《线性代数》课程教学资源（讲稿B，高教版）第四章 特征值与特征向量 4-1 特征值与特征向量的概念与计算

第四章特征值与特征向量4-1 特征值与特征向量的概念与计算4-2 矩阵的相似对角化4-3n维向量空间的正交性4-3 实对称矩阵的相似对角化

第四章 特征值与特征向量 4-1 特征值与特征向量的概念与计算 4-2 矩阵的相似对角化 4-3 n 维向量空间的正交性 4-3 实对称矩阵的相似对角化

引入)(69)0)-(9)-2(9)计算Aα=Nα0矩阵表示一个压缩变换，它把下图中的正方形沿x轴压缩为原来的一半，02向量变换后分别与它们的原像共线0y3-1120O

引入 计算                 0 1 2 1 0 1 0                 1 0 2 1 0 1 0         0 1 1                  1 0 2 1 2 1 0         2 1 0 1 0 矩阵 表示一个压缩变换，它把下图中的正方形沿 x 轴压缩为原来的一半， 向量   变换后分别与它们的原像共线。               1 0 0 1 、 A  

5a探究给定矩阵A=如何寻找非零向量量α及常数，使得Aα=α？CXAx,x要使例如 A=设非零向量α0(X2)[3x -2x2=2x[(3-)x -2x2 = 0只要即= Nx2X - 2x2 = 0X-23-元则有=0，即2-3元+2=0，得几=1, 21-元1[2x -2x2 = 0当=1时,得α=k1( X-x=02[x -2x =0当=2时，得α=k1[x -2x2 =0

探究 1 0 3 2          A           c d a b 给定矩阵 A ，如何寻找非零向量  及常数  ，使得 A   ？ 例如 ，设非零向量 ，要使          2 1 x x                                   2 1 2 1 2 1 1 0 3 2 x x x x x x    只要 ，即       1 2 1 2 1 3 2 x x x x x           0 (3 ) 2 0 1 2 1 2 x x x x   则有 0 ，即 ，得 1 3 2       3 2 0 2       1， 2 当  1 时， 得        0 2 2 0 1 2 1 2 x x x x          1 1 1  k 当   2 时， 得        2 0 2 0 1 2 1 2 x x x x          1 2 2  k

探究给定矩阵A：如何寻找非零向量α及常数a，使得Aα=α？矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用，如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域中方阵的对角化、微分方程的求解、线性方程组的迭代求解等

探究          c d a b 给定矩阵 A ，如何寻找非零向量  及常数  ，使得 A   ？ 矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用，如工程技术领域中的 振动问题和稳定性问题，数学领域中方阵的对角化、微分方程的求解、线性方 程组的迭代求解等

4-1特征值与特征向量的概念与计算定义1设A是n阶方阵，若存在常数及非零向量α，使得Aα=Nα则称2为方阵A的一个特征值，α为方阵A对应特征值α的一个特征向量注1°只对方阵考虑特征值，其特征向量是非零向量；2°若α是方阵A对应特征值2的一个特征向量，则kα也是A对应特征值2的特征向量（k≠0）A(kα)=k(Aα)= k(α)= a(kα)3°若αα..,α是A对应特征值的特征向量，则kα+kαz+.+kα,也是A对应特征值元的特征向量

4-1 特征值与特征向量的概念与计算 定义1 则称 为方阵 的一个特征值， 为方阵 对应特征值 的一个特征向量。 A   设 A 是 n 阶方阵，若存在常数  及非零向量  ，使得  A  A  注 1° 只对方阵考虑特征值，其特征向量是非零向量； 2° 若 是方阵 对应特征值 的一个特征向量，则 也是 对应特征值 的特征向量  A  k A  (k  0) A(k)  k(A)  k()  (k) 3° 若 是 对应特征值 的特征向量，则 也 是 对应特征值 的特征向量。 1 ,2 ,  ,r A  1 1 2 2 r r k  k   k  A 

定义2设V，是n阶方阵A对应特征值2的全部特征向量及零向量组成的集合，即V,=(αAα=Nα; eC,αeC")V，对加法及数乘运算封闭，构成线性空间，称为A的特征子空间。思考：如何求解矩阵的特征值与特征向量？Aα=α α-Aα=0(αI -A)α=0构造齐次线性方程组(aI-A)X=01°((I-A)X=0 的非零解即为 A的特征向量;2°(aI-A)X=0 的解空间即为 A的特征子空间，dimV,=n-R(aI-A)(aI-A)X=0 有非零解一→系数行列式等于零;3°4°αI－A=0（特征方程）的根为A的特征值（可以有重根）

定义2   n V   A  ;  C, C 设 V 是 n 阶方阵 A 对应特征值  的全部特征向量及零向量组成的集合，即 V 对加法及数乘运算封闭，构成线性空间，称为 A 的特征子空间。 A     A  0  (I  A)  0 1° 的非零解即为 的特征向量； (I  A)X  0 2° (I  A)X  0 的解空间即为 的特征子空间， 3° (I  A)X  0 有非零解 系数行列式等于零； 思考：如何求解矩阵的特征值与特征向量？ 构造齐次线性方程组 (I  A)X  0 4° I  A  0 （特征方程）的根为 的特征值 （可以有重根）。 A A A dimV  n  R(I  A) 

求矩阵的特征值与特征向量的步骤：第一步：解方程I-A=0，求出A的特征值 ,,,;第二步：对每个特征值，，求齐次方程组（,I-A)X=0的一个基础解系，αi,α2,,αs，可得A对应特征值,的全部特征向量：(ki,kz，,k不全为零）kaf+k,az+...+k,αs

求矩阵的特征值与特征向量的步骤： 第一步：解方程 I  A  0 ，求出 的特征值 1 ,2 ,n ； 第二步：对每个特征值 i ，求齐次方程组 (i I  A)X  0 的一个基础解系， A 1 ,2 ,s ，可得 A 对应特征值 i 的全部特征向量： ( , , , ) k1 1  k2 2  ks s k1 k2  ks 不全为零

3例1求矩阵A的特征值与特征向量3-11元-3解：-A 的特征值为 :2 =2,2=4(2-2)(1-4)11-1对于 =2，齐次方程组（I-A)X=0的系数矩阵0基础解系 α(k ±0)可得A对应特征值2的全部特征向量：kα1对于 =4，齐次方程组（I-A)X=0的系数矩阵01基础解系α2，可得A对应特征值4的全部特征向量：kzα2（k￥0)

例1 求矩阵 的特征值与特征向量.            1 3 3 1 A 解： ( 2)( 4) 1 3 3 1            I A A 的特征值为： 1  2,2  4 对于 1  2 ，齐次方程组 (1 I  A)X  0 的系数矩阵           1 1 1 1           0 0 1 1 基础解系   ，        1 1 1 可得 A 对应特征值 2 的全部特征向量： 对于 2  4 ，齐次方程组 (2 I  A)X  0 的系数矩阵         1 1 1 1          0 0 1 1 基础解系   ，         1 1 2 可得 A 对应特征值 4 的全部特征向量： ( 0) k1 1 k1  ( 0) k2 2 k2 

-211例2 求矩阵 A=020的特征值与特征向量3(-41-11元+2-100=(+1)(-2) A 的特征值为 : =-1, = =2解:2-A=1-24-1元-3-1 -1(1 0-110100-30对于=-1,齐次方程组（I-A)X=0的系数矩阵→004-1 -40，可得A对应特征值-1的全部特征向量：k,α（k,≠0)基础解系α

例2 求矩阵 的特征值与特征向量.              4 1 3 0 2 0 2 1 1 A 解： 2 ( 1)( 2) 4 1 3 0 2 0 2 1 1                 I A A 的特征值为： 1  1,2  3  2 对于 1  1 ，齐次方程组 (1 I  A)X  0 的系数矩阵                4 1 4 0 3 0 1 1 1 基础解系 ，            1 0 1 1 可得 A 对应特征值 1 的全部特征向量： ( 0) k1 1 k1              0 0 0 0 1 0 1 0 1

1-21020例2 求矩阵 A=的特征值与特征向量3-41(4-1-14-1-1对于==2，齐次方程组（I-A)X=0的系数矩阵000000→0(004 -1 -1可得A对应特征值2的全部特征向量：基础解系α,Q304 k,αz+k,α(kz,k,不全为零)

例2 求矩阵 的特征值与特征向量.              4 1 3 0 2 0 2 1 1 A 对于 2  3  2 ，齐次方程组 (I  A)X  0 的系数矩阵               4 1 1 0 0 0 4 1 1 基础解系 ，                       4 0 1 , 0 4 1  2 3 可得 A 对应特征值 2 的全部特征向量：              0 0 0 0 0 0 4 1 1 ( , ) k2 2  k3 3 k2 k3 不全为零