《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第一章 矩阵及其初等变换 1-2 高斯消元法和矩阵的初等变换

1-2高斯消元法与矩车的初等变换一、高斯消元法二、矩阵的初等变换三、初等矩阵

1-2 高斯消元法与矩阵的初等变换 一、高斯消元法 二、矩阵的初等变换 三、初等矩阵

一、高斯消元法[3x, - x +5x3 =31引例X - x2 +2x =1用消元法解线性方程组X-2x2—X3=2③X -2x2 - x = 2X -2x2 - x = 2Xi-2x2 - x =2③-5②②-1X2 +3x3 = -1X - x+2x =1X, +3x, =-1③-305x2 +8x, =-3-7x, = 23x-X2+5x=310x =7X-2x- x= 21方程组的解为X2 +3x = -1X2 =722X3 =7X3=7

一、高斯消元法 引例 用消元法解线性方程组               2 2 2 1 3 5 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x ① ② ③               3 5 3 2 1 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x ①←→③ ②-① ③-3①               5 8 3 3 1 2 2 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x              7 2 3 1 2 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x ③-5② ③         7 1                7 2 3 1 2 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 方程组的解为               7 2 7 1 7 10 3 2 1 x x x

?X+3x2+4x=0再看一例22x +5x2 + 9x =03x, +7x2 +14x = 0X2- Xg= 04X+3x2+4x=0X+3x2+4x3=01+3x2+4x=0②-2@③-2@-X+ =0-X+ X= 0X2-x=0@-30④+②0=0-2x +2x, = 00=0X2- x=0X, =-7xX2=X3

再看一例             0 3 7 14 0 2 5 9 0 3 4 0 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x ①②③④ ② - 2 ① ③ - 3 ①             0 2 2 0 0 3 4 0 2 3 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x ③ - 2 ② ④ + ②         0 0 0 0 0 3 4 0 2 3 1 2 3 x x x x x       0 3 4 0 2 3 1 2 3 x x x x x    2 3 1 3 7 x x x x

ax+ai2x+...+anx,=b线性方程组的初等变换a2ixj+a22x2+...+a2nx,=b,amXj+am2X2+...+ammx,=b线性方程组的消元法，把方程组化为同解方程组，变换可归结为以下三种形式（1）交换两个方程的位置；（2）用一个非零常数乘某个方程；（3）用一个非零常数乘某个方程然后加到另一个方程

线性方程组的消元法，把方程组化为同解方程组，变换可归结为以下三种形式： （1）交换两个方程的位置； （2）用一个非零常数乘某个方程； （3）用一个非零常数乘某个方程然后加到另一个方程。 线性方程组的初等变换                    m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1

3x-X2+5x3=3X - x2 +2x; =1X-2x2 - g=2(33)5-1(122(12-2-1-2-1-11-2-r+r112033-1215r, +r0111-1-1-1rr-3r+r30(152,-2(3508-3)(0-7-12)-11210101-20C7XI=77-2-1213r+r1010131-12r, +1177r+rX2=27020120700277X3=7

              2 2 2 1 3 5 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x               1 2 1 2 1 1 2 1 3 1 5 3               7 2 7 1 7 10 3 2 1 x x x                3 1 5 3 1 1 2 1 1 2 1 2 1 3 r r                   0 5 8 3 0 1 3 1 1 2 1 2 3 1 3 1 2 r r r r                 0 0 7 2 0 1 3 1 1 2 1 2 5 2 3 r r                  7 2 0 0 1 0 1 3 1 1 2 1 2 7 1 3 r                       7 2 0 0 1 7 1 0 1 0 7 12 1 2 0 3 3 1 3 2 r r r r                    7 2 0 0 1 7 1 0 1 0 7 10 1 0 0 2 2 1 r r

二、矩阵的初等变换定义1矩阵的行（列）初等变换（1）交换两行（列）的位置；（2）用一个非零数乘某一行（列）的所有元素；（3）用一个非零数乘某一行（列）的所有元素然后加到另一行（列）。rαrj，k,kr+r简记为：行变换列变换C,<>Cj,kc,kc,+Cj

二、矩阵的初等变换 定义1 矩阵的行（列）初等变换 （1）交换两行（列）的位置； （2）用一个非零数乘某一行（列）的所有元素； （3）用一个非零数乘某一行（列）的所有元素然后加到另一行（列）。 i j i i j 简记为：行变换 r  r , kr, kr  r 列变换 i j i i j c c , k c , k c  c

x+3x2+4x=02x +5x2 + 9x,=03x +7x2 +14xg = 0x=0X2-4 133414(1413301-1925110-10-1-2r +r200000014 33r, + r3027-2r2 +r400)0(0(01(000-1)1-1)(107[x =-7k01-13rz +rx=k000(g=k(000J

                  0 3 7 14 0 2 5 9 0 3 4 0 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x               0 1 1 3 7 14 2 5 9 1 3 4                      0 1 1 0 2 2 0 1 1 1 3 4 3 2 1 3 1 2 r r r r                   0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 3 4 2 2 4 2 3 r r r r                 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 3 4 2 r                  0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 7 3 2 1 r r          x k x k x k 3 2 1 7

行阶梯形矩阵行最简形矩阵102-173-1200-727对于一般的线性方程组，AX=b，通过消元法，即对其增广矩阵做三种行初等变换，可将其化为行最简形矩阵，从而进一步讨论方程组解的情况

              0 0 7 2 0 1 3 1 1 2 1 2                   7 2 0 0 1 7 1 0 1 0 7 10 1 0 0 行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 对于一般的线性方程组 ，通过消元法，即对其增广矩阵做三种行初等 变换，可将其化为行最简形矩阵，从而进一步讨论方程组解的情况。 AX  b

001d.Cir+1CAn当di±0时，方程组AX=b无解;010..:C2nC2r+1：..d,0001Crr+1CrrA =(A,b) -0dr+当 d=0时，方程组 AX=b的解000000有以下两种情形：x =d,.000000：(1)r=n 时,有唯一解:Jx2=d,xn=d,(2）r<n时，有无穷多个解，X1，X2",X，为基本未知量，Xr+1Xr+2…x,为自由未知量

A  (A,b)                                0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1                                r r r r n r r n r n d c c d c c d c c d 当 dr1  0 时，方程组 AX  b 无解； 当 时，方程组 的解 有以下两种情形： dr1  0 AX  b (1) r  n 时，有唯一解：           n dn x x d x d  2 2 1 1 (2) r  n 时，有无穷多个解， r x , x , , x 1 2  为基本未知量， xr1 , xr2 ,  , xn 为自由未知量

定理1设n元非齐次线性方程组AX=b对其增广矩阵做行初等变换，化为行最简形矩阵，若d≠0，则方程组无解；若dr+=0，则方程组有解，且当r=n时有唯一解，当r<n时，有无穷多个解。定理2设m个n元方程构成的齐次线性方程组AX=0一定有零解（平凡解），若m<n则方程组一定有非零解

矩阵，若 dr1  0 ，则方程组无解；若 ，则方程组有解，且当 时有唯 AX  b r  n 一解，当 r  n 时，有无穷多个解。 定理1 设 n 元非齐次线性方程组 ,对其增广矩阵做行初等变换，化为行最简形 dr1  0 定理2 设 m 个 n 元方程构成的齐次线性方程组 AX  0 一定有零解（平凡解），若 m  n ，则方程组一定有非零解