation dur鄄 ing solidification of steels. Metall Mater Trans A, 2001, 32(7): 1755 [22] Jiang D B, Zhu M Y. Flow and solidification in billet continuous casting machine with dual electromagnetic stirrings of mold and the final solidification. Steel Res Int, 2015, 86(9): 993 [23] Ji Y, Tang H Y, Lan P, et al. Effect of dendritic morphology and central segregation of billet castings on the microstructure and mechanical property of hot鄄rolled wire rods. Steel Res Int, 2017, 88(8): 1600426 [24] Jones W P, Launder B E. The calculation of low鄄Reynolds鄄num鄄 ber phenomena with a two鄄equation model of turbulence. Int J Heat Mass Transfer, 1973, 16(6): 1119 [25] Lai K Y M, Salcudean M, Tanaka S, et al. Mathematical model鄄 ing of flows in large tundish systems in steelmaking. Metall Trans B, 1986, 17(3): 449 [26] Savage J, Pritchard W H. The problem of rupture of the billet in the continuous casting of steel. J Iron Steel Inst, 1954, 178(3): 269 [27] Cai K K. Continuous Casting Mold. Beijing: Metallurgical In鄄 dustry Press, 2008 (蔡开科. 连铸结晶器. 北京: 冶金工业出版社, 2008) ·208·
