第五章信号处理初步 测试的目的是获取反映被测对象状态和特征的信息。实际中有用的信息总是 和各种噪声混杂在一起,难于直接识别和利用。只有分离信号和噪声并经过 必要处理和分析,消除和修正系统误差之后,才能准确提取信息中有用信息 信息处理目的(1)修正误差,提高准确度。 (线性补偿、温漂补偿) (2)从信号中提取关注的分量。 (频谱分析、相关分析) (3)识别信号的内容,并决策。 (语音识别、图象识别) 信号处理—信号经过必要的变换以获取所需信息的过程统称信号处理, 主要算法类型:信号补偿、信号分析、信号综合、信号压缩、模式识辩。 模拟信号处理系统: 由模拟滤波器、乘法器、微分放大器等组成,能实现一些较为简单的算法。 数字信号处理系统 用数字信号处理器实现处理算法,可完成各种算法,并且具有准确、稳定、易存 储、传输信息,组成复杂的大系统的优点。 KDI
第五章 信号处理初步 测试的目的是获取反映被测对象状态和特征的信息。实际中有用的信息总是 和各种噪声混杂在一起，难于直接识别和利用。只有分离信号和噪声并经过 必要处理和分析，消除 和修正系统误差之后，才能准确提取信息中有用信息。 信息处理目的（1）修正误差，提高准确度。 （线性补偿、温漂补偿） （2）从信号中提取关注的分量。 （频谱分析、相关分析） （3）识别信号的内容，并决策。 （语音识别、图象识别） 信号处理——信号经过必要的变换以获取所需信息的过程统称信号处理， 主要算法类型：信号补偿、信号分析、信号综合、信号压缩、模式识辩。 模拟信号处理系统： 由模拟滤波器、乘法器、微分放大器等组成，能实现一些较为简单的算法。 数字信号处理系统： 用数字信号处理器实现处理算法，可完成各种算法，并且具有准确、稳定、易存 储、传输信息，组成复杂的大系统的优点。 1
第一节随机信号 概述 随机信号—不能用确定数学公式描述,不能确切预测其未来任何瞬时值, 一次观察结果不能代表全部,其值变动服从统计规律。 样本函数—对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本 函数,记为x(。 样本记录样本函数在有限时间区间上的部分称为样本记录。见图1-21 随机过程—全部样本函数的集合(总体)就是随机过程,记为{x()},即 {x()}={x1()x2(1)…x() (1-61) 平稳随机过程其统计特征参数不随时间而变化的随机过程。 非平稳随机过程与上相反则为非平稳随机过程。 集合平均—将集合中所有样本对同一时刻t1的观测值取平均。 时间平均按单个样本的时间历程进行平均的计算叫做时间平均 KDI
第一节 随机信号 一 概述 随机信号——不能用确定数学公式描述，不能确切预测其未来任何瞬时值， 一次观察结果不能代表全部，其值变动服从统计规律。 样本函数——对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本 函数，记为xi (t)。 样本记录——样本函数在有限时间区间上的部分称为样本记录。见图1-21 随机过程——全部样本函数的集合（总体）就是随机过程，记为{ x(t)}，即 { ( )} { ( ), ( ), ( ), } 1 2 x t = x t x t x t i （1-61） 平稳随机过程—其统计特征参数不随时间而变化的随机过程。 非平稳随机过程—与上相反则为非平稳随机过程。 集合平均——将集合中所有样本对同一时刻 t j的观测值取平均。 时间平均——按单个样本的时间历程进行平均的计算叫做时间平均。 2
各态历经随机过程—在平稳随机过程中,若任一单个样本函数的时间平 均统计特征等于该过程集合平均统计特征 具有各态历经性随机信号,可用时间平均来估计集合平均 工程中很多随机信号具有各态历经性,即使不严格遵守此性,也按各态历 经随机过程处理。因为集合平均需要足够多的样本函数,对于工程应用是 很困难的。 随机信号的主要特征参数 随机信号主要特征参数: (1)均值、方差和均方差 (2)概率密度函数 (3)相关函数 (4)功率谱密度函数 (一)均值Hx、方差a2和均方差2 1.均值定义为l2=im[x(l (1-62) 式中T观测时间x()样本函数 均值以表示信号的常值分量 D KDI
各态历经随机过程——在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平 均统计特征等于该过程集合平均统计特征。 具有各态历经性随机信号，可用时间平均来估计集合平均。 工程中很多随机信号具有各态历经性，即使不严格遵守此性，也按各态历 经随机过程处理。因为集合平均需要足够多的样本函数，对于工程应用是 很困难的。 二．随机信号的主要特征参数 随机信号主要特征参数： （1）均值、方差和均方差 （2）概率密度函数 （3）相关函数 （4）功率谱密度函数 （一）均值μx、方差σ2 x和均方差ψ2 x 1．均值μx定义为 （1-62） → = T T x x t dt T u 0 ( ) 1 lim 式中 T——观测时间 x (t)——样本函数 均值 μx表示信号的常值分量 3
方差a [x(t)-n]2d (163) T→∞TJ0 描述随机信号的波动分量,它是x(偏离均值H的平方的均值,方差的正 平方根叫标准偏差σ。 3.均方值描述随机信号强度,它是x(1)平方的均值,即 w2=lm_ 5x()dt (1-64) 均方值的正平方根称为均方根值xms 4.均值μ、方差σ2、和均方差的关系 0r=vx-a (1-65) 当u,=0时 5.集合平均在1时刻的均值pxn和均方值ψx,为 L,= lim ∑x(1) (1-66) M→∞ ∑x:() (1-67) M→》∞ 式中M样本记录总数i样本记录序号t1观察时刻 D KDI
2．方差σ2 x x t dt （1-63） T T x T x = − → 0 2 2 [ ( ) ] 1 lim 描述随机信号的波动分量，它是 x(t) 偏离均值 μx 的平方的均值，方差的正 平方根叫标准偏差 σ。 3．均方值 ψ2 x 描述随机信号强度，它是 x (t) 平方的均值，即 → = T T x x t dt T 0 2 2 ( ) 1 lim （1-64） 均方值的正平方根称为均方根值 χ rms 4． 均值μx、方差σ2 x和均方差ψ2 x的关系 2 2 x 2 x x = − （1-65） 当 μx=0 时， 2 x 2 x = 5．集合平均在 t1时刻的均值 μx , t1和均方值ψx , t1为 = → = M i i M x t x t M 1 , 1 ( ) 1 lim 1 （1-66） = → = M i i M x t x t M 1 1 2 , ( ) 1 lim 1 （1-67） 式中 M——样本记录总数 i——样本记录序号 t1——观察时刻 4
二)概率密度函数 概率密度函数—表示信号幅值落在指定区间内的概率。见图1-22所示, x(0)值落在(x,x△x)区间内的时间为Tx T=△t1+△t2…+△t, ∑ (1-68) 幅值概率密度函数p(x)为 P[x0 概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息,不同的随机信号有不 同的概率密度图形。图1-23是四种常见的随机信号(假设=0),的 概率密度函数图形。当不知道所处理的随机数据服从何种分布时,可 用统计概率分布图来估计概率密度函数。 KDI
（二）概率密度函数 概率密度函数——表示信号幅值落在指定区间内的概率。见图1-22所示， x (t)值落在 (x, x+Δx) 区间内的时间为 Tx = = + + = n i x n i T t t t t 1 1 2 （1-68） 幅值概率密度函数p(x)为 x P x x t x x p x r x + = → [ ( ) ] ( ) lim 0 （1-70） 概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息，不同的随机信号有不 同的概率密度图形。图1-23是四种常见的随机信号（假设μx =0），的 概率密度函数图形。当不知道 所处理的随机数据服从何种分布时，可 用统计概率分布图来估计概率密度函数。 5
第二节相关分析及应用 两个随机变量的相关系数 通常两个变量之间若存在一一对应的确定关系,则称两者之间存在着函数 关系。当两个随机变量之间具有某种关系时,随着一个变量数值的确定, 另一变量却可能取许多不同值,但取值有一定的概率统计规律,这时称两 个随机变量存在着相关关系。 图5-14是表示由两个随机变量x和y组成的数据点分布情况。图a)各点 分布分散,x,y之间是无关的。图b)虽无确定关系,但从统计上看具有 某种线性关系,因此它们之间有着线性关系。 0 图514两随机变量的相关性 KDI
第二节相关分析及应用 通常两个变量之间若存在一一对应的确定关系，则称两者之间存在着函数 关系。当两个随机变量之间具有某种关系时，随着一个变量数值的确定， 另一变量却可能取许多不同值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两 个随机变量存在着相关关系。 一．两个随机变量的相关系数 图5-14是表示由两个随机变量 x 和 y 组成的数据点分布情况。图a) 各点 分布分散，x，y 之间是无关的。图b) 虽无确定关系，但从统计上看具有 某种线性关系，因此它们之间有着线性关系。 0 x y 0 x y a) b) 图5—14 两随机变量的相关性 6
变量x和y之间的相关程度常用相关系数P表示之 EL(x-u-uvI (5-16) 式中E_数学期望离散情况E[x=∑ 连续情况Ex]=mx(ot T→>∞ x随机变量x的均值Hx= Elx p1随机变量y的均值,=EIyl 0x随机变量x的标准差a2=E|(x-Hx)2 随机变量y的标准差a2=E[U-1)21 用柯西许瓦兹不等式E(x=1)y-,)2≤印(x-,)3(y-,)(57) 故知 (可作相关性的绝对评价) 当数据点分布越接近于一条直线时,x的绝对值越接近1,x和y的线性 相关性程度越好,将这样的数据回归成直线才越有意义。P的正付号表示 变量随另一变量增加而增加或减少。当ρ灬接近零时,则认为x和y之 间完全无关。但仍可能存在某种非线性的相关关系甚至函数关系。 KDI
变量 x 和 y 之间的相关程度常用相关系数 ρxy 表示之 x y x y xy E x y [( − )( − )] = （5-16） 式中 E ——数学期望 离散情况 连续情况 = = n i i x n E x 1 1 [ ] → = 0 ( ) 1 [ ] lim x t dt T E x T μx—随机变量 x 的均值 μx = E [ x ] μy— 随机变量y 的均值 μy = E [ y ] σ x— 随机变量 x 的标准差 σ2 x=E [ (x –μx ) 2 ] σ y— 随机变量y 的标准差 σ2 y=E [ (y –μy ) 2 ] 用柯西—许瓦兹不等式 [( )( )] [( ) ( ) ] 2 2 2 x y x y E x − y − E x − y − （5-17） 故 知 xy 1 （可作相关性的绝对评价） 当数据点分布越接近于一条直线时，ρxy 的绝对值越接近1，x 和 y 的线性 相关性程度越好，将这样的数据回归成直线才越有意义。Ρ xy 的正付号表示 一变量随另一变量增加而增加或减少。当ρxy 接近零时，则认为 x 和 y 之 间完全无关。但仍可能存在某种非线性的相关关系甚至函数关系。 7
二.信号的自相关函数 假如x()是某各态历经随机过程的一个样本记录。x(计+r)是x(t)时移z 后的样本,见图5-15。在任何t=t时刻,从两个样本上分别得到两个 量值x(t)和x(tτ),而且x()和x(计+r)具有相同的均值和标准差。 假如把Px()x(+)简写成P2(z),那么有 xt)uxt+r)-ulat P1(r) 将分子展开并注意到imr|x()dt=H2 T→》∞ x(t+rat=u →∞T 从而 limax()x(t+r)dt-H p,(z) →)0 (5-18) 定义各态历经随机信号 自相关函数R(z)为 R()=lim=x(o)x(t+r)dt T→>0 (5-19) 则 R2(z) (5-20 KDI
假如 x(t) 是某各态历经随机过程的一个样本记录。x(t+τ) 是 x(t) 时移τ 后的样本，见图5-15。在任何 t =t0 时刻，从两个样本上分别得到两个 量值x(ti) 和 x(ti+τ)，而且 x (t) 和 x (t+τ) 具有相同的均值和标准差。 假如把 x(t) x(t+ ) 简写成 x ( ) ，那么有 2 0 1 lim [ ( ) ][ ( ) ] ( ) x T T x x T x x t x t dt − + − = → 将分子展开并注意到 x T T x t dt T = → 0 ( ) 1 lim x T T x t dt T + = → 0 ( ) 1 lim 从而 2 0 1 2 lim ( ) ( ) ( ) x T T x T x x t x t dt + − = → （5-18） 二．信号的自相关函数 定义各态历经随机信号 自相关函数 Rx ( ) 为 = + → T T x x t x t dt T R 0 ( ) ( ) 1 ( ) lim （5-19） 则 2 2 ( ) ( ) x x x x R − = （5-20） 8
0 图5-15自相关 KDI
0 t x(t) 0 t x(t+τ) τ ti ti 图5—15 自相关 9
显然,P(z)和R3(z)均随r而变化,且两者成线性关系 如果随机过程均值=0,则n2()=R() 自相关函数性质见图5-16 (1)由式(520)有(r)=P2(r)0+2(可作相关性的相对评价)(521) 因为≤1,所以2-02sR()s2+2 (5-22) (2)自相关函数在r=0时为最大值,并等于该随机信号的均方差值v2 R:(0)=lmx()x(t=v2(523) 7→oT (3)当τ足够大或τ→∞时,x(),和x(计+)不存在内在联系,彼此无关。 p,(x)→00(r)→>H T→00 (4)自相关函数为偶函数,即R2(r)=R(r (5-24) (5)周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数,其幅值与原周期信号 幅值有关,而丢失了原信号的相位信息。 KDI
显然， x ( )和Rx ( ) 均随 τ 而变化，且两者成线性关系。 如果随机过程均值 x = 0 ，则 2 ( ) ( ) x x x R = 自相关函数性质见图5-16 （1）由式（5-20）有 （可作相关性的相对评价） 2 2 ( ) ( ) Rx x x x = + （5-21） 因为 xy 1 ，所以 2 2 2 2 ( ) x x Rx x x − + （5-22） （2）自相关函数在τ= 0时为最大值，并等于该随机信号的均方差值ψ2 x 2 0 ( ) ( ) 1 (0) lim x T T x x t x t dt T R = = → （5-23） （3）当τ足够大或τ→∞时，x(t) 和x(t+τ)不存在内在联系，彼此无关。 ( ) → 0 → x 2 ( ) x x → → （4）自相关函数为偶函数，即 ( ) ( ) Rx − = Rx （5-24） （5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数，其幅值与原周期信号 幅值有关，而丢失了原信号的相位信息。 10