32复频域分析法 321复频域中的网络函数 线性常系数微分方程描述线性时不变系统 a +●·●+a1 a dx b ,-+6x dt 将时间的函数变换成复频率s=σ+ju的函数进行拉普拉斯 变换: X, (s=L[x, (]=x,(e"dt Xo(s)=L[xo(o]=x(cesdt
3.2 复频域分析法 3.2.1 复频域中的网络函数 i i m i m m o o n o n n n o n n b x dt dx b dt d x b a x dt dx a dt d x a dt d x a 1 0 1 1 0 1 1 = + • • • + + + + • • • + + − − − 线性常系数微分方程描述线性时不变系统： 将时间t的函数变换成复频率s=σ+jω的函数进行拉普拉斯 变换： X s L x t x t e dt X s L x t x t e dt st o o o st i i i − − = = = = 0 0 ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] ( )
系统的复频域网络函数H(s): H()X(s)Lro(t) X1(s)[[x1(m) 系统初始状态为零 微分方程(32.1)变换成代数方程式: X(s)ans"+an1s+···+a1S+ao] X,(bnS"+/a°·+b+b 得:H(s) X(s)bsm+bn,sm1+···+b,S+b X1(s)anS"+an1S"+··+a1S+a S-2 因式分解后:H(s)=K (S-=1)s-=2)··(S-m K (S-p1)(S-p2)···(S-Pn) j=1
系统的复频域网络函数H(s)： | 系统初始状态为零 [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) L x t L x t X s X s H s i o i o = = 微分方程（3.2.1）变换成代数方程式： ( )[ ] ( )[ ] 1 0 1 1 1 0 1 1 X s b s b s b s b X s a s a s a s a m m m i m n n n o n = + + • • • + + + + • • • + + − − − − 得： 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) a s a s a s a b s b s b s b X s X s H s n n n n m m m m i o + + • • • + + + + • • • + + = = − − − − 因式分解后： ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 j n j i m i n m s p s z K s p s p s p s z s z s z H s K − − = − − • • • − − − • • • − = = =
322复频率s=0+ju的物理意义 非等幅正弦电流可写成: i(t)=Im lexp(ot llexp( jat )]=Im exp(o+jat)=Im exp( st) 复频率s的实部σ表示电流幅度的变化规律,虚部j表示电流 的角频率。 i(e) (b) (c) 图3.2.1 +ja,a与a的物理意 (a)o>0,w70,i(t)=Imexpst, (b)0<0, w40.i(t)=I, expat; (c)a=0,c≠0,i(t)=lms
3.2.2 复频率s=σ+jω的物理意义 i(t) I [exp( t)][exp( j t)] I exp( j t) I exp(st) = m = m + = m 非等幅正弦电流可写成： 复频率s的实部σ表示电流幅度的变化规律，虚部jω表示电流 的角频率
i (t) (b) (c) 图322s=a的物理意义 (a)a>0,a=0;(b)a<0,a=0;(c)a=0,a=
323网络函数的零点、极点和零极图 由式326可知,分子有理多项式的根Z1使H(S=0称为零点 分母有理多项式的根P使HS为无穷大,称为板点。 将零点、极点显示在平面—复平面上,称为H(s)的极点 零点图,简称零极图 设某系统的网络函数是: H(S)=K s(S+2) (S+O(S+25O,S+@4) s(S+0 (s+o[s-(5a,+jon 1-5)I[s-(5o,-jon 1-52)
3.2.3 网络函数的零点、极点和零极图 由式3.2.6可知，分子有理多项式的根 Zi 使H(S)=0 称为零点 分母有理多项式的根 Pj 使H(S)为无穷大，称为极点。 将零点、极点显示在s平面——复平面上，称为H(s)的极点 －零点图，简称零极图 设某系统的网络函数是： ( )[ ( 1 )][ ( 1 )] ( ) ( )( 2 ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 + − − + − − − − − + = + + + + = n n n n n n s s j s j s s s s s s s H s K
零极图为 省零点 ×”极点 ξa+j√1-1 p1=-0121=-0 Sw,janV1-52 图323零极图
零极图为：
零点:z1=0 Z2 极点:p1=-01 p2=(-On)+10n0y2 p3=(5am)-jOnV1
零点：z1＝0 z2＝－σ2 极点：p1 ＝－σ1 p2 = (− 2 2 p = (− n ) + jn 1− 2 p3 = (− n ) − jn 1−
324系统波特图的近似绘法 H(jo=H(oJell(o) 即:|H(0) j0--1jo-2 Jo K jo-p1to-p2·jo-pn 0(0)=1(0--1)+q2(j0-2)+···+n(j0-2n) 1(o-p1)-2(0-p2)-···-n(0-pn) 用分贝表示则: H(jo)(dB)=20gK+20g√2+z2+·+20g2+=2 20gyO2+p2-··-20gyo2+p2
3.2.4 系统波特图的近似绘法 ( ) ( ) | ( )| j H j = H j e 即： K j p j p j p j z j z j z H j n m | || | | | | || | | | | ( )| 1 2 1 2 − − • • • − − − • • • − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 n n m m j p j p j p j z j z j z − − − − − • • • − − = − + − + • • • + − 用分贝表示则： 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 20lg 20lg | ( ) |( ) 20lg 20lg 20lg n m p p H j dB K z z − + − • • • − + = + + + • • • + +
放大电路总的幅频和相频波特图等于各基本因子波特图的代数和 3241一阶极点和一阶零点 设某放大电路的中频电压增益为Am,电压增益函数Av(S)可以 表示为: S (1+ A,(s)=4+a s+o S O.(1+ P 可见一阶零点为Z1=-2,一阶极点p1=-p 令s=j则: A(0)=A(0) 其中A(0)=A (1+j-)
放大电路总的幅频和相频波特图等于各基本因子波特图的代数和 3.2.4.1 一阶极点和一阶零点 设某放大电路的中频电压增益为Avm，电压增益函数Av(S)可以 表示为： (1 ) (1 ) ( ) p p z z vm p z v vm s s A s s A s A + + = + + = 可见一阶零点为Z1＝－ωz，一阶极点p1＝－ωp 令 s＝jω 则： p z v vm p z v v A A j j A j A = + + = (0) (1 ) (1 ) ( ) (0) 其中
表示成分贝形式: A(0)(B)=20g4(0+20k,1+(0)2-20g1+( P(o=0+arctan arctan 1.常数项A0) 20lgA(0) A1(jo)|=A(0) 只(a) 0(O)=0 (6) 图3.2.5式(32.14)中A、(0)的幅频波特图和相频波特图 (a)幅频波特图;(b)相频波特图
表示成分贝形式： 2 2 | ( )|( ) 20lg (0) 20lg 1 ( ) 20lg 1 ( ) z p v dB Av A j = + + − + z p () = 0 + arctan − arctan 1. 常数项 Av (0) ( ) 0 | ( )| (0) 1 1 = = v Av A j