第2章预备知识 21信号和系统的分类 211信号的分类 212系统的分类 图2-1系统示意图 22确定信号的分析 221周期信号 表2-1常用信号的傅里叶变换表 f(r F e-alu(n) (a+Jo) [6(o-00)+8(o+o0)+ 8 (sin@o )u(n) x[(a-a)-(0+a0+-20
·8· 第 2 章 预 备 知 识 2.1 信号和系统的分类 2.1.1 信号的分类 2.1.2 系统的分类 图 2-1 系统示意图 2.2 确定信号的分析 2.2.1 周期信号 表 2-1 常用信号的傅里叶变换表 序 号 f (t) F() 1 u(t) a t e − j 1 a + 2 t u(t) a t e − 2 j 1 (a + ) 3 | t | 2 2 − 4 (t) 1 5 1 2() 6 u(t) j 1 ( ) + 7 ( t)u(t) 0 cos 2 2 0 0 0 j 2 − − + + + ( ) ( ) 8 ( t)u(t) 0 sin 2 2 0 0 0 0 2j − − − + + ( ) ( )
cos@o/ r[o(O-co)+(o+00 sin@g/ jπ[(a+0)-a-0o (a) D2() 13 14 表2-2傅里叶变换的运算特性 序号 运算名称 时间函数 频谱函数 放大 K0f() KoF(o) 匕例 f(ar) f(t-lo) 频移 f(oe 时间微分 de Go)F(o) 6 n次时间微分 Go)"F(o) f(r)dr F(o)+πF(0)() 频率微分 (-j)f() d" F n次频率微分 (-jn)"f() 叠加 41()+B2() AF(o)+BF(o) 时间卷积 f(1)*f2() FoF(o) 12 频率卷积 f(n)2() [F1()*F2(o)
·9· 9 t 0 cos ( − ) + ( + ) 0 0 10 t 0 sin ( + ) − ( − ) 0 0 j 11 2 Sa 2 w wt () Dw 12 D (t) 2 Sa 13 | | e −a t 2 2 2 a + a 14 2 2 2 e −t / 2 e 0 2 2 2 − , / 15 (t) T0 0 0 0 0 2 2 T n T n − = =− ( ), 表 2-2 傅里叶变换的运算特性 序号 运算名称 时间函数 频谱函数 1 放大 K f (t) 0 K F() 0 2 比例 f (at) a F a | | 1 3 时移 ( ) 0 f t − t 0 j e t F − ( ) 4 频移 t f t 0 j e ( ) ( ) F −0 5 时间微分 t f d d (j)F() 6 n 次时间微分 n n t f d d ( ) F() n j 7 时间积分 d − t f ( ) () ( ) () + 0 j 1 F F 8 频率微分 (− jt) f (t) d dF 9 n 次频率微分 ( t) f (t) n −j n nF d d 10 叠加 Af (t) Bf (t) 1 + 2 () () AF1 + BF2 11 时间卷积 f (t) f (t) 1 2 () () F1 F2 12 频率卷积 f (t) f (t) 1 2 () () 1 2 2 1 F F
22.3信号的能量谱与功率谱 22.4波形的互相关和自相关 23随机信号的分析 23.1概率及随机变量 1.概率 2.随机变量 23.2随机过程和它的统计特性 1.随机过程的概念 图2-4随机过程的样本函数 2.随机过程的统计特性 图2-5随机过程的数学
·10· 2.2.3 信号的能量谱与功率谱 2.2.4 波形的互相关和自相关 2.3 随机信号的分析 2.3.1 概率及随机变量 1. 概率 2. 随机变量 2.3.2 随机过程和它的统计特性 1. 随机过程的概念 2. 随机过程的统计特性 图 2-5 随机过程的数学期望 图 2-4 随机过程的样本函数
图2-6数学期望和方差相同的两个随机过程 23平稳随机过程 1.平稳随机过程 2.平稳随机过程的自相关函数 3.各态历经性与时间平均值 x1(t) AfYon x(t)4 图2-7统计平均和时间平均的示意图 4.平稳随机过程的功率谱密度
·11· 图 2-6 数学期望和方差相同的两个随机过程 2.3.3 平稳随机过程 1. 平稳随机过程 2. 平稳随机过程的自相关函数 3. 各态历经性与时间平均值 图 2-7 统计平均和时间平均的示意图 4. 平稳随机过程的功率谱密度
234高斯随机过程 图2-8正态分布的概率密度函数 图2-9Q函数的几何意义 23.5平稳随机过程通过线性系统 图2-10随机过程通过线性系统 输出随机过程的数学期望 2.输出随机过程的自相关函数 3.输出随机过程的功率谱密度
·12· 2.3.4 高斯随机过程 图 2-8 正态分布的概率密度函数 图 2-9 Q 函数的几何意义 2.3.5 平稳随机过程通过线性系统 图 2-10 随机过程通过线性系统 1. 输出随机过程的数学期望 2. 输出随机过程的自相关函数 3. 输出随机过程的功率谱密度
23.6窄带随机过程 图2-11窄带波形的频谱及示意波形 图2-12功率谱密度Px(o),P(o)和(o)的示意图
·13· 2.3.6 窄带随机过程 图 2-11 窄带波形的频谱及示意波形 图 2-12 功率谱密度 () PX , () PI 和 () PQ 的示意图
图213同相分量x()和正交分量Xo()的提取方法 图2-14白噪声与带限噪声的相关函数与谱密度 2.4信道与噪声 24.1信道的定义和模型 2-15调制信道
·14· 图 2-13 同相分量 X (t) I 和正交分量 X (t) Q 的提取方法 图 2-14 白噪声与带限噪声的相关函数与谱密度 2.4 信道与噪声 2.4.1 信道的定义和模型 图 2-15 调制信道
图2-16调制信道模型 242高斯白噪声 图2-17白噪声的功率谱密度 25信息及其度量 表232号国际电码表 5单位代码 5单位代码 字母数字 字母数字 Q 5100 0100010 0010010 TUVw 0100010 000 10000 l11 换行 ↓字母 ↑数字
·15· 图 2-16 调制信道模型 2.4.2 高斯白噪声 2.5 信息及其度量 。 表 2-3 2 号国际电码表 字母 数字 5 单位代码 字母 数字 5 单位代码 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 A – 1 1 0 0 0 Q 1 1 1 1 0 1 B ? 1 0 0 1 1 R 4 0 1 0 1 0 C : 0 1 1 1 0 S ! 1 0 1 0 0 D 1 0 0 1 0 T 5 0 0 0 0 1 E 3 1 0 0 0 0 U 7 1 1 1 0 0 F % 1 0 1 1 0 V = 0 1 1 1 1 G @ 0 1 0 1 1 W 2 1 1 0 0 1 H ₤ 0 0 1 0 1 X / 1 0 1 1 1 I 8 0 1 1 0 0 Y 6 1 0 1 0 1 J 铃 1 1 0 1 0 Z + 1 0 0 0 1 K ( 1 1 1 1 0 < 回车 0 0 0 1 0 L ) 0 1 0 0 1 ≡ 换行 0 1 0 0 0 M · 0 0 1 1 1 ↓ 字母 1 1 1 1 1 N , 0 0 1 1 0 ↑ 数字 1 1 0 1 1 图 2-17 白噪声的功率谱密度
25.1信息量 表24英文字母出现的概率 符号 概率 符号 概率 符号 0.052 J,11 0.012 0.105 0.047 0.0l1 0072 0.035 8bvkx 0.0105 0.0654 0.029 0.008 0.063 0.023 0.003 0.055 J, q- 0.054 0.0175 252平均信息量 习题 21设随机变量θ在(0,2π)内均匀分布,求Asin的数学期望,其中A为常数。 22已知随机过程X()=Acos(o1+θ)其中θ是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。试证明X()是 广义平稳的 23试求题22中的随机相位余弦波X()的时间平均值a和时间平均自相关函数R(r) 4设m()是双边功率谱密度为/2的白噪声它作用在一个RC低通滤波器上,如图题24所示 求滤波器输出噪声()的功率谱密度和自相关函数,并作图与输入噪声作比较。 图题24 图题2.5 2.5将均值为0,功率谱密度为2的高斯白噪声()加到图题2.5所示的LC低通滤波器的输入 (1)求输出噪声n()的自相关函数
·16· O 9 0 0 0 1 1 间隔 0 0 1 0 0 P 0 0 1 1 0 1 空格 0 0 0 0 0 2.5.1 信息量 表 2-4 英文字母出现的概率 符号 概率 符号 概率 符号 概率 空隙 0.20 s 0.052 y,w 0.012 e 0.105 h 0.047 g 0.011 t 0.072 d 0.035 b 0.010 5 o 0.065 4 i 0.029 v 0.008 a 0.063 c 0.023 k 0.003 n 0.059 f,u 0.022 5 x 0.002 l 0.055 m 0.021 j,q,z 0.001 r 0.054 p 0.017 5 2.5.2 平均信息量 习 题 2.1 设随机变量 在 (0，2) 内均匀分布，求 Asin 的数学期望，其中 A 为常数。 2.2 已知随机过程 cos( ) X(t) = A c t + ，其中 是在 (0，2) 内均匀分布的随机变量。试证明 X (t) 是 广义平稳的。 2.3 试求题 2.2 中的随机相位余弦波 X (t) 的时间平均值 a 和时间平均自相关函数 R( ) 。 2.4 设 n(t) 是双边功率谱密度为 n0 / 2 的白噪声，它作用在一个 RC 低通滤波器上，如图题 2.4 所示。 求滤波器输出噪声 n (t) o 的功率谱密度和自相关函数，并作图与输入噪声作比较。 图题 2.4 图题 2.5 2.5 将均值为 0，功率谱密度为 n0 / 2 的高斯白噪声 n(t) 加到图题 2.5 所示的 LC 低通滤波器的输入 端。 (1) 求输出噪声 n (t) o 的自相关函数；
(2)求输出噪声n。()的方差。 26将一个均值为0,功率谱密度为n/2的高斯白噪声m(加到个中心频率为∫。,带宽为B的 理想带通滤波器上,如图题26所示。 图题26 (1)求滤波器输出噪声n()的自相关函数 2)写出输出噪声n()的一维概率密度函数。 27计算信息量时,分别采用10和e作为对数的底,求所用的单位与用二进制单位的数值关系。 283个英文字母为e,x,o,分别计算每个字母的信息量及它们的平均信息量。 29从26个英文字母中随机地选取一个字母,求其信息量。若信源发出概率各为1/2,1/4,16和 1/12的4个字母序列,求其平均信息量 210消息源以概率R=1/2,P=1/4,B=1/8,P=116,B=1/16发送5种消息符号 若每个消息符号出现是独立的,求每个消息符号的信息量。 211设有4种消息符号,其出现概率分别是1/4,1/8,1/8,1/2。各消息符号出现是相对独立的, 求该符号集的平均信息量 212一个离散信号源每亳秒发出4种符号中的一个,各相互独立符号出现的概率分别为04,0 0.2,0.1。求该信号源的平均信息量与信息速率 213某二元码序列的信息速率是240bi若改用八元码序列传送该消息试求码元速率是多少? 2.14某消息用十六元码序列传送时,码元速率是300波特。若改用二元码序列传输该消息,其信 息速率是多少 2.15某消息以2Mbs的信息速率通过有噪声的信道在接收机输出端平均毎小时出现7bit差错. 求误比特率。 216—个二元码序列以2×10bit/s的信息速率通过信道,并已知信道的误比特率为5×10-°。试 求出现1b差错的平均时间间隔。 217设一个码字由5位独立的二进代码组构成。若已知信道的误比特率分别为10-1和10-8,则错 字率P分别是多少?
·17· (2) 求输出噪声 n (t) o 的方差。 2.6 将一个均值为 0，功率谱密度为 n0 / 2 的高斯白噪声 n(t) 加到一个中心频率为 c f ，带宽为 B 的 理想带通滤波器上，如图题 2.6 所示。 图题 2.6 (1) 求滤波器输出噪声 n (t) o 的自相关函数； (2) 写出输出噪声 n (t) o 的一维概率密度函数。 2.7 计算信息量时，分别采用 10 和 e 作为对数的底，求所用的单位与用二进制单位的数值关系。 2.8 3 个英文字母为 e，x，o，分别计算每个字母的信息量及它们的平均信息量。 2.9 从 26 个英文字母中随机地选取一个字母，求其信息量。若信源发出概率各为 1/ 2, 1/ 4, 1/ 6 和 1/12 的 4 个字母序列，求其平均信息量。 2.10 消 息 源 以 概 率 P1 =1/ 2，P2 =1/ 4，P3 =1/ 8，P4 =1/16，P5 =1/16 发 送 5 种 消 息 符 号 m1，m2，m3，m4，m5 。若每个消息符号出现是独立的，求每个消息符号的信息量。 2.11 设有 4 种消息符号，其出现概率分别是 1/ 4， 1/8， 1/8， 1/ 2 。各消息符号出现是相对独立的， 求该符号集的平均信息量。 2.12 一个离散信号源每毫秒发出 4 种符号中的一个，各相互独立符号出现的概率分别为 0.4，0.3， 0.2，0.1。求该信号源的平均信息量与信息速率。 2.13 某二元码序列的信息速率是 2 400 bit/s，若改用八元码序列传送该消息，试求码元速率是多少？ 2.14 某消息用十六元码序列传送时，码元速率是 300 波特。若改用二元码序列传输该消息，其信 息速率是多少？ 2.15 某消息以2 Mbit/s 的信息速率通过有噪声的信道，在接收机输出端平均每小时出现72 bit差错。 试求误比特率。 2.16 一个二元码序列以 6 2 10 bit /s 的信息速率通过信道，并已知信道的误比特率为 9 5 10－ 。试 求出现 1bit 差错的平均时间间隔。 2.17 设一个码字由 5 位独立的二进代码组构成。若已知信道的误比特率分别为 1 10－ 和 8 10－ ，则错 字率 PW 分别是多少？