《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第二章 行列式 2-1 n阶行列式的定义

第二章行列式2-1n阶行列式的定义2-2行列式的性质和计算2-3拉普拉斯定理2-4克拉默法则2-5矩阵的秩

第二章 行列式 2-1 n 阶行列式的定义 2-2 行列式的性质和计算 2-3 拉普拉斯定理 2-4 克拉默法则 2-5 矩阵的秩

2-1n阶行列式的定义aiix +ai2x, =b考虑二元线性方程组[a2 +a22x =b,b,a22 -ai2b2xa22-a221当aa22一za±0时，则方程组的解为a,bz -b,a21X2ai22 -ai221b,hd12aa12d记矩阵A：Ab,ba22a21a21a-01ai1a12称为一个二阶行列式，且aα22-ai221= det A=Aa22a21a22[a21

2-1 n 阶行列式的定义        2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 a x a x b a x a x b 考虑二元线性方程组 当 a1 1a2 2 a1 2a2 1  0 时，则方程组的解为              1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 a a a a a b b a x a a a a b a a b x 记矩阵 21 22 11 12 a a a a                            2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 , , a b a b A b a b a A a a a a A 称 为一个二阶行列式，且 a a a a A a a a a det 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2     A

ax +a12X2 = b的解可记为当detA±0时，二元线性方程组[a21)+a22x2=b,ba2bdet A,a22xdet Aa12aa21b,aib2det A,a21X2det Aa2aila22a21

当 时，二元线性方程组 的解可记为        2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 a x a x b a x a x b det A  0                  A A a a a a a b a b x A A a a a a b a b a x det det det det 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1

二阶行列式定义由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表aual2a21(22数[aia22 -a12a21称为数表所确定的二阶行列式，记为aii a2[a21 a22

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列） 的数表 数 a a a a 11 22 12 21  称为数表所确定的 二阶行列式, 记为 11 12 21 22 a a a a 二阶行列式定义 11 12 21 22 a a a a

二阶行列式的计算一对角线法则a主对角线2=a1a22-(1221a21次对角线22

a21 11 a 12 a 22 a 主对角线 次对角线 对角线法则 11 22  a a . 12 21  a a 二阶行列式的计算

单选题1分设置99提交

1 - 99-77 ABCD 提交 单选题 1 分

+ai +a=b同理，对于三元线性方程组a21 +a222 +a23g =b2[a31+a2x2+a3g=b( b)bibraai2ar3aiiai3(anlai2a13ai2b2b2b2A =记矩阵A=A=a21A, =a22a21a22a23a23a21a22a23bs(b)b,a32(a31a33(asia32(as1a32a33a33)det A,x,det Adet Az当detA≠0时，三元线性方程组的解可记为X2det Adet A,X3det A

同理，对于三元线性方程组               3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 记矩阵                                             3 1 3 2 3 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 3 3 1 3 3 3 2 1 2 2 3 1 1 1 1 3 2 3 3 2 3 3 2 2 2 2 3 1 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 , , , a a b a a b a a b A a b a a b a a b a A b a a b a a b a a A a a a a a a a a a A 当 det A  0 时，三元线性方程组的解可记为             A A x A A x A A x det det det det det det 3 3 2 2 1 1

ajiai2ai其中 det A=a21a22a23=a1a22a33+12a23a31+a132ia32a31a32a331322a31-a12a21a33-a11a23a32称为一个三阶行列式（1）对角线展开法展开式共6（3！）项每项是3个不同行不同列的元素乘积3项带正号（主对角线方向）、3项带负号（次对角线方向）

其中 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 det a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A        称为一个三阶行列式. （1）对角线展开法 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a • 展开式共 6（3！）项 • 每项是3个不同行不同列的元素乘积 • 3项带正号（主对角线方向）、3项带负号（次对角线方向）

aua12a13（2）按一行展开法a21a22a23aa7a21a22a23=aa20a33a31a33d32a1a32a31a32a33=aA, +ai2A2+ai3A3其中A1,A2,A3分别称为元素a1a12,a;的代数余子式aa21a12 =(-1)I+2 = (-1)+3Ai =(-1)I+Ia31a31a32a32a33a33

（2）按一行展开法 3 1 3 2 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a     a1 1A1 1  a1 2A1 2  a1 3A1 3 其中 A11, A12, A13 分别称为元素 a11,a12,a13 的代数余子式 3 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 1 2 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 1 1 2 2 2 3 1 1 ( 1) , ( 1) , ( 1) a a a a A a a a a A a a a a A         

定义ajana12a21a22a2n是由 A确定的一个数：设A是n阶方阵，n阶行列式detA=...:::anan2a(1)当n=1时，det A=ai|=au(2)当n≥2时，det A=auA+ai2A2+...+ainAn,其中A,=(-1)*iM,aiiainauj-1auj+1.：a2na21a2j-1a2j+1...·(j =1,2,...,n)M.:antannanj-1anj+1M,称为元素α,的余子式，A,称为元素a,的代数余子式上述归纳定义称为行列式按第1行展开

定义 设 A 是 n 阶方阵， n 阶行列式 det 是由 确定的一个数： 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n a a a a a a a a a A         A （1）当 n 1 时， det A  a11  a11 （2）当 n  2 时 ， det A  a1 1A1 1  a1 2A1 2  a1n A1n ，其中 j j A j M1 1 1 ( 1)    n n j n j n n j j n j j n j a a a a a a a a a a a a M             1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1        ( j 1,2,  ,n) M1 j 称为元素 a1 j 的余子式， A1 j 称为元素 a1 j 的代数余子式。 上述归纳定义称为行列式按第1行展开