试卷代号：1012 座位号口 中央广播电视大学2008一2009学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷） 计算机数学基础(2)试题 2009年1月 题 号 二 三 总 分 分 数 得分 评卷人 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.数值x·=2.197224577…的六位有效数字的近似值x=(). A.2.197225 B.2.19723 C.2.19720 D.2.19722 2.当线性方程组AX=b的系数矩阵A是( )时，用列主元消去法解AX=b,A的主对 角线的元素一定是主元 A.上三角形矩阵 B.主对角线元素不为0的矩阵 C.对称且严格对角占优矩阵 D.正定对称矩阵 3.以下命题正确的是() A.过n十】个互异节点的牛顿插值多项式最高次幕的系数为f(xo,x1,…,xn)(此项 不为0时)》 4点(x0,为)，(x1,为)，…，(xy)(n>3),则均差f(x,,x)≠f八4x） 艹占的拉格朗日插值多项式一定是”次多项式 个子区间上是不超过3次的多项式 79
试卷代号:1012 座位号口二} 中央广播电视大学2008-2009学年度第一学期“开放本科”期末考试(半开卷) 计算机数学基础(2) 试题 2009年 1月 题 号 ,L 分 分 数 得 分 评卷人 一、单项选择题(每小题 4分，共 20分) .数值 x' =2. 197224577…的六位有效数字的近似值x= A. 2. 197225 B. 2. 19723 C. 2. 19720 D. 2. 19722 2.当线性方程组AX=b的系数矩阵A是( )时，用列主元消去法解 AX=b,A的主对 角线 的元素一定是主元. A.上三角形矩阵 B.主对角线元素不为 。的矩阵 C.对称且严格对角 占优矩阵 D.正定对称矩阵 3.以下命题正确的是( A。过 n十1个互异节点的牛顿插值多项式最高次幂的系数为f(xo,xl,- ,x)(此项 不为 0时) -'Vxo,yo),(二，,y,),...,(二，，，。)(?i>3)，则均差 f(xa,xo,xa):X} f(:z'4,xo,x 一 占的拉格朗 日插值多项式一定是 n次多项式 个子区间上是不超过 3次的多项式
4.用高斯一勒让德求积公式计算定积分 」。cosdr使其具有？次代数精度，那么应取 )个节点. A.2 B.3 C.4 D.5 5.通过曲线f(x)上的点(x4-1,f(x-1)和(x4,f(x))的直线与x轴交点的横坐标 是()，就是弦截法解方程f(x)=0的根的迭代公式 f(x) A五+fc)=x)--） f(x4) B.fz=-（x-4-） f(x:) Cfx+jx4-)-4) f(x) D.fx=fx,-） 得分 评卷人 二、填空题（每小题4分，共20分） 6.用四舍五人的方法得到近似值x=0.0514,那么x的相对误差限为 「1 0.750.75 7.设线性方程组AX=b的系数矩阵为A= 0.75 1 0.75 ,那么雅可比迭代矩阵 L0.750.75 1 B。= 8.已知函数f(0.4)=0.411,f(0.5)=0.578,f(0.6)=0.697,用此函数表作牛顿插值多. 项式，那么插值多项式x2的系数是 9.已知函数f(x)在x=0,0.5处的函数值f(0)=1和f(0.5)=1.20,那么f(1)≈ 10.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，若满足 ,则方程f(z 区间[0,1]一定有实根. 80
4.用高斯一勒让德求积公式计算定积分卫cosdx使其具有7次代数精度，那么应取 )个节点. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5.通过曲线 f (x)上的点(xk一，,f(xk-1))和(xk,f(xk))的直线与 x轴交点的横坐标 是( )，就是弦截法解方程 f(x)二0的根 的迭代公 式. A. xk+不f(x; k )f-(xfk()xk_,)(。一二一) C. xk-不f(xk )f+(xfk)(xk-1)(x;一 ， B. x;一 f(xk) f(xk)一f(xk-t) (x;一x。一，) 。u. __U k_一~下丁-一-f.代(1 尸 x一k州一)下7下7- 寸\ ，xk一 xk一1) J k xk一I)一 Jlxk) 得 分 评卷人 二、填空题(每小题 4分，共 20分) 6.用四舍五人的方法得到近似值 二“0.0514，那么 x的相对误差限为 7. ······AX=b···一 L0. 0.75 0.75 75 1 0. 75 75 0.75 1 !，那二可比‘代‘阵 8.已知函数f(0. 4)=0. 411, f(0. 5)00. 578, f(0. 6)=0. 697，用此函数表作牛顿插值多 项式，那么插值多项式 x2的系数是 9.已知函数f (x)在x=0,0.5处的函数值f(0)二1和f<0.5)二1.20，那么厂(1) - 10.设函数 f (x)在区间[0,1〕上连续，若满足 ，则方程 f(二 区间〔0,1〕一定有实根. 80
得分 评卷人 三、计算题（每小题15分，共60分） 2x1+3x2+5xg=5 11.用列主元消去法解线性方程组3x1十4x2+7x=6(计算过程保留3位小数) x1+3x2十3x3=5 12.已知数据表 Tk 10 11 12 13 f(x) 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数).并回答用线性插值计算 f(11.75),应取哪两个点更好？ 13.将区间[1,9]作8等分，试用复化梯形公式求积分 ∫八6x-dx的近似值.保留4位 小数. 14.用弦截法求方程x一sinx一0.5=0在[1.4,1.6]之间的一个近似根，满足 |x+1一xk|≤0.01.保留4位小数. 81
得 分 评卷人 三 、计算题(每小题 15分.共 60分) (2x, +3x2 -1-5x3一5 ‘”用列主元“去法解线”方程组{ l x3x 1 ,十十 3 ‘xx 2 一+ + 3x7x 3 3 == 5 6‘计算过程保留3位‘ 、数’ 12.已知数据表 x几 10 11 12 13 f(xk) 2. 3026 2. 3979 2.4849 2. 5649 试用 二次插值计 算 f (11. 75)(计算过程保留 4位小数).并 回答用线性插值计算 f(11. 75)，应取哪两个点更好? 13·将区间〔1,9〕作8等分，试用复化梯形公式求积分丁:二 dx的近似值保留4位 小数. 14.用弦截法求 方程 x-sinx-0.5=。在 [1.4, 1. 6〕之 间 的一个 近似根，满足 I xk+1 -xk I <0. 01.保留 4位小数
试卷代号：1012 中央广播电视大学2008一2009学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷） 计算机数学基础(2)试题答案及评分标准 (供参考) 2009年1月 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.D 2.C 3.A 4.C 5.B 二、填空题（每小题4分，共20分） 6.0.001 -0.75-0.75 7.-0.75 0 -0.75 L-0.75-0.75 8.-2.4 9.0.4 10.f(0)f(1) 3 7 0> +00.333 0.3331 +0 1.6670.667 3 L01.6670.6673 00.3330.333 1 「3 4 7 6 +01.6670.667 3 (9分) LO 0 0.2000.401」 xg=2.005,x2=(3-0.667×2.005)/1.667=0.997 (13分) 82
试卷代号:1012 中央广播电视大学2008-2009学年度第一学期“开放本科”期末考试(半开卷) 计算机数学基础(2) 试题答案及评分标准 (供参考) 2009年 1月 一、单项选择题(每小题 4分，共 20分) 1. D 2. C 3. A 4. C 5.B 二、填空题(每小题 4分，共 20分} ﹁1 ! 1 苦es eses es J 亡 J 阳勺 ︻了 门了 6. 0.001 「 0 一0.75 一0. 7. 1一0.75 0 一0. L-0. 75 一0. 75 0 8.一 2.4 9. 0.4 10. f(0) f(1)<0 三、计算题 (每小题 15分，共 60分) 干 I les esJ 丹﹄U l从J LO 尸3 5 5]尸‘7 “·W :LA .b」一1 L 3 l ‘ 3 7 3 6 5J 1 一i L 2 l 3 3 5 3 门 | 伙 四 |卜田 t 门 lse 一 .J 7 6 7 6 0.333 0.333 1.667 0.667 1. 667 0. 0. 333 0. 667 刁 333 { | | | | 州 -一 门 月了 六b Cj J任 内0 . 八6 4 1. 667 0.667 200 0 (9分 ) 邝 1| 山 厂 | 山 邝 | 以 四 | 山 一 t x, =2. 005,x2=(3一0. 667X2. 005)/1. 0.997 (13分) 82
x1=(6-7×2.005-4×0.997)/3=-4.008 原方程组的解X=(-4.008,0.997,2.005)T (15分) 12.解：因为11.75更接近12，故应取11,12,13三点作二次插值. P,(x)=x-12)x-132×2.3979-x-11)(x-13)×2.4849 2 +x-11)(x-122×2.5649 2 (6分) f(11.75)≈P,(1.75)=.75-12)11.75-132×2.3979 2 -11.75-11D11.75-132×2.4849+11.75-11D11.75-122×2.5649 1 =2.4638 (12分) 若用线性插值，应取x=11,x=12作线性插值合适. (15分) 注：若取x=10,11,12三点作插值计算正确，可得9分，若计算有误，可适当扣分. 13.解：计算列表 k Tk f(xk)=√6x-5 0 1 1.0000 1 2 2.6458 2 3 3.6056 3 4 4.3589 4 5 5.0000 5 6 5.5678 6 7 6.0828 7 8 6.5574 8 9 7.0000 (7分) h=1,用复化梯形公式 6-5d=含[)+fa)+22,小 (10分) 83
x,“(6一7X2. 005一4X0. 997)/3=一4. 008 原方程组的解 X=(-4. 008,0. 997,2.005)T. 12.解 :因为 11. 75更接近 12，故应取 11,12,13三点作二次插值. (15分 ) P, (x)一(x-12)2(x-13) X2. 3979一(x-11) 1 (x-13) X2. 4849 。(x-11)(x一12)、_ __._ .下 — 入 乙.5(i49 乙 (6分 ) f(11.75)tiP,(11. 75)_(11. 75一12) (11. 75一13) 2 X2. 3979 _(11. 75一11)(11. 75一13) 1 X 2 AnIA，(11. 75一11) (11. 75一12) 任“任”下— 一2一一一— X2. 5649 =2. 4638 (12分) 若用线性插值，应取 二=11，x=12作线性插值合适. (15分) 注:若取x=10,11,12三点作插值计算正确，可得 9分，若计算有误，可适当扣分. 13.解:计算列表 k } xk f (xk)二V-6 x-5 0 1 1.0000 1 2 2. 6458 2 3 3. 6056 3 4 4. 3589 4 5 5.0000 5 6 5. 5678 6 7 6. 0828 7.0000 (7分 ) h=1，用复化梯形公式 {:,/6x一5 dx-2If(xo)+，(一)+2客.f ( xk)〕 (10分 ) 83
=2×[1+7+2(2.6458+3.6056+4.3589+5.000+5.5678+6.0828+6.574] =37.8183 (15分) 14.解：设f(x)=x-sinx-0.5,取x0=1.4,x1=1.6,由f(1.4)=-0.08550,故f(x)=0在[1.4,1.6]内有根. (3分) 弦截法的公式为： f(x.） x+1=x.fx=fz-x.-五）（n=1,2.…) (6分) 于是，代人函数f(x),本题有迭代公式 n-sinx-0.5 x+l=工，一x。-x,-l-sinx,十sin-i (x,-xn-1） 1.6-sinl.6-0.5 x=1.6-1.6-4-9im:6+sinl.41.6-1.4)=1.4919 |x2一x1|=0.1081,不满足精度要求. (10分) 当n=2时， 1.4919-sin1.4919-0.5 =1.4919-1.4919-.6-sin.4919十sinl.61.4919-1.6)=1.4970 1x3一x2|=0.0051,满足精度要求. 所求方程的解为x·1.4970 (15分) 84
一冬 乙 X [1+7+2(2. 6458+3. 6056+4. 3589斗一5. 0000+5. 5678+6. 0828+6. 5574)]一 =37. 8183 14.解:设 f(x)=x一sinx一0. 0. 1004>0，故 f(x)=0在[1.4， 弦截法的公式为 : (15分) 5，取xo=1.4,x,=1. 6，由f(1. 4)=一0. 0855<0, f(1. 6) . 6]内有根. (3分) 工.+1 x 一 f(x) .下7r戈一一.下厂一一一戈 、工，一 x，一1， ,/ k x 一 Jkx。一I， (n= 1，2，… (6分) 于是，代人函数 f (x)，本题有迭代公式 x。一sinx，一0.5 x +} x 一 x，一x，一I一sinx，十sinx。一I (x，一x二一1) x2=1.6一 1. 6一 sinl. 6一0. 5 二-下尸-，二一丁---，-二- .U .b一 1.4)= l. 0 - l.任 — sin s. 匕 -r sin s. 4 4919 I x2 -XI}=0. 1081，不满足精度要求. 当n=2时， 1. 4919一 sinl. 4919一 0. 5 x,=1.4919一下刃云长二 于下二 共兰;二派诀 .书岑=-二(1.4919一 1. 6)= 1.4970 一J 一’‘一 1. 4919一1. 6一sinl. 4919+sinl. 6\‘·’。占。 上·V· 1·丁。。· 险3 -x2}一0.0051，满足精度要求. 所求方程的解为 x"、 1. 4970 (10分 ) (15分) 84