应用颜率统计综合燕习闭 中央电大教育学院朱晓鹤 一、填空题（本大题共有10个小题，每小题3分） 1.没A、B、C是3个随机事件，旷三个事件中恰有两个事件发生"用A、B、C表示为 2.若事件A、B相互独立，且P=0.5,P剧=025，则P八AUB)= 3段X的照幸分布为X-)~名，k=0123,则C=一 4.设随机变量X服从二项分布风4，P),已知(X)=16,八X)-128，群参数P= 5.设X,X,…X。是来自W4,a)的样本，则E(R)=一 6.设随机变量X与Y相互鞋立时，则方差D2X-)=— 7.设(X,)为二推随机向量，X与Y的协方差oMX,Y)定文为 8.X.XX是来自总体X-N2,g的一个样本，不=2x,则 16 4灭-8 9.若总体X一N(4,G2)。且a2己知，用样本检验假设H。:4=时，采用统计量是 10.设总体X-N(4,G),则4的最大叙然估计为一· 二、判断题：若对，打“√”；若错，打“×”（本大题共有10个小题。每小题2分） 1,两个事件互斥与相互独立是完全等价的： () 2.对于任意两个事件A、B,必有A门B=AUB: 《) 玉.XX,,X是取自总体N以.)的样本，则T=上∑x,聚从N以o)分有，（) 4,设且=-<x<+},A=0sx<2,B=在1sx<3引，则A丽表示0s<:() 5.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为“甲种产品潜销，乙种产品畅 销”(). 6.设A、B、C表示3个事件，则AC表示“A、B、C都不发生”： 7.A、B为两个事件，则ABUA伍=Q(企集： 8,设5mnP川，且E5=4,D5-2,则m=8:
应用概率统计综合练习(4) 中央电大教育学院 朱晓鸽 一、填空题（本大题共有 10 个小题，每小题 3 分） 1．设 A、B、C 是 3 个随机事件，则“三个事件中恰有两个事件发生”用 A、B、C 表示为 ； 2．若事件 A、B 相互独立，且 P(A) = 0.5， P(B) = 0.25 ，则 P(A B) = ； 3．设 X 的概率分布为 1 ( ) + = = k C P X k ， k = 0,1,2,3 ，则 C = ； 4．设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ，已知 E(X) =1.6， D(X) =1.28 ，则参数 p = ； 5．设 X X Xn , , , 1 2 是来自 ( , ) 2 N 的样本，则 E(X ) = ； 6．设随机变量 X 与 Y 相互独立时，则方差 D(2X − 3Y) = ； 7．设 (X , Y) 为二维随机向量， X 与 Y 的协方差 cov(X ,Y) 定义为 ； 8． 1 2 16 X , X , , X 是来自总体 ~ (2, ) 2 X N 的一个样本， = = 16 16 1 1 i X Xi ，则 ~ 4 8 X − ； 9．若总体 ~ ( , ) 2 X N ，且 2 已知，用样本检验假设 H 0 ： = 0 时，采用统计量是 ； 10．设总体 ~ ( , ) 2 X N ，则 的最大似然估计为 。 二、判断题：若对，打“√”；若错，打“×” （本大题共有 10 个小题，每小题 2 分） 1．两个事件互斥与相互独立是完全等价的； （ ） 2．对于任意两个事件 A、B ，必有 A B = A B ； （ ） 3． X X Xn , , , 1 2 是取自总体 ( , ) 2 N 的样本，则 = = n i X i n X 1 1 服从 ( , ) 2 N n n 分布； （ ） 4．设 = x | −＜x＜+ ，A = x | 0 x＜2，B = x |1 x＜3 ，则 AB 表示 x | 0 x＜1 ； （ ） 5．以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 A 为“甲种产品滞销，乙种产品畅 销”（ ）。 6．设 A、B、C 表示 3 个事件，则 ABC 表示“ A、B、C 都不发生”； （ ） 7． A、B 为两个事件，则 AB AB = （全集）； （ ） 8．设 ~ B(n, p) ，且 E = 4 ， D = 2 ，则 n =8； （ ）
9。设总体X-N以，小，Xx,是来自于总体的样本，则在=名 ++是和的无 .1 偏估计量： 10,经过显著性检验而设有核柜绝的假设一定是正确的假设。 三、计算题（本大题共有7个小题，每小题5分） 1.若从10件正品2件次品的一批产品中，任取2次，每次取一个，不成目，试求第二次取出的是次 品的概率。 2.设X-N(-2.3),试求X的概率密度为f(x) 3.设随机变量5的密度函数为(x)= 「Cx,xe0l 0.其他 ,试求常数C, 4.设X的均值、方差都存在，且D020.令Y=X-E.试球E)与D). √DX) 5.议两个相互鞋立的随机变量的X和了的方差分别为4和2，试求随机变量3r-2业的方差， 6.设随机变量X服从参数为2的阿松分布，且已知E(X-1以X-2)■1，求参数2的值。 7.设总体X服从参量为的阿松分布，它的分布律为 r--e2 -,x=012 X,X,,X是取自总体X的样本，试求参数人的最大似然估计量。 四，正明题（本题15分） 设X服从区间[，b]上的均匀分布，试证明Y=X+c(c为常数)也服从均匀分布
9．设总体 X ~ N(, 1)， X1 , X 2 , X3 是来自于总体的样本，则 1 2 3 4 1 4 1 4 1 ˆ = X + X + X 是 的无 偏估计量； （ ） 10．经过显著性检验而没有被拒绝的假设一定是正确的假设。 （ ） 三、计算题（本大题共有 7 个小题，每小题 5 分） 1．若从 10 件正品 2 件次品的一批产品中，任取 2 次，每次取一个，不放回，试求第二次取出的是次 品的概率。 2．设 ~ ( 2, 3 ) 2 X N − ，试求 X 的概率密度为 f (x) 。 3．设随机变量 的密度函数为 = 0, 其他 , [0,1] ( ) 4 Cx x f x ，试求常数 C 。 4．设 X 的均值、方差都存在，且 D(X) 0 ，令 ( ) ( ) D X X E X Y − = ，试求 E(Y) 与 D(Y ) 。 5．设两个相互独立的随机变量的 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，试求随机变量 3X − 2Y 的方差。 6．设随机变量 X 服从参数为 的普阿松分布，且已知 E(X −1)(X − 2) = 1 ，求参数 的值。 7．设总体 X 服从参数为 的普阿松分布，它的分布律为 ! ( ) x e P X x x − = = ， x = 0,1,2 X X Xn , , , 1 2 是取自总体 X 的样本，试求参数λ的最大似然估计量。 四、证明题（本题 15 分） 设 X 服从区间 [a, b] 上的均匀分布，试证明 Y = X + c （ c 为常数）也服从均匀分布
参考答米 一、填空恩 1.ABCUABCUABC 2.0.625 25 4.02 5.u 6.4DX)+9DY) 7.N0,1): 8N(0.1) 象了-丛 10在=下 二、判断恩 1,错 2对 3.错 4对 五错 氏对 7。错 ⑧对 9.错 10.错 三、计算题 1,解：令A台“第次取出的是次品”。=1.2，由古典概型的概率计算公式易知
参考答案 一、填空题 1． ABC ABC ABC 2. 0.625 3. 25 12 4. 0.2 5. 6. 4D(X ) + 9D(Y) 7. N(0, 1) ； 8. N(0,1) 9. X − 0 10. ＝ X 。 二、判断题 1．错 2. 对 3．错 4. 对 5. 错 6. 对 7. 错 8. 对 9. 错 10. 错 三、计算题 1．解：令 = ˆ Ai “第 i 次取出的是次品”， i = 1, 2 。由古典概型的概率计算公式易知
P(4)= C0"6 (1分) 又烟器不410-会-六41-是-品 (2分) 因此利用全餐半公式可得所求的餐率为 4-4414属41国-名-品-名 (4分) 2.解：因为随机变量X服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式： fx)■ e 2o （-00GXG0: (4分) 2冠0 进而，将“=-2,0=3代入上述表达式可得所求的密度函数为： f(r)1 us 32 -e,xe(-0,+）: (3分) 3解：由题设可知随机变量的密度函数为(x)■ 「Cx,xe0, 0.其他 ,其中C为常数。 利用密度硒数性质二代x达=1， (2分) 可得 [Cx女=1，解得C=5. (5分) 4.解：E(Y)= X-E(X) EX)-EX2.0: (3分) D(X) D(X) D()=D X-E(X) D(X) =1 (4分) 乐解：由题设知X与Y相互验立，利用方差的性质可得D3X-2Y)=9D(X)+4D(Y):(5分) 又因为DX)=4,DY)=2,代入上式可得D3X-2Y)=44。(2分) 6解：由题设知EX-2,Dr-A,得EX2-A+2: (3分) 再由假设1=(X-1(X-2切=EX2-3EX+2=A-22+2: (3分) 即有(a-1)2=0,所以入=1。 (1分) 7.解：似然函数为
6 1 ( ) 1 12 1 2 1 = = C C P A ； （1 分） 又因为第一次取出后不放回，所以 11 1 ( | ) 1 11 1 1 2 1 = = C C P A A ， 11 2 ( | ) 1 11 1 2 2 1 = = C C P A A ； （2 分） 因此利用全概率公式可得所求的概率为 6 1 11 2 6 1 1 11 1 6 1 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 2 1 2 1 1 2 1 = P A = P A P A A + P A P A A = + − 。 （4 分） 2. 解：因为随机变量 X 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式： ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) = − + − − f x e x x ； （4 分） 进而，将 = −2, = 3 代入上述表达式可得所求的密度函数为： ( , ) 3 2 1 ( ) 18 ( 3) 2 = − + + − f x e x x ， 。 （3 分） 3. 解：由题设可知随机变量 的密度函数为 = 0, 其他 , [0,1] ( ) 4 Cx x f x ，其中 C 为常数。 利用密度函数性质 + − p(x)dx =1， （2 分） 可得： = 1 0 4 Cx dx 1 ，解得 C = 5。 （5 分） 4. 解： 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − = − = D X E X E X D X X E X E Y E ； （3 分） 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = = − = D X D X D X X E X D Y D 。 （4 分） 5. 解：由题设知 X 与 Y 相互独立，利用方差的性质可得 D(3X − 2Y) = 9D(X ) + 4D(Y) 。 （5 分） 又因为 D(X ) = 4, D(Y) = 2 ，代入上式可得 D(3X − 2Y) = 44 。 （2 分） 6. 解：由题设知 EX = ， DX = ，得 2 2 EX = + ； （3 分） 再由假设 1 [( 1)( 2)] 3 2 2 2 2 2 = E X − X − = EX − EX + = − + ； （3 分） 即有 ( 1) 0 2 − = ，所以 =1。 （1 分） 7. 解：似然函数为
L4a)=Π (3分) Π 似然方程为 dkgL(2) dA =-n+2=0, (2分) 解得 因为g()的二阶导数总是负值，可见，蚁然函最在君处达到最大值。所以，=又是A的最大 似然估计。 (2分) 四、迁明圈 证明： 由题设可知X服从区间[a,b]上的均匀分布，所以X的密度函数为 (x)= asxsb h-a (1分) . 其他。 先求Y=X+C(c为常数)的分布函数： 0. y-cbe 再对y求导数可得Y的密度函数为 o)= b-a a+csysb+c, (5分) 0. 其他。 故Y服从a+C,b+c小上的均匀分布. (1分)
! ! ( ) 1 1 1 i n i x n i n x i x e x e L n i i i = = − − ＝ ＝ ＝ ， （3 分） 似然方程为 0 log ( ) 1 1 = − + = n i i n x d d L ＝ ， （2 分） 解得 = n i i x n 1 * 1 ＝ . 因为 log L() 的二阶导数总是负值，可见，似然函数在 * 处达到最大值。所以， = X * 是λ的最大 似然估计。 （2 分） 四、证明题 证明： 由题设可知 X 服从区间 [a, b] 上的均匀分布，所以 X 的密度函数为 = − 0, 其他。 , , 1 ( ) a x b f X x b a （1 分） 先求 Y = X + c （ c 为常数）的分布函数： − − − − − − = + = − = = − − y c b。 a y c b b a y c a y c a P Y y P X c y P X y c f x dx y c X 1, , , 0, , ( ) ( ) ( ) ( ) （8 分） 再对 y 求导数可得 Y 的密度函数为 + + = − 0, 其他。 , , 1 ( ) a c y b c f Y y b a （5 分） 故 Y 服从 [a + c, b + c] 上的均匀分布。 （1 分）