常徽分方程综合练习 中央电大顾静相 一、填空题 1.方程业=xany的所有常数解是. 2,若y(,3(x)是一阶找性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可肥其通解表 示为 3.方程史=ysx产的任一非零解与x结相交。 r 4,方程中=产+y2满足解的存在唯一性定理条件的区城是， dr 5方程少。-y)户满足解的存在唯一性定理条件的区城是， 6。,化)连续是保证方程史=x,川初值难一的条件. dx 7.方程组 dy =F(x,),xER,Y∈R”的任何一个解的图象是推空同中的一条积分曲 dx 线 8线性齐汝微分方程组Y =A(x)Y的一个基本解组的个数不能多于 dv 个，其中x∈R,Y∈R" 9.若y=,(),y=:(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点 10。二阶线性齐次微分方程的两个解y=织()，y=吗：(x)成为其基本解组的充要条件 是 1.方程 +ysmx=e的任一解的最大存在区间必定是， dx 12,方程少 =s功x·©sy满足解的存在唯一性定理条件的区域是。 dr 13.:阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间。 14.方程中=r产my的所有常数解是 15.方程y°+4y'+4y=0的基本解组是。 16.方程xsn)山+yc0sd=0所有常数解是
1 常微分方程综合练习 中央电大 顾静相 一、填空题 1.方程 x y x y tan d d = 的所有常数解是． 2．若 y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表 示为． 3.方程 2 sin d d y x x y = 的任一非零解与 x 轴相交． 4．方程 2 2 d d x y x y = + 满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 5.方程 2 1 2 (1 ) d d y x y = − 满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 6． f (x, y) y 连续是保证方程 ( , ) d d f x y x y = 初值唯一的条件． 7.方程组 n x x x F Y R Y R Y = ( , ), , d d 的任何一个解的图象是维空间中的一条积分曲 线. 8.线性齐次微分方程组 A Y Y ( ) d d x x = 的一个基本解组的个数不能多于 个，其中 xR， n YR ． 9．若 ( ) 1 y = x ， ( ) 2 y = x 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点． 10．二阶线性齐次微分方程的两个解 ( ) 1 y = x , ( ) 2 y = x 成为其基本解组的充要条件 是． 11．方程 x y x x y sin e d d + = 的任一解的最大存在区间必定是． 12．方程 x y x y sin cos d d = 满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 13． n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间． 14．方程 x y x y tan d d 2 = 的所有常数解是． 15．方程 y + 4y + 4y = 0 的基本解组是． 16．方程 x sin ydx + y cos xdy = 0 所有常数解是．
17。方程业。x+5知y满足解的存在唯一性定理条件的区城是。 d 18.,找性齐次微分方程组的解组Y(x),(x),,Y(x)为基本解组的条件是它们的朗撕 基行列式W(x)≠0. 19.方程少=ysx+)的任一丰零解与x轴相交 dr 20,刀阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个， 二，单项选择题 L.微分方程yh山r+(x-hy灼=0是() (A)可分离变量方程(B)线性方程 (C)全微分方程(D)具努利方程 2方程史-50≤y<0)过点0.0有0 d (A)小一个解(B)两个解(C无数个解D)三个解 3,方程心2一1)山+x2一1d0的所有常数解是()， (A)X=±lB)y=±1 (Cy=±1，x=±l(D)y=1,x=1 4.微分方程y=√y-x+2() (A)无奇解(B)一定有奇解 (C)有奇积分曲线(D)可能有奇解 5.方程业=-x+4)奇解 dx (A)无(B)有一个(C)有两个D)可能有 。方程女=V-少过点0,0的解为y-如，此解存在区间是。 W+)B)(20创C)0+)D受 7.两个不同的战性齐次微分方程组()的基本解组. (A)一定有相月B)可能有相同(C)一定有相制D)没有相同 8若.凡材≠0在《仁四，+四)上连续，那么线性非齐次方程组 。AxW+Fxhx∈R,YeR的任-一非零解0. dx (A)可以与x轴相交(B)不可以与x蛙相交 2
2 17．方程 x y x y sin d d 2 = + 满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 18．线性齐次微分方程组的解组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x Y Y Yn 为基本解组的条件是它们的朗斯 基行列式 W (x) 0 ． 19．方程 sin( ) d d y x y x y = + 的任一非零解与 x 轴相交． 20． n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个． 二、单项选择题 1．微分方程 y ln ydx + (x − ln y)dy = 0 是（） （A）可分离变量方程（B）线性方程 （C）全微分方程（D）贝努利方程 2.方程 (0 ) d d = y y x y 过点(0,0)有（）． (A)一个解(B)两个解(C)无数个解(D)三个解 3．方程 x(y 2－1)dx+y(x 2－1)dy=0 的所有常数解是（）． (A) x = 1 (B) y = 1 (C) y = 1, x = 1 (D) y = 1, x =1 4．微分方程 y = y − x + 2 （）． （A）无奇解（B）一定有奇解 （C）有奇积分曲线（D）可能有奇解 5.方程 4 d d = y − x + x y （）奇解． (A)无(B)有一个(C)有两个(D)可能有 6．方程 2 1 d d y x y = − 过点(0,0)的解为 y = sin x ，此解存在区间是（）． （A） (−, + ) （B） (−, 0] （C） [0, + ) （D） ] 2 , 2 [ − 7.两个不同的线性齐次微分方程组（）的基本解组． (A)一定有相同(B)可能有相同(C)一定有相似(D)没有相同 8. 若 A(x),F(x) ≠ 0 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 上 连 续 ， 那 么 线 性 非 齐 次 方 程 组 n x x x x A Y F R Y R Y = ( ) + ( ), , d d 的任一非零解(). （A）可以与 x 轴相交（B）不可以与 x 轴相交
(C)可以与方轴相切(D)不可以可以与x轴相韧 9.函数组g,(x),,(x)在区间a,b)上的阴斯基行列式恒为零是它们在[a,b)上线性相 关的(). (A)充分条件B色要条件C充分必要条件D)无关条件 10.方程y”+2y+y=0的非零解在x少平面上()与x轴相切. (A)可以B)不可以C原点处可以D)也许可以 山。李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的()条件. (A)必要(B)充分(C)充分必要(D)必要非克分 12方程y+y=0的任一半零解在x少平面上()与x轴横截相交. (A)可以(B)不可以 (C)只能在x=0处可以(D)只能在x=正处可以 2 13.方程y=√2-+2()奇解. (A)有一个(B)有无数个(C)只有两个(D)无 14,向量函数组厂，(x),了2(x)“,Y(x)在区间1上找性相关的(》条件是在区间I上它 们的朗斯基行列式W(x)=0, (A)充分(B)充分必要(C)必要非充分(D)必要 15.方程业=5+10奇解 d (A)有无数个(B)无(C)有一个(D)有两个 16.方程业--了过点(0.0)0， d (A)只有一个解(B)有无数个解(C)只有两个解(D)无解 7.人红》有界是方程 dx =(黑，y)初值解唯一的()条件. (A)必要(B)必要非充分(C)充分(D)充分必要 18.:阶线性套齐次微分方程的所有解(). (A)构成一个线性空间(B)构成一个刀一1淮线性空阿 (C)构成一个H+1维找性空间(D)不能构成一个线性空间 三、计算题 求下列方程的通解成通积分： 、 =ex+x）
3 （C）可以与 x 轴相切（D）不可以可以与 x 轴相切 9.函数组 ( ) 1 x ， ( ) 2 x 在区间 [a, b] 上的朗斯基行列式恒为零是它们在 [a, b] 上线性相 关的（）． (A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)无关条件 10.方程 y + 2y + xy = 0 的非零解在 xoy 平面上（）与 x 轴相切． (A)可以(B)不可以(C)原点处可以(D)也许可以 11．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件． （A）必要（B）充分（C）充分必要（D）必要非充分 12.方程 y + y = 0 的任一非零解在 xoy 平面上（）与 x 轴横截相交． （A）可以（B）不可以 （C）只能在 x = 0 处可以（D）只能在 2 x = 处可以 13．方程 2 2 2 y = y − x + （）奇解． （A）有一个（B）有无数个（C）只有两个（D）无 14．向量函数组 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x x x Y Y Yn 在区间 I 上线性相关的（）条件是在区间 I 上它 们的朗斯基行列式 W (x) = 0 ． （A）充分（B）充分必要（C）必要非充分（D）必要 15．方程 1 d d = y + x y （）奇解． （A）有无数个（B）无（C）有一个（D）有两个 16.方程 2 1 d d y x y = − 过点 (0, 0) （）． （A）只有一个解（B）有无数个解（C）只有两个解（D）无解 17． f (x, y) y 有界是方程 ( , ) d d f x y x y = 初值解唯一的（）条件． （A）必要（B）必要非充分（C）充分（D）充分必要 18． n 阶线性非齐次微分方程的所有解（）． （A）构成一个线性空间（B）构成一个 n −1 维线性空间 （C）构成一个 n +1 维线性空间（D）不能构成一个线性空间 三、计算题 求下列方程的通解或通积分： 1． e ( ) d d 3 x x x y y = + −
2 ery 3.x业=w-y dx 4.业=上+n2 dy x 或h =y4x d 6. -cosy-cosxsn'y=sn y d 2gr+广-3 dy=0 8.(x3-1-y灿+=0 9.(x'e*-y)dx+xdy=0 10.y=+y 山.y业=-y) 'dx 12业.2-心y dx xx 13.业+3y=e2 dx 14.(2-c08x灿+(x2-1)y=0 dx ey 16业-上-1 dx x 17.e'dx+(xe +2yldy =0 18.y=1+y2) 19.+y2+1-0 20.'+y2=0 21.y°+4y=3sn2x 22.y°-9y=3x2 23.y°-3y=e9
4 2 . x y xy + = e dd 3 ． 2 2 dd xy y xy x = − 4 . xy xy xy tan dd = + 5 . 5 dd y xy xy = + 6 ． y x y y xy cos cos sin sin dd 2 − = 7 ． d 0 3 d 2 4 2 2 3 = − + y y y x x yx 8 ． ( 1 ) d d 0 2 x − − y x + x y = 9 ． ( e ) d d 0 2 x − y x + x y = x 10 ． 3 y = xy + ( y ) 1 1 . ( 1 ) dd 2 x y xy y = − 1 2 . 2 ( ) dd xy xy xy = − 1 3 . x y xy 2 3 e dd + = 14 ． ( 2 cos ) d ( 1)d 0 2 xy − x x + x − y = 1 5 . x y xy − = e dd 1 6 . 1 dd − = xy xy 1 7 . e dx + ( x e + 2 y ) dy = 0 y y 18 ． ln(1 ) 2 y = + y 19 ． 1 0 2 yy + y + = 20 ． ( ) 0 2 yy + y = 21 ． y + 4 y = 3sin 2 x 22 ． 2 y − 9 y = 3 x 23 ． x y y 5 − 3 = e
24.y°+4y=c0s2x 倍y 25. 2x+y dr dx =2x+y 26. d y=3x+4切 d =3y 27, dy =2x-y d -x+y 28. d 业 d =-2x+3y 四、正明题 1.试证明：对任意x。及满足条件0<。<1的。，方程 业。，-》 dx 1+x+y 的满足条件x)■片的解y=川x)在(-四，+∞)上存在， 2.假设y(x),另：(x)是方程y'+p武x)y'+gxy=0定文在(a,b)上的解，其中p(x) gx)在(a,b)上连线，证明：如果y(x),片(x)均在e(a,b)点取局部极值，则y() 片，(x)在(a,b例上不能构成方程的基本解组 3.设f)在0，+)上连接，且m/)=0,求证：方程业+y=)的任意解 dx y-x)均有)=0 4.假设例(x)在(-，+o)上连续，且在该区间上(x)<0,求证：方程 。()s中y的所有解的存在区间为(-西+)，且是单调不增或单调不碱质数， dx 3.若()在(-边，+∞)上连续可微，且当“≠0时，()<0，求证方程 d dr ■XC0)的任一解y=x)均在(-，+)上存在，且当x)是半常值解时，那么
5 24． y + 4y = cos 2x 25． = + = x y t y y t x 2 d d d d 26． = + = + x y t y x y t x 3 4 d d 2 d d 27． = − = x y t y y t x 2 d d 3 d d 28． = − + = + x y t y x y t x 2 3 d d d d 四、证明题 1．试证明：对任意 0 x 及满足条件 0 y0 1 的 0 y ，方程 2 2 1 ( 1) d d x y y y x y + + − = 的满足条件 0 0 y(x ) = y 的解 y = y(x) 在 (−, + ) 上存在． 2．假设 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 定义在 (a, b) 上的解，其中 p(x) ， q(x) 在 (a, b) 上连续，证明：如果 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 均在 ( , ) x0 a b 点取局部极值，则 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 在 (a, b) 上不能构成方程的基本解组． 3．设 f (x) 在 [0, + ) 上连续，且 lim ( ) = 0 →+ f x x ，求证：方程 ( ) d d y f x x y + = 的任意解 y = y(x) 均有 lim ( ) = 0 →+ y x x ． 4．假设 (x) 在 (−, + ) 上连续，且在该区间上 (x) 0 ，求证：方程 x y x y ( )sin d d = 的所有解的存在区间为 (−, + ) ，且是单调不增或单调不减函数． 5 ． 若 (u) 在 (−, + ) 上连续可微，且当 u 0 时 ， u (u) 0 ，求证方程 (cos ) d d 2 x y x y = 的任一解 y = y(x) 均在 (−, + ) 上存在，且当 y(x) 是非常值解时，那么
川x)是严格单调函数. 6。设例x)在区同（一。，+∞）上连续。试证明方程 -x)sny dx 的所有解的存在区间必为(-。，+©) 7.在方程y'+风x)y+g(xy=0中，已知px.x)在(@，b)上连续。试证明：若存 在x。∈(，)使方程的两个解(x),乃()同在x。处取极值，则(x),乃，(x)不能是方程 的基本解组。 8.设方程业-xf0)中，f0)在(-0，+四)上连续可微，且0)0的平面区域6.充分7.+18n9.没有10.线性无关11.(-，+)12.xy 平面15。nl4.y=k年，素=0.土1±2.15.e.216.y=kx,k=0.±1±2.1 政x-登k=0l士2 17,x0y平面18.充分必要19，不能20.n 二、单项选择题 1,B2,C3.C4.A5,A6.D7,D8,A9.B10.B 11.B12.A13,D14.D15.B16.A17,C18.D 三、计算思 1,解分离变量，得e'dy=(x+x)dr 等式两边积分，得e=x+x+c 2 4 2,解，将原方程分离变量，得 edy =e'dr 6
6 y(x) 是严格单调函数． 6．设 (x) 在区间 (−, + ) 上连续．试证明方程 x y x y ( )sin d d = 的所有解的存在区间必为 (−, + ) ． 7．在方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 中，已知 p(x), q(x) 在 (a, b) 上连续．试证明：若存 在 ( , ) x0 a b 使方程的两个解 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 同在 0 x 处取极值，则 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 不能是方程 的基本解组． 8．设方程 ( ) d d 2 x f y x y = 中， f ( y) 在 (−, + ) 上连续可微，且 yf ( y) 0 ，( y 0) ．求 证：该方程的任一满足初值条件 0 0 y(x ) = y 的解 y(x) 必在区间 [ , ) x0 + 上存在． 9．设 ( ) 1 y = x 和 ( ) 2 y = x 是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们 不能有共同的零点． 常微分方程综合练习参考答案 一、填空题 1． y = k, k = 0, 1, 2, 2． [ ( ) ( )] ( ) 1 1 2 1 C y x − y x + y x 3．不能 4．xoy 平面 5．满 足 1 0 2 − y 的平面区域 6．充分 7．n+18．n 9．没有 10．线性无关 11．(−, + ) 12．xoy 平面 13．n14． y = k ， k = 0, 1, 2, 15． x x x 2 2 e , e − − 16． y = k, k = 0, 1, 2, ； 或 , 0, 1, 2, 2 + = x = k k 17． xoy 平面 18．充分必要 19．不能 20．n 二、单项选择题 1．B2．C3．C4．A5．A6．D7．D8．A9．B10．B 11．B12．A13．D14．D15．B16．A17．C18．D 三、计算题 1．解分离变量，得 y x x x y e d ( )d 3 = + 等式两边积分，得 x x c y = + + 2 4 4 1 2 1 e 2．解：将原方程分离变量，得 y x y x e d = e d −
等号两边积分∫e'd少=∫edr+C 通积分为e?+e”+C=0 3.解将方程整理为齐次方程少=上-凸 dx xx 令y=,期迎 =十x，代入原方程有：x =-2 dx 积分得，-时+e,“n时e 除方程的通解为：y”n时+心 4.解：令M=之，期y=+ x业=n dx 当anM≠0时 等号两边积分「 tan h叫=nl+nqC≠o sin=Cx .解：y 2=y4+x d 令：-y.则生.4y业 dx dx 代入方程得生+4：=4红 dr e(-4xefdr+C) =e“刂-4e"dh+C =-x+1+Ce 1 所以y=-x++Ce 6.解：令：=my,则生=0sy dx d
7 等号两边积分 y x C y x = + − e d e d 通积分为 e + e + = 0 − C y x 3．解将方程整理为齐次方程 2 ( ) d d x y x y x y = − 令 y = xu ，则 x u u x x y d d d d = + ，代入原方程有： 2 d d u x u x = − 积分得： x c u = ln + 1 ， x c u + = ln 1 原方程的通解为： x c x y + = ln 4．解：令 x y u = ，则 y = u + xu u x u x tan d d = 当 tanu 0 时 等号两边积分 1 d tan d C x x u u = + ln sin u = ln x + ln C C 0 Cx x y sin = 5．解： y x x y y = + −5 −4 d d 令 −4 z = y ，则 x y y x z d d 4 d d −5 = − 代入方程得 z x x z 4 4 d d + = − + − = − e ( 4 e d ) 4d 4d z x x C x x = − + − e ( 4 e d ) 4 4 x x C x x x x C 4 e 4 1 − = − + + 所以 x y x C 4 4 e 4 − 1 − = − + + 6．解：令 z = sin y ，则 x y y x z d d cos d d =
代入方程得上-：2c0sx=: dx 即达 -2=:2c05x 再令M=,则得业+M=-c0sX r w=d可-csed+C) =e-cose'女r+C) 三-(os+smx+Ce 所以2 -+cosx +sin x Ce snx 7:解：因为 cy y 所以原方程为全微分方程。取无一0，另。一1，于是通积分为 停r+-G G 即 8品积分周子-子·则 x2-1-ydk+上dy=0 x 为全微分方程。取x=1,%=0,于是通积分为 2+s=c 即+x+=C 9。解先来积分因子： 川=ef月-e州.1 于是，方程
8 代入方程得 z x z x z − cos = d d 2 即 z z x x z cos d d 2 − = 再令 −1 u = z ，则得 u x x u cos d d + = − + − = − e ( cos e d ) 1 1d 1d u x x C x x = − + − e ( cos e d ) C1 x x x x x x x C − = − (cos + sin ) + e 2 1 1 所以 x x x C x − + cos + sin = e sin 2 7．解：因为 ) 3 ( 6 ) 2 ( 4 2 2 3 4 y y x y x x y x y − = − = 所以原方程为全微分方程．取 x0 = 0 ， y0 = 1 ，于是通积分为 1 1 2 0 3 d 1 d 2 y C y x y x x y + = 3 1 2 1 1 C y y x + − = 即 C y x y = − 3 2 2 8．解：积分因子 2 1 ( ) x x = ，则 d 0 1 d 1 2 2 + = − − y x x x x y 为全微分方程．取 x0 = 1， y0 = 0 ，于是通积分为 1 1 0 2 2 d d 1 x y C x x x y y + = − − 即 C x x x y + + = 1 9．解先求积分因子： 2 2 ln d 2 1 ( ) e e x x x x x = = = − − 于是，方程
e-灿+=0 为全微分方程 取x=1,。=0,于是通积分为 e-+=c 通解为：y=一e'+区 10.解：原方程是克莱洛方程，通解是 y=Cx+C 1。解当y≠1时。分离变量得 护=dr 等式两端积分得 =可t+c -川+c 1-y2=Ce,C=teG 方程的通积分为 y=1-Ce 12,解令y▣xW,则=+ dr ,代入方程，得 +X -u-w.x =-2 当≠0时，分离变量。再积分，得 j兽-+c 上-nl树+C,=n时+C 即通积分为：y“ nx+C 13。解齐次方程的通解为 y■Ceh 9
9 d 0 1 (e )d 2 − + y = x x x x y 为全微分方程． 取 x0 = 1， y0 = 0 ，于是通积分为 x y c x x y y x − + = 1 0 2 (e )d d 通解为： y x cx x = − e + 10．解：原方程是克莱洛方程，通解是 3 y = Cx +C 11．解当 y 1 时，分离变量得 y x x y y d d 1 2 = − 等式两端积分得 2 d d 1 1 y x x C y y = + − 1 2 2 2 1 ln 1 2 1 − y = x + C 1 2 2 2 1 e , e x C y C C − − − = = 方程的通积分为 2 1 e 2 x y C − = − 12．解令 y = xu ，则 x u y u x d d = + ，代入原方程，得 2 d d u u x u u + x = − ， 2 d d u x u x = − 当 u 0 时，分离变量，再积分，得 C x x u u − = + d d 2 x C u = ln + 1 ， x C u + = ln 1 即通积分为： x C x y + = ln 13．解齐次方程的通解为 x y C 3 e − =
令非齐次方程的特解为 y■C(x)e 代入原方程。确定出Cx)=二e”+C 5 原方程的通解为 4.解由于 -2.a ,所以原方程是全微分方程. y 取（工。，）=(0,0)，原方程的通积分为 j2y-cosx灿-j-C 即x2y-smx-y=C 15,解分离变量得 e'dy=e'dx 等式两端积分得通积分 e=e"+C 16.解齐次方程的通解为 y=Cx 令非齐次方程的特解为 y=C(x)x 代入原方程，确定出C气x)=h+C 原方程的通解为 y=Cx+h 17,解由于 。e.心，所以原方程是全微分方程， aM x 取(x,%)=(0,0),原方程的通积分为 e'+2=C 即e'+y2=C 18,解令y=P,则原方程的参数形式为 [y'=p y=1+p) 10
10 令非齐次方程的特解为 x y C x 3 ( )e − = 代入原方程，确定出 C x C x = + 5 e 5 1 ( ) 原方程的通解为 x y C 3 e − = + 2 x e 5 1 14．解由于 x N x y M = = 2 ，所以原方程是全微分方程． 取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 xy x x y C x y − − = 0 0 (2 cos )d d 即 x y − sin x − y = C 2 15．解分离变量得 y x y x e d = e d 等式两端积分得通积分 C y x e = e + 16．解齐次方程的通解为 y = Cx 令非齐次方程的特解为 y = C(x)x 代入原方程，确定出 C(x) = ln x +C 原方程的通解为 y = Cx + xln x 17．解由于 x N y M y = = e ，所以原方程是全微分方程． 取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 x y y C x y y + = 0 0 e d 2 d 即 x y C y + = 2 e 18．解令 y = p ，则原方程的参数形式为 = + = ln(1 ) 2 y p y p