第三节模糊综合模型 模糊数学是研究模糊现象的有力工具。在教学评估中,模糊综合评判 和模糊综合评审这两个模型已得到越来越广泛的应用。 、模糊综合评判模型及其应用 在教学评估中,为了充分体现目标制定者的意图,全面综合地考虑各 相关因素对评估目标的影响,增强所得数量指标的客观可比性,有时需要 应用模糊综合评判模型 1.模糊综合评判模型的数学表述 设B为等级模糊向量,A为m维因素模糊向量,R为模糊关系 矩阵,b,(为不超过B维数的自然数)为B的分量,则称 B= AoR 为模糊综合评判模型,记为M(;,*)。 这里“。”表示两个模糊知阵根“乘”,“”表示抽象的乘法, 表示抽象的加法,且 m),分别是A与R的元素。 如果对抽象乘法“*”和抽象加法“+”作出具体现定,就可以 得到几个常用的具体形式的模型。 (1)突出最优因素的模型 如果规定ab=a∧b=min(a,b),a+b=aVb=m(a,b),则
第三节 模糊综合模型 模糊数学是研究模糊现象的有力工具。在教学评估中，模糊综合评判 和模糊综合评审这两个模型已得到越来越广泛的应用。 一、模糊综合评判模型及其应用 在教学评估中，为了充分体现目标制定者的意图，全面综合地考虑各 相关因素对评估目标的影响，增强所得数量指标的客观可比性，有时需要 应用模糊综合评判模型。 1．模糊综合评判模型的数学表述 表示抽象的加法，且 得到几个常用的具体形式的模型。 (1)突出最优因素的模型 (a，b)，则
b=max [min(al, ri), min(a2, r2j)., min(am, rmi)] 此时记模型M(*,+)为M(∧,V)。 这个模型充分考虑了对有突出景编向的最优因素。这里的A不是 权向量,因而不会造成因权化A使a1的值很小而导致;被掩盖,使 b的值失真;即使被考虑的因素个数较少,也不会造成由于把A作权 向量使主要因素起单因素控制而使评判失去综合意义的不良后果。用突出 最优因素的模型进行教学评估时,由于已作了同一化处理,尽管不同学生 的优因素不同,但仍然可比,同时还可以发现对同一成绩起主要作用的优 因素。 (2)突出最劣因素的模型 如果规定ab=b3,ab=a∧b=min(a,b),则 b=mn(t,穿,“), 此时记模型M(,+为M(乘幂,∧)。 从计算b的方法可以看到,m与b已不再是具体意义下的隶属度,而 成为新的评估指标,所求出的是突出最劣因素。将此模型用于教学评估, 有利于发现学生当前学习中存在的主要问题,以及主要问题中最突出的劣 因素 (3)综合评判模型 如果规定*为普通意义的乘法,+为普通意义的加法,则 其中∑a1=1,a1>0 此时记模型M(,*)为M(,+)
bj＝max［min(a1，r1j)，min(a2，r2j)…，min(am，rmj)］， 向量使主要因素起单因素控制而使评判失去综合意义的不良后果。用突出 最优因素的模型进行教学评估时，由于已作了同一化处理，尽管不同学生 的优因素不同，但仍然可比，同时还可以发现对同一成绩起主要作用的优 因素。 (2)突出最劣因素的模型 从计算 bj的方法可以看到，rij与 bj已不再是具体意义下的隶属度，而 成为新的评估指标，所求出的是突出最劣因素。将此模型用于教学评估， 有利于发现学生当前学习中存在的主要问题，以及主要问题中最突出的劣 因素． (3)综合评判模型
显然,A是模糊权向量,b是按权求和的结果。由于A事先 可以 给定,从而求出的b值反映了指标b的整体综合水平。 模型M(,+)的上述三种具体形式各有其独特的用途,可以根 据评估目的予以选用。为了提高评估的准确性,往往多次使用模型M(·, 十)构成所谓多级综合评判。有时为了充分考虑突出最优、最劣因素对整 个评估的影响,还要对用模型M(·,+)评估的结果进行适当修正,这就 需要进行所谓二级指标评判 下面以某地九所中学联合举行的高中数学测试(试题见附件三)的成 绩为例,分别阐述多级综合评判和二级指标评判在教学评估中的应用。 2.多级综合评判应用举例 首先,应用模糊综合评判模型的关键是构造评价矩阵R,合理地 制定模糊因素向量 根据考试目标构造向量A,通常用如下的试题目标筹级结构: d 了解 f1 基础知识 33理解红2 双基 技能知识背景f 基本技能 d 02) 技能本身f4 试题目标等级一 知识背景f5 在数学领域中 技能背景f6 d2灵活运用 转化构造)方式 数学化 ay在实际问题中4 数学问题求解fg 规定A=(d1,d12),A=(d21,d2,d23,d24),A ε,…,dεs)分别表示第一、第二、第三级考试目标构造向量,其中dk 表示第i级的第k个以其前一级为总体的权,背景知识为所测目标的知识 载体,规定f;,f2,…,fs为试题的背景与能力要素。在测验之前只要将 da3,ds按权要求确定,就可利用
可以 给定，从而求出的 bj值反映了指标 bj的整体综合水平。 据评估目的予以选用。为了提高评估的准确性，往往多次使用模型 M(·， ＋)构成所谓多级综合评判。有时为了充分考虑突出最优、最劣因素对整 个评估的影响，还要对用模型 M(·，＋)评估的结果进行适当修正，这就 需要进行所谓二级指标评判。 下面以某地九所中学联合举行的高中数学测试(试题见附件三)的成 绩为例，分别阐述多级综合评判和二级指标评判在教学评估中的应用。 2．多级综合评判应用举例 ＝(d31， d32，…，d39)分别表示第一、第二、第三级考试目标构造向量，其中 dik 表示第 i 级的第 k 个以其前一级为总体的权，背景知识为所测目标的知识 载体，规定 f1，f2，…，f9为试题的背景与能力要素。在测验之前只要将 d11，d12，…，d38，d39按权要求确定，就可利用
A(1=1,2,3)把相应测验按卷面直接求和的C类分转化为具有 客观 意义的A类分(A类分将在后文中定义),A类分能在目标确立下为分数的 比较提供客观的依据。 根据高中数学测试所企求评估的内容和目的,并对构成试题及其评分 标准的分析,可以认为本次测试是以考察T1目标为主的测试,而且T1目 标下的D、D2目标要求相当,但D1目标侧重f2,D2目标明显侧重于f4 考察T2目标时,主要是考察T2下的D3目标(D4只占整卷的6分),D3日目标 又以考察f为核心,f6和frs均服从于f,对于T2下的D4目标,结合中学 数学教学大纲和整套试题分析,其侧重点在f8。由此分析取定高中数学测 试的目标等级为:d1=0.6,d12=0.4,d1=d2=0.5,d3=0.65,d24= 0.35,d31=0.2,d32=0.8,d3=0.4,d34=0.6,d3s=0.2。d36=0.3,d37 0.5,d38=0.6,d39=0.4 其次,在分级权重表确定后,可按以下步骤进行多级评判 (1)确定试题的背景与能力要素 将试题的各题按照解答所涉及到的背景与能力要素中足码最大的所 在类来确定背景知识所在的类。对于客观试题由于不能细分各要素所占的 分数,此时对正确解答该题所必须的背景与能力要素均赋给满分值;在陈 述性试题中,由于各要素之间的衔接作用,有的知识或技能具有双重身份, 对于具有双重乃至多重身份的知识或技能,按同一分值分别记入不同的要 素中。例如在统计各题的f时,把从该题第一个技能后的有关技能、知 识所占的分数全部归入f7中。最后将各题的f7的分数合在一起,即可得 到试题背景与能力要素f的满分数。按此统计高中数学测试背景与能力 要素值得f,这里,f1包括第1~3、11、12、14题,计18分;f2包括第 2、3、14~17题,计18分;f3与f4的题相同,均包括第4~9、13、18、 19、21、22题,根据选定的评分标准可统计出f3=33分,f4=32分;fs、 f6、f的题相同,均包括第23~26题,类似统计f3与f4可得f=12分, f3=28分,fn=17分;f8与fs包括的题也相同,均为第10、20题,统计 得f8=6分,fg=6分。应该指出的是,统计f与所选定的评分标准有关 此处统计的f都应以给定的评分标准为依据。 (2)统计被试按背景与能力要素的得分率 统计时对客观试题答对者,则对所涉及的要素均赋满分:相反,则全 赋零分。取考分C1为52,C2为82,C3为83的三名被试分别作为被试1、 被试2、被试3,其背景与能力要素得分率如表5-8
客观 意义的 A 类分(A 类分将在后文中定义)，A 类分能在目标确立下为分数的 比较提供客观的依据。 根据高中数学测试所企求评估的内容和目的，并对构成试题及其评分 标准的分析，可以认为本次测试是以考察 T1目标为主的测试，而且 T1目 标下的 D1、D2目标要求相当，但 D1目标侧重 f2，D2目标明显侧重于 f4； 考察 T2目标时，主要是考察 T2下的 D3目标(D4只占整卷的 6 分)，D3目标 又以考察 f7为核心，f6和 f5均服从于 f7，对于 T2下的 D4目标，结合中学 数学教学大纲和整套试题分析，其侧重点在 f8。由此分析取定高中数学测 试的目标等级为：d11＝0.6，d12＝0.4，d21＝d22＝0.5，d23＝0.65，d24＝ 0.35，d31＝0.2，d32＝0.8，d33＝0.4，d34＝0.6，d35＝0.2。d36＝0.3，d37 ＝0.5，d38＝0.6，d39＝0.4。 其次，在分级权重表确定后，可按以下步骤进行多级评判。 (1)确定试题的背景与能力要素 将试题的各题按照解答所涉及到的背景与能力要素中足码最大的所 在类来确定背景知识所在的类。对于客观试题由于不能细分各要素所占的 分数，此时对正确解答该题所必须的背景与能力要素均赋给满分值；在陈 述性试题中，由于各要素之间的衔接作用，有的知识或技能具有双重身份， 对于具有双重乃至多重身份的知识或技能，按同一分值分别记入不同的要 素中。例如在统计各题的 f7时，把从该题第一个技能后的有关技能、知 识所占的分数全部归入 f7中。最后将各题的 f7 的分数合在一起，即可得 到试题背景与能力要素 f7的满分数。按此统计高中数学测试背景与能力 要素值得 fi，这里，f1包括第 1～3、11、12、14 题，计 18 分；f2包括第 2、3、14～17 题，计 18 分；f3与 f4的题相同，均包括第 4～9、13、18、 19、21、22 题，根据选定的评分标准可统计出 f3＝33 分，f4＝32 分；f5、 f6、f7的题相同，均包括第 23～26 题，类似统计 f3与 f4可得 f5＝12 分， f3＝28 分，f7＝17 分；f8与 f9包括的题也相同，均为第 10、20 题，统计 得 f8＝6 分，f9＝6 分。应该指出的是，统计 fi与所选定的评分标准有关， 此处统计的 fi都应以给定的评分标准为依据。 (2)统计被试按背景与能力要素的得分率 统计时对客观试题答对者，则对所涉及的要素均赋满分；相反，则全 赋零分。取考分 C1为 52，C2为 82，C3为 83 的三名被试分别作为被试 1、 被试 2、被试 3，其背景与能力要素得分率如表 5－8
表5-83名被试青景与能力要素得分率 得分率 f1f2f:fff与 被试1 0640630.5002102900 被试2 110.73072107908200.50 被试3 08308308208107508907111 (3)求综合指标数 利用模糊综合多级评判求综合指标数的过程可用矩阵运算表述: Dix=(d31 d32)(fix f2x)T D2x=(d33 d34)(f3x f4x)T, D3x=(d35 d36 d37)(fox fox fnx)T, D4x=(d38 d3g)(fax fox)T, Tix=(d21 d22)(D1x D2xT, T2x=(d23 d24)(D3x Dax)T, rx=(d11 d12)(T1x T2x)T, 其中ⅹ为被试编号数,fⅸ表示被试x在第f要素的得分率,rx为被试x的 多级综合评判结果 通过计算,得r1=0.6094,r2=0.7934,r3=0.8342。 (4)结果分析 对于已经求出的r1、r2、r3,使用A类分数(A=100rx称为考生x的 A类分数),则A1=60.94,A2=79.34,A3=83.42。A1竟高出C1近9分 A2低于C2不到2分,但A3稍高于C3,按C类分数认为不及格的被试1, 但按A类分数可认为及格,被试2的A2不如C2反映的好,被试3的A3比 C3反映的好。造成这种现象的原因是对被试求C类分的方法造成的,这个 方法对各相关内容的重要程度的区别未能得到充分体现。在本例所给出的 目标系统中分析被试1,其d31,d32,da,da权所对应的背景与能力要素 得分率均超过0.6,而其他权的背景与能力要素得分率均很低,由于强调 双基,因而最终评分对被试1有利,同时也说明被试1基本达到本次考试 的目标要求:被试3的两类分数非常接近,可以认为A3就是C3所反映的
(3)求综合指标数 利用模糊综合多级评判求综合指标数的过程可用矩阵运算表述： D1x＝(d31 d32)(f1x f2x)T， D2x＝(d33 d34)(f3x f4x)T， D3x＝(d35 d36 d37)(f5x f6x f7x)T， D4x＝(d38 d39)(f8x f9x)T， T1x＝(d21 d22)(D1x D2x)T， T2x＝(d23 d24)(D3x D4x)T， rx＝(d11 d12)(T1x T2x)T， 其中 x 为被试编号数，fix表示被试 x 在第 fi要素的得分率，rx为被试 x 的 多级综合评判结果。 通过计算，得 r1＝0.6094，r2＝0.7934，r3＝0.8342。 (4)结果分析 对于已经求出的 r1、r2、r3，使用 A 类分数(Ax＝100rx 称为考生 x 的 A 类分数)，则 A1＝60.94，A2＝79.34，A3＝83.42。A1竟高出 C1近 9 分， A2低于 C2不到 2 分，但 A3稍高于 C3，按 C 类分数认为不及格的被试 1， 但按 A 类分数可认为及格，被试 2 的 A2不如 C2反映的好，被试 3 的 A3比 C3反映的好。造成这种现象的原因是对被试求 C 类分的方法造成的，这个 方法对各相关内容的重要程度的区别未能得到充分体现。在本例所给出的 目标系统中分析被试 1，其 d31，d32，d33，d34权所对应的背景与能力要素 得分率均超过 0.6，而其他权的背景与能力要素得分率均很低，由于强调 双基，因而最终评分对被试 1 有利，同时也说明被试 1 基本达到本次考试 的目标要求；被试 3 的两类分数非常接近，可以认为 A3就是 C3所反映的
目标水平;对于被试2,由于求C2时,fa2,f4,fs2,foe2,fn等要素得分 被过分强调,这与目标要求不一致,故C2不能代替A2水平。由此可见,C 类分高的其A类分不一定高。这也正说明A类分一般不能用C类分代替, 因而要对被试进行特定目标下的评估,以采用A类分为宜 3.二级指标评判应用举例 仍以这次数学测试为例,我们将试题大致划分为了解、理解、掌握和 灵活运用四个水平,并依次用E、F、G、H表示,E包括第1~3、11、12 14、15、17~19题,计30分;F包括4~10、13、16、20题,计30分; G包括第21~23题,计15分;H包括第24~26题,计25分 (1)确定被评学生集U和评估因素集V 这里选取C类分为74、75、75、75、74的5名被试(分别记为1、2 3、4、5)作为被评学生,则U={1,2,3,4,5}, 并规定评估要素集V={E,F,G,H。 (2)构造评价矩库R1 按E、 H因素统计每个被试的C类分,并求出相应各水平的得 分率。对于被试1,经统计E水平实得24分,F水平实得27分,G水平 实得11分,H水平实得12分,相应的得分率为0.8,0.9,0.73,和0.48, 类似可求出其他四名被试在相应各水平的得分率,列成表5-9 表5一9五名被试的各水平得分率 素 EFGH C类总分 得分率 被 080907304874 0608 06044 080908 08 0.44 为了方便,这里就用各水平的得分率表示相应被试属各评估因素的隶 属度,从而对五名被试可构造如下评估矩阵:
目标水平；对于被试 2，由于求 C2时，f32，f42，f52，f62，f72等要素得分 被过分强调，这与目标要求不一致，故 C2不能代替 A2水平。由此可见，C 类分高的其 A 类分不一定高。这也正说明 A 类分一般不能用 C 类分代替， 因而要对被试进行特定目标下的评估，以采用 A 类分为宜。 3．二级指标评判应用举例 仍以这次数学测试为例，我们将试题大致划分为了解、理解、掌握和 灵活运用四个水平，并依次用 E、F、G、H 表示，E 包括第 1～3、11、12、 14、15、17～19 题，计 30 分；F 包括 4～10、13、16、20 题，计 30 分； G 包括第 21～23 题，计 15 分；H 包括第 24～26 题，计 25 分。 这里选取 C 类分为 74、75、75、75、74 的 5 名被试(分别记为 1、2、 3、4、5)作为被评学生，则 U＝｛1，2，3，4，5｝， 按 E、F、G、H 因素统计每个被试的 C 类分，并求出相应各水平的得 分率。对于被试 1，经统计 E 水平实得 24 分， F 水平实得 27 分，G 水平 实得 11 分，H 水平实得 12 分，相应的得分率为 0.8，0.9，0.73，和 0.48， 类似可求出其他四名被试在相应各水平的得分率，列成表 5－9。 为了方便，这里就用各水平的得分率表示相应被试属各评估因素的隶 属度，从而对五名被试可构造如下评估矩阵：
0806080809 0.90.810.90.8 R 7310.60.80.8 0480.680.44044044 I表示第j名被试对第i评估因素的隶属度(在第i项上得分率)。 (3)求模糊等级矩阵B1、 取A=(152345),利用模型M(∧,∨),得 (0.9110909) 取相同的A,利用模型M(乘幂,∧),得 B12=(0040.180.02002002)。 取A=(020.250.30.25),利用模型M(·,+),得 B1=(0.7240790707350.73)。 由B1可知,从突出最优因素评估五名被试,则可将被选取的被 试群体分为两个等级,且被试达到的程度令人满意。但由B12的突出 最劣因素评估,可以发现被选取的被试群体的成绩很不理想,进一步还 可以发现H水平是五名被试共同的问题所在,而由B13,则可将五名 选出的被试按从优到劣排序为:被试2,被试4,被试5,被试1,被试3, 五名被试被分为五个等级。这正体现了模糊综合评判的优点,对于按C 类分评估出现的不能区分或区分不当,运用模糊综合评判可弥补这些不 (4)求二级指标进行二级综合评判
rij表示第 j 名被试对第 i 评估因素的隶属度(在第 i 项上得分率)。 最劣因素评估，可以发现被选取的被试群体的成绩很不理想，进一步还 选出的被试按从优到劣排序为：被试 2，被试 4，被试 5，被试 1，被试 3， 五名被试被分为五个等级。这正体现了模糊综合评判的优点，对于按 C 类分评估出现的不能区分或区分不当，运用模糊综合评判可弥补这些不 足。 (4)求二级指标进行二级综合评判
为了充分考虑突出最优、劣因素对考试成绩的影响,使评估尽可能 反映被试的实际情况,需要按新的评估指标集{最优,最劣,综合评判}, 再对被试进行一次综合评估,评估的关键是由有经验的教师或专家所组成 小组确定三维因素模糊向量D=(d1,d2,ds),这里D为权向量。 构造二级评判矩阵 B 9110.90.9 =B2|=004018002002002 0.7240.79070.7350.73 B 这里取定D=(0.1,0.05,0.85) 利用模型M(·,+)求得二级指标B2,易知 B2=D·R2=(0.70740.78050696071580.7115)。 B2与B1各自相对应的分量相比均偏低,但相应分量在各级中的 差变化较小,这是正常的。由D的构造可以发现突出最优因素和突出最劣 因素对考试的影响都极小,对被试发挥真实水平影响不大。尽管如此, 由于已经考虑到两个极端因素的景綱向,B2所揭示的被试时数量指标较 B1的更能反映被试的真实状态。需要指出的是,当d1或d2取得足够 大时,所求出的B2各分量可以远高于B1各相应的分量,或远低于 相应的各分量。这种现象正是考试中出现的,有的被试对考试内容 非常熟悉,而有的被试恰与前者相反,通过二级评判可以发现这些分数都 不能有效地揭示被试的真实学习水平状态 二、模糊综合评审模型及其应用
为了充分考虑突出最优、劣因素对考试成绩的影响，使评估尽可能 反映被试的实际情况，需要按新的评估指标集｛最优，最劣，综合评判｝， 再对被试进行一次综合评估，评估的关键是由有经验的教师或专家所组成 小组确定三维因素模糊向量 D＝(d1，d2，d3)，这里 D 为权向量。 构造二级评判矩阵 这里取定 D＝(0.1，0.05，0.85)。 差变化较小，这是正常的。由 D 的构造可以发现突出最优因素和突出最劣 因素对考试的影响都极小，对被试发挥真实水平影响不大。尽管如此， 非常熟悉，而有的被试恰与前者相反，通过二级评判可以发现这些分数都 不能有效地揭示被试的真实学习水平状态。 二、模糊综合评审模型及其应用
模糊综合评审模型的数量指标具有相对意义。它是对同一等级水平进 行再评估的有力工具。教学评估中可以利用这个模型,对同一水平的学生 作更精确的评定。 1.模糊综合评审模型的数学表述 如果R=(r3)mxa,r2表示项目于指标对于优的隶属 度,n为项 目总数,m为指标总数,g,b分别为对于优、劣指标项目i的隶属度,w (w,w,…,wm)为权向量,则称 U, W1(g1-)] ∑[w1(1-b2) 为模糊综合评审模型,记为模型Us 模型U揭示了被评估项目j相对于优的隶属度。在以虚拟的优作标准 的前提下,可以通过区分数量指标U来区分各项目的优劣。如果把评估对 象称为项目,测验内容的构成要素作为评估指标,就可运用这个模型。 2.模型U在教学评估中的应用举例 在教学评估中应用模型U时,通常以被试的评价者作为试题,被试在 各题的得分率作为对被试的评估,这样可运用模型U对同一水平分的学生 进行再评估。 为了便于寻找g,b1,可将百分制成绩划分为优(A)、良(B)、 中和及格(C),差(D)四个等级,考分x属于各级的隶属度为 x80 uA(21+2(x=83,80<x9 95x≤100
模糊综合评审模型的数量指标具有相对意义。它是对同一等级水平进 行再评估的有力工具。教学评估中可以利用这个模型，对同一水平的学生 作更精确的评定。 1．模糊综合评审模型的数学表述 度，n 为项 目总数，m 为指标总数，gi，bi分别为对于优、劣指标项目 i 的隶属度，w ＝(w1，w2，…，wm)为权向量，则称 为模糊综合评审模型，记为模型 Uj。 模型 Uj揭示了被评估项目 j 相对于优的隶属度。在以虚拟的优作标准 的前提下，可以通过区分数量指标 Uj来区分各项目的优劣。如果把评估对 象称为项目，测验内容的构成要素作为评估指标，就可运用这个模型。 2．模型 Uj在教学评估中的应用举例 在教学评估中应用模型 Uj时，通常以被试的评价者作为试题，被试在 各题的得分率作为对被试的评估，这样可运用模型 Uj对同一水平分的学生 进行再评估
uB(x)={1+00(x-80)1,70<x 0,85<x100 ≤x<60 225 (x-625),60≤x<65, μC(x)={1,6≤x<70, 223n10(x-75) 70<x<80 f1,0≤x<60, uD (x (z-70 0,70≤x100 为了计算的方便,将高中数学测试试题划分为六大题:第1大题由原 第1~10题组成,第2大题由原第11~20题组成,第3大题由原第21, 22两题组成,第4大题由原第23题组成,第5大题由原第24题组成, 第6大题由原第25、26题组成。5名被试各大题得分率及C类分数如表5 表5-105名被试各题得分率及C类分数 得分率题号123456c类分总分 试 被试1 080910804305678 0808106 067 090.711 5680 被试4 0711081041 79 被试5 0808091 78 首先,求出5名被试关于第1大题为优的隶属向量r。 将第1大题按照得分率由高到低构成向量r1o,可得 (0.90.80.80.80.7)T
为了计算的方便，将高中数学测试试题划分为六大题：第 1 大题由原 第 1～10 题组成，第 2 大题由原第 11～20 题组成，第 3 大题由原第 21， 22 两题组成，第 4 大题由原第 23 题组成，第 5 大题由原第 24 题组成， 第 6 大题由原第 25、26 题组成。5 名被试各大题得分率及 C 类分数如表 5 －10。 首先，求出 5 名被试关于第 1 大题为优的隶属向量 r1。 将第 1 大题按照得分率由高到低构成向量 r10，可得 r10＝(0.9 0. 8 0.8 0. 8 0.7)T