《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第四章 特征值与特征向量 4-4实对称矩阵的相似对角化

4-4实对称矩阵的相似对角化引入：复数域上，矩阵的共轭矩阵设A=(a,）mn，称A=(a.)mxn为A的共轭矩阵A-AT(1)kA=kA(2)AB=A B(3)

4-4 实对称矩阵的相似对角化 引入：复数域上，矩阵的共轭矩阵 A  aij mn 设 ( ) ，称 为 A 的共轭矩阵. A  aij mn ( ) AB A B kA k A A A T T (3) (2) (1)   

引理1实对称矩阵的特征值都是实数证：假设复数是实对称矩阵A的特征值，复向量α为对应的特征向量，即有(1)Aα=α,α0上式两端取共轭，再转置，因A=A,A=A，故α"A=α(2)（2）式两端右乘α，得Aα=α（1）式两端左乘α，得αAα=αα比较两式，则有α=α即(-)α=0，而，所以aα=a,a,=Zla,+0i=li=l故元-元=0,=，说明为实数

引理1 实对称矩阵的特征值都是实数。 证： 假设复数  是实对称矩阵A的特征值，复向量  为对应的特征向量，即有 A  ,   0 （1） 上式两端取共轭，再转置，因 A  A, A T  A ，故 2 T T A （ ） （2）式两端右乘  ，得 T T A （1）式两端左乘  T ，得     T T A  比较两式，则有 ，即 ，而 ，所以 T T 故 ，说明 为实数。      0 T ( )   0 0 1 2 1      n i i i n i i T   a a a    0，    

由引理1可推出：由于对称矩阵A的特征值.为实数,所以齐次线性方程组(a, I - A)x = 0是实系数方程组,由a,I-A=0知必有实的基础解系，从而对应的特征向量为实向量

由引理1可推出： , ( ) 0 , 0 , . i i i A I A x I A 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 线性方程组 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 系 从而对应的特征向量为实向量      

引理2实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量彼此正交证:设实对称矩阵A有两个不同特征值，，分别对应特征向量α,α即A=A=1转置右乘α2a'A=MaT A, ='2 ='*α,α2= 0则 (-)αα=0即α,α正交

引理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量彼此正交。 证： 设实对称矩阵 A 有两个不同特征值 1 ,2 ，分别对应特征向量 1 2  , 即 1 1 1 2 2 2 A   , A    T T 1 A  1 1 转置 右乘  2 1 2 1 1 2 T T A  1 2 2 1 1 2 T T  则 (1 2 )1 2  0 T 1  2 1 2  0 T 即 1 ,2 正交

引理3实对称矩阵的k重特征值一定有k个线性无关的特征向量注1实对称矩阵一定能对角化。定理对任意n阶实对称矩阵A都存在n阶正交矩阵C，使得CTAC=C-AC=A

引理3 实对称矩阵的 k 重特征值一定有 k 个线性无关的特征向量。 注1 实对称矩阵一定能对角化。 定理 对任意 n 阶实对称矩阵 A ，都存在 n 阶正交矩阵 C，使得   Λ  C AC C AC T 1

注2实对称矩阵相似对角化的步骤：（寻找正交矩阵C）（1）求出A的全部互异特征值,，,，;（2）对应每个特征值,，求（a,I-A)X=0的基础解系αi,αiz,,αik将其正交规范化，得到βi1,βi2，"βik（3）将所有特征值对应的特征向量作为列向量构成正交矩阵C；（4）将A的全部特征值（重根按重数排列）构成Λ的主对角元

(i I  A)X  0 实对称矩阵相似对角化的步骤：（寻找正交矩阵 C ） （1）求出 A 的全部互异特征值 ； （2）对应每个特征值 ，求 的基础解系 ，  i r , , , , 1   i  i i ik , , , 1 2  将其正交规范化，得到 i i ik , , , 1 2  （3）将所有特征值对应的特征向量作为列向量构成正交矩阵 C ； （4）将 A 的全部特征值（重根按重数排列）构成 Λ 的主对角元。 注2

2(2-2)52-4例1 设A=，求正交矩阵C，使C-AC为对角矩阵5-4(-22元-2-24-2元-5解:-A=4= = 1,2=10=(α-1)(α-10)得特征值241-5(-12(12-2)-2对于 ==1，考虑齐次方程组 (I-A)X=00400-2-4→00024- 4 22V53V5-2241得基础解系α=正交规范化β,=β,753V5053V5-

例1 设 ，求正交矩阵 C，使 C 1 AC 为对角矩阵。                2 4 5 2 5 4 2 2 2 A 解： 2 4 5 2 5 4 2 2 2           I A ( 1) ( 10) 2      得特征值 1  2 1，3 10 对于 1  2 1 ，考虑齐次方程组 (I  A)X  0                2 4 4 2 4 4 1 2 2             0 0 0 0 0 0 1 2 2 得基础解系                       1 0 2 0 1 2 1 ，2 正交规范化                                        3 5 5 3 5 4 3 5 2 0 5 1 5 2 1 ， 2

22-2)5例1 设A=2-4，求正交矩阵C，使C-AC为对角矩阵5-4(-28-22)201450-21→1对于=10，考虑齐次方程组(10-A)X=05)40002132-12单位化得基础解系α，=β, =3(-2)223.21753/513241C-1AC-1令 C=(β,β2,β)=3753V5102533V50

例1 设 ，求正交矩阵 C，使 C 1 AC 为对角矩阵。                2 4 5 2 5 4 2 2 2 A 对于 3 10 ，考虑齐次方程组 (10I  A)X  0             2 4 5 2 5 4 8 2 2            0 0 0 0 1 1 2 0 1 得基础解系             2 2 1 3 单位化                   3 2 3 2 3 1 3 令                         3 2 3 2 3 1 3 5 5 3 5 4 3 5 2 0 5 1 5 2 , , C 1  2 3             10 1 1 1 C AC

例2设A，B均为n阶实对称矩阵，证明：A～BA与B有相同的特征值。证：必要性前面已有的结论，现证充分性：设n阶实对称矩阵A，B有相同的特征值，，,，，则存在可逆矩阵P,g使得P-"AP=△=Q-BQ，由相似矩阵的传递性可知，A与B相似

例2 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，证明：A～B A  与 B 有相同的特征值。 证： 必要性前面已有的结论，现证充分性： 设 n 阶实对称矩阵 A，B 有相同的特征值 1 ,2 ,  ,n ，则存在可逆矩阵 P,Q 使得 P 1 AP  Λ  Q 1 BQ ， 由相似矩阵的传递性可知，A 与 B 相似

例3设A，B均为n阶实对称矩阵，若存在正交矩阵T，使得T-AT，T-"BT都是对角矩阵，则AB是实对称矩阵。元（山,则证：设T-AT=BT=元nμnMM(T-AT)(T-BT)=(T-BT)(T-AT)=nn得 AB= BA从而（AB)=BTAT=BA=AB即 AB是实对称矩阵

例3 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 T ，使得 T AT T BT 1 1 ,   都是对角矩阵，则 AB 是实对称矩阵。 证： 设 ，则                         n n T AT T BT       1 1 1 1 ,                 n n T AT T BT T BT T AT      1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( )( ) 得 AB  BA 从而 AB B A BA AB T T T ( )    即 AB 是实对称矩阵