《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第三章 n维向量空间 3-1 n维向量空间的概念

第三章n维向量空间3-1 n维向量空间的概念3-2向量组的线性相关性3-3向量组的秩与极大无关组3-4 线性方程组解的结构

第三章 n 维向量空间 3-1 n 维向量空间的概念 3-2 向量组的线性相关性 3-3 向量组的秩与极大无关组 3-4 线性方程组解的结构

3-1n维向量空间的概念引入Op=(a,a2,a,)1°空间直角坐标系中，向径OP是一个三维向量，坐标表示为0203(o203),2°矩阵14的每一行元素可以构成一个行矩阵-30(14),0-3(000102)12030每一列元素可以构成一个列矩阵4-3010203°n元线性方程ax+azx2+...+a,x=b的系数可以记为(ai,a,"",an)

3-1 n 维向量空间的概念 OP 引入 1°空间直角坐标系中，向径 是一个三维向量，坐标表示为 ( , , ) OP  a1 a2 a3 2°矩阵 的每一行元素可以构成一个行矩阵            0 1 0 2 1 3 0 4 0 2 0 3      0 1 0 2 , 1 3 0 4 , 0 2 0 3 ,  每一列元素可以构成一个列矩阵                                          2 4 3 , 0 0 0 , 1 3 2 , 0 1 0 3° n 元线性方程 a1 x1  a2 x2  an xn  b 的系数可以记为 ( , , , ) a1 a2  an

一、向量及向量空间定义1数域P上的n个数组成的有序数组α=(a,αz，,a,）称为一个n维向量。ai注a2列向量：(1）行向量：(ai,a2,.,an）an)（2）a，称为向量的分量(i=1,2,,n)(3）设向量α=(a,a2,,a,),β=(b,bz,,b,),若a,=b，(i=1,2,,n），则称向量相等：α=β0 =(0,0,.,0)（4）零向量（5）负向量-α=(aj,-a2,,-an)

定义1 数域 P上的 n 个数组成的有序数组   (a1 ,a2 ,  ,an ) 称为一个 n 维向量。 ( , , , ) （1）行向量： a1 a2  an 列向量：               n a a a  2 1 a (i 1,2, ,n) （2） i 称为向量的分量   （3）设向量 ，若 ，则称 向量相等： ( , , , ), ( , , , )   a1 a2  an   b1 b2  bn a b (i 1,2, ,n) i  i      注 （4）零向量 ( , , , )   a1 a2  an 0  (0,0,  ,0) （5）负向量 一、向量及向量空间

定义2（向量的线性运算）设向量α=(aj,az,.",a,),β=(b,bz,".,b,),keP(数域)向量加法α+β=(a, +br,a2 +bz,"",an +bn)数乘向量ka =(ka,kaz,...,kan)定义3（n维实向量空间Rn）全体n维向量的集合，对于加法和数乘运算封闭，且满足下列运算规律(1) α+β=β+α;(5) 1α =α;(2) (α +β)+=α+(β+);(6) k(lα) =(kl)α;(3) α+0=α;(7) k(α +β)=kα+kβ:(4) α+(-α)=0,(8) (k+I)α = kα+lα

定义2 （向量的线性运算） 设向量   (a1 ,a2 ,  ,an ),   (b1 ,b2 ,  ,bn ), k P （数域） 向量加法 数乘向量 ( , , , )     a1 b1 a2 b2  an bn ( , , , ) 1 2 n k  ka ka  ka 定义3 （ n 维实向量空间 Rn） 全体 n 维向量的集合，对于加法和数乘运算封闭，且满足下列运算规律： (4) ( ) 0; (3) 0 ; (2) ( ) ( ); (1) ;                            (8) ( ) . (7) ( ) ; (6) ( ) ( ) ; (5) 1 ;            k l k l k k k k l k l        

ax +ai2x2+...+ainx,=ba21X, +a22X2 +..+a2nx, =b,例如，n元线性方程组可记为向量方程：+am2X2+...+amx,=bmL(b)ay2b2a22d21aanXa+x2+..+x=b+X2Xb.amlCX2X =或 Xa +x22 +.+x,α, =(α1,α2,*,αn)X=b（解向量）x

例如，n 元线性方程组 可记为向量方程：                    m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1                                                             mn m n n n m m b b b a a a x a a a x a a a x      2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 x1 1  x2 2  xn n  b 或 x1 1  x2 2  xn n  (1 ,2 ,  ,n )X  b                n x x x X  2 1 （解向量）

二、向量空间与子空间1.定义设V是n维向量的集合,如果V非空且对向量的两种运算封闭，即V满足：(1)有α+βeVVα,BeV,有kαeV(2)VαeV,kER,则称V是一个向量空间

1.定义 设V是n维向量的集合,如果V非空,且对向量 的两种运算封闭，即 V 满足: (1)   ,   V， 有 +   V (2)   V ，k  R， 有 k  V 则称 V 是一个向量空间. 二、向量空间与子空间

例如(1)全体 n维向量构成一个向量空间，称为 n维向量空间：记作R"(2) Vi ={(0, a2, ... , an) / a; E R, i= 2, 3, ... n) 是一个向量空间，且V,CR"，称为R"的一个子空间(3)集合V,=(x=(1,x2,……,x,E R)不是向量空间.因为若α= (1,a2...,a,)e V2,则2α =(2,2a2...., 2a,) V2

例如 (2) V1 = { ( 0, a2 , . , an ) | ai  R, i = 2, 3, . n } 是一 个向量空间，且V1  R n，称为 R n 的一个子空间. (1) 全体 n 维向量构成一个向量空间，称为 n 维 向量空间：记作 R n . 2 2 2 2 2 2 (3) { (1, , , } (1, , , ) , 2 (2,2 , ,2 ) . n n n V x x x R   a a V a a V           集合 不是向量空间.因为 若 则

子空间定义4（R"的子空间）非空向量集合VR"，如果V对于R"的线性运算也构成一个向量空间，则称V为R"的一个子空间。定理1非空子集V是R"的子空间一V对于加法和数乘运算封闭例1在3维向量空间R3中，定义两个子集：V=((x,x2,x)x +x2 +x =0)是R的子空间V2 =((Xi,X2,x) X +x2 +x =1)不是R的子空间

定义4 （ Rn 的子空间） 子空间 非空向量集合 ，如果 对于 的线性运算也构成一个向量空间，则 称 为 的一个子空间。 3 R n V R n V R 定理1 非空子集 是 的子空间 对于加法和数乘运算封闭 n V R V 例1 在3维向量空间 中，定义两个子集： n V  R {( , , ) 1} {( , , ) 0} 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3         V x x x x x x V x x x x x x 是 R 3 的子空间 不是 R 3 的子空间

单选题设置1分V=（（x1,×2×3）|x3=0是R3的子空间对错提交

𝑉3 = { (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ห 𝑥3 = 0 }是𝑅 3的子空间 对 错 A B 提交 单选题 1分

单选题设置1分V4=(×1,X2,X3）1+×2—X=1}是R3的子空间对错提交

𝑉4 = { (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ห 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 1 }是𝑅 3的子空间 对 错 A B 提交 单选题 1分