4-3n维向量空间的正交性复习：向量空间的概念思考：在3维向量空间R3中，可以通过向量的数量积运算计算向量的长度及向量间的夹角等度量，在n维向量空间Rn中如何讨论呢？为此引入内积的运算
4-3 n 维向量空间的正交性 思考： 在3维向量空间 R3 中，可以通过向量的数量积运算计算向量的长度及向量 间的夹角等度量，在 n 维向量空间 R n 中如何讨论呢？ 复习：向量空间的概念 为此引入内积的运算
一、内积定义1设α=(a,az,a），β=(b,b,,,b,）是n维向量空间R"中的两个向量，称实数ab+ab,+….+a,b,为α与β的内积，记为（α，β)(α, β)=a,b +a,b, +...+a,b, =αβl内积的运算性质设α,β,是n维向量空间R"中的向量，k为任意实数（1)非负性(α，α)≥0,当且仅当α=0时等号成立;（2） 对称性(α, β)=(β, α) (α+β, )=(α, )+(β, )(kα, β)=k(α, β)（3）线性性质
内积的运算性质 (, ) 0, 设 是 n 维向量空间 中的向量，k 为任意实数, n , , R （1）非负性 当且仅当 0 时等号成立； （2）对称性 (, ) (, ) （3）线性性质 ( , ) (, ) (, ) (k, ) k(, ) 一、内积 定义1 设 是 n 维向量空间 中的两个向量， 称实数 为 与 的内积，记为 ( , , , ), ( , , , ) a1 a2 an b1 b2 bn n R a1 b1 a2 b2 an bn (, ) T (, ) a1 b1 a2 b2 an bn
定义2设α=(a,a2,an)R”，称α,)=a+α+…a为向量α的长度，记为 [αlll=a' +a? +...+a?向量长度的运算性质(1）非负性[α≥ 0, 当且仅当 α= 0 时 α= 0kα=, ke R（2) 齐次性α+β≤+B（3）三角不等式(α, β)≤a2 柯西-施瓦茨不等式
向量长度的运算性质 0, 设 ，称 为向量 的长度， 记为 （1）非负性 当且仅当 0 时 （2）齐次性 k k , k R （3）三角不等式 定义2 n (a1 ,a2 , ,an )R 2 2 2 2 1 ( , ) a a an 0 柯西-施瓦茨不等式 2 2 2 (, ) 2 2 2 2 a1 a an
单位向量及向量的单位化当α=1时，称α为单位向量。若α±0，则α可以单位化(α,β) :为α与β的夹角，记为<α,β)当α0，β0时，称=arccos定义3l -/ll(α,β)α,β)=arccosal-/ ll在R3中，两向量α,β，(α,β)=0α1β
单位向量及向量的单位化 当 1 时，称 为单位向量。 若 0 ，则 可以单位化： 1 定义3 当 0， 0 时，称 为 与 的夹角，记为 ( , ) arccos , ( , ) , arccos 在R3 中，两向量 , ， (,) 0
二、 n 维向量的正交性定义4若两向量α与β内积为零，即（α,β)=0，则称α与β正交。零向量0与任一向量正交。定义5若非零向量组αj,α2,αm两两正交，则称之为正交向量组定理正交向量组是线性无关组。设α,αz,",αm是正交向量组，且kα+k,α+.+kmαm=0证明：用α,与上式两端作内积，则αi,kα,+kzαz++kmαm）=k,(α,α,)+k,(αr, α,)+..+k(αr, αm)=k,(α, α,)=0因α≠0，(α,α)±0，所以=0，同理k,=k==k=0所以，αi,α2,",αm线性无关
二、n 维向量的正交性 定义4 若两向量 与 内积为零，即 (,) 0 ，则称 与 正交。 零向量 0 与任一向量正交。 定义5 若非零向量组 1 ,2 , , m 两两正交，则称之为正交向量组。 定理 正交向量组是线性无关组。 证明： 设 1 ,2 , , m 是正交向量组，且 k1 1 k2 2 km m 0 用 1 与上式两端作内积，则 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 2 2 k k k k k k k m m m m 因 1 0， (1 ,1 ) 0 ，所以 k1 0 ，同理 k2 k3 km 0 所以，1 ,2 , , m 线性无关
注线性无关的向量组未必是正交向量组。例如,向量组 α=(1,1,1),αz=(1,1,0),α;=(1,0,0)线性无关,但其中任何两个向量都不满足正交性。例1在R3中，α=(1,1,1),α=(1,1,-2），求向量α，使α,α2，α为正交向量组解：显然（αα）=0，设α=(,），则应有[(α1, α3)=X +X2 +x, =0((α2, αg)=X +X2 -2x, =0解得α=(1,-1,0），从而αi，α2，α为正交向量组
注 线性无关的向量组未必是正交向量组。 例如，向量组 线性无关， 但其中任何两个向量都不满足正交性。 (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) 1 2 3 例1 在R3 中， 1 (1,1,1), 2 (1,1,2) ，求向量 3 ，使 1 , 2 , 3 为正交向量组。 解：显然 (1 , 2 ) 0 ，设 3 (x1 , x2 , x3 ) ，则应有 ( , ) 2 0 ( , ) 0 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 x x x x x x 解得 3 (1,1,0) ，从而 1 , 2 , 3 为正交向量组
例2在Rn中，设向量组αi，α2α,线性无关(rn，证明：β，β2,·…β.线性相关证：设α,(i=1,2,,r),β,（j=1,2,,s)均为列向量，则（α，β）=αβ,=0(0)αβ,a,(i=1,2,,r; j=1,2,,s0α,β,α2设矩阵A=弯:.(0α,β,α.即β,是齐次线性方程组AX=O的解向量，其基础解系含n-r个解向量，则向量组β，β,.…β、的秩<n-r<s向量组βi，β2,",β、线性相关
例2 在 Rn 中，设向量组 线性无关 ，且向量组 中每 一个向量都与 中每一个向量正交，且 ， (r n) r , , , 1 2 s , , , 1 2 r , , , 1 2 r s n s , , , 证明： 1 2 线性相关。 证：设 i (i 1,2, ,r), j ( j 1,2, ,s) 均为列向量，则 ( 1,2, , 1,2, , ) ( , ) 0 i r j s j T i j i ； 设矩阵 ，则 T r T T A 2 1 0 0 0 2 1 j T r j T j T A j 即 j 是齐次线性方程组 AX 0 的解向量，其基础解系含 n r 个解向量， 则向量组 1 , 2 , , s 的秩 nr s s , , , 向量组 1 2 线性相关
定义6设α,α2,,α，是n维向量空间Rn的正交向量组，且α=1(i=1,2,",s)则称αα2…,α为标准正交向量组。若s=n，称α,α2,…,α为Rn的标准正交基例如,向量组 }=(1,0,0),82=(0,1,0),8;=(0,0,1)及), α; =(0, αi =(1,0,0), α2 =(0,都是R3的标准正交基
定义6 设 1 ,2 , ,s 是 n 维向量空间 Rn 的正交向量组，且 1 (i 1,2, ,s) i 则称 1 ,2 , ,s 为标准正交向量组。若 s n ，称 1 ,2 , ,n 为 Rn 的标准正交基。 例如，向量组 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1) 及 ) 2 1 , 2 1 ), (0, 2 1 , 2 1 (1,0,0), (0, 1 2 3 都是R3 的标准正交基
三、施密特正交化方法线性无关向量组不一定是正交向量组，但可以正交化先考虑由α1,α2,α,组成的线性无关组，寻找与之等价的正交向量组β,β2,β(α2, β)令β,=α，β,=α,+kβ，为使(β2,β)=0，得k=(βi,β)(α2,β)即β, = α2B(βi,β))(αg,β,)(α3,β,)令β,=α+k,β+,β2,为使(β,β)=0,(β,β)=0,得k,=(β2,β,)(βr,β)(αg,β,)(α,β,)B.β,=α3即 3(βi,β)(β2,β2)则β,βB2β，两两正交
三、施密特正交化方法 1 2 3 先考虑由 , , 组成的线性无关组 ，寻找与之等价的正交向量组 线性无关向量组不一定是正交向量组，但可以正交化。 1 2 3 , , 令 1 1，2 2 k1 ，为使 (2 ,1 ) 0 ，得 ( , ) ( , ) 1 1 2 1 k 即 1 1 1 2 1 2 2 ( , ) ( , ) 令 3 3 k1 1 k2 2 ，为使 (3 ,1 ) 0, (3 ,2 ) 0 ，得 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 3 2 2 1 1 3 1 1 k ，k 即 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 3 则 , , 两两正交
一般地，把线性无关向量组α,α2，α。化为与之等价的标准正交向量组的施密特正交化过程如下：β, = αi第一步，先正交化aB.β, =α2(β,β)(α3,β,)(α3,β,β, =α3B(β1,β,)(β2,β2)(αs,β)(αs,β2(αs,βs-1)β,=αsB(βi,β)(β2, β2)(βs-1,βs-L)第二步，再单位化(i=12,.",s)1β,则Y1,2…,，是一组与α,α2,…,α，等价的标准正交向量组
一般地，把线性无关向量组 1 ,2 , ,s 化为与之等价的标准正交向量组的 施密特正交化过程如下： 第一步，先正交化 1 1 1 2 1 2 2 ( , ) ( , ) 1 1 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) -1 -1 -1 s -1 2 2 2 s 2 1 1 1 s 1 s ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) s s s s s 第二步，再单位化 , ( 1,2, , ) 1 i s i i i 则 1 , 2 , , s 是一组与 1 ,2 , ,s 等价的标准正交向量组