应用展率统计镰合练习（②） 中央电大教育学院朱晓鹤 一，填空题（本大题共有10个小题，每小题3分） 1,设A、B、C是3个随机事件，则“三个事作都不发生”用A、B、C表示 为 2.若事件A、B、C相互鞋立，则 P(AUBUC)= 3,设离散型面机变量X的概率分布为 X 对应取值的 P 餐率 P: 除了要求每个户，之0之外，这些A还应满足 4.若随帆变量X服从区闻山，2上的均匀分布，则E(X)= 5,设随机变量X的概率分布列为P八X■k)= 府ek-0122>0,则 D(X)= 6.(X,Y)为二维随机向量，其协方差c0(X,Y)与相互系数Pg的关系 为 7.已知E(X)=3,DX)=5,则E(X+2)2= 8.设离散型随机变量X的概率分布为 0 2 P 0 0 0 .5 其分布雨数为F(x)·则F(3)=
应用概率统计综合练习(2) 中央电大教育学院 朱晓鸽 一、填空题（本大题共有 10 个小题，每小题 3 分） 1．设 A、B、C 是 3 个随机事件，则“三个事件都不发生”用 A、B、C 表示 为 ； 2．若事件 A、B、C 相互独立，则 P(A B C) = ； 3．设离散型随机变量 X 的概率分布为 X 1 x 2 x … k x … 对应取值的 概率 1 p 2 p … k p … 除了要求每个 pk 0 之外，这些 k p 还应满足 ； 4．若随机变量 X 服从区间 0, 2 上的均匀分布，则 E(X ) = ； 5．设随机变量 X 的概率分布列为 ( 0,1,2, 0) ! ( = ) = = − e k ； k P X k k ，则 D(X ) = ； 6． (X , Y) 为二维随机向量，其协方差 cov(X ,Y) 与相互系数 XY 的关系 为 ； 7．已知 E(X ) = 3， D(X ) = 5 ，则 + = 2 E(X 2) ； 8．设离散型随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 2 pk 0 .5 0 .3 0 .2 其分布函数为 F(x) ，则 F(3) = ；
9.设X,X,,X.为总体X一N(山，62)的一个简单随机样本，若方差a2米知，则 :的(1-位)的置信区间为 10.授样本X1,X2·,X.米白N(H,a2),且a2=169,则对检验：H。:4=35, 采用统计量是一 二，判断思：若对。打“√”若错，打“×”（本大题共有10个小题，每小题2分） 1.X,X,X是取自总体4，g)的样本，则下.上∑X,服从NOn分布 () 2.设随机向量(X,)的联合分布函数为F(x),其边缘分布函数Fx()是 mF:() 3,设0--0<x<+0}:A-0≤x<2},B-1sx<3到，则B表示0<x () 4,若PA)=0,则AB一定是空集： () 5.对于任意两个事件A、B,必有A门B=AUB: () 6:设A、B、C表示3个事件，则ABC表示“A、B、C中不多于一个发生”： () 7.A、B为两个事件，则ABUAB=A: 8.已如随机变量X与Y相互独立，D风X)=8,DY)=4,则D风X-Y)=4: () 9.设总体X一N(山，)：X,X:,X,是来白于总体的样本，则 庄一后水+名+名是知的无换信计最 6 10.目归分析可以幅助我们判断一个随机变量和另一个普通变景之间是否存在某种相关 关系
9．设 X X X n , , , 1 2 为总体 ~ ( , ) 2 X N 的一个简单随机样本，若方差 2 未知，则 的 (1−) 的置信区间为 ； 10．设样本 X1， X 2 ，…， X n 来自 ( , ) 2 N ，且 1.69 2 = ，则对检验： H 0 ： = 35， 采用统计量是 。 二、判断题：若对，打“√”；若错，打“×” （本大题共有 10 个小题，每小题 2 分） 1． X X Xn , , , 1 2 是取自总体 ( , ) 2 N 的样本，则 = = n i X i n X 1 1 服从 N(0,1) 分布； （ ） 2．设随机向量 (X , Y) 的联合分布函数为 F(x, y) ，其边缘分布函数 F (x) X 是 lim F(x, y) y→+ ； （ ） 3．设 = x | −＜x＜+ ，A = x | 0 x＜2，B = x |1 x＜3 ，则 AB 表示 x | 0＜x＜1 ； （ ） 4．若 P(AB) = 0 ，则 AB 一定是空集； （ ） 5．对于任意两个事件 A、B ，必有 A B = A B ； （ ） 6．设 A、B、C 表示 3 个事件，则 A B C 表示“ A、B、C 中不多于一个发生”； （ ） 7． A、B 为两个事件，则 AB AB = A ； （ ） 8．已知随机变量 X 与 Y 相互独立， D(X ) = 8, D(Y) = 4 ，则 D(X −Y) = 4 ； （ ） 9．设总体 X ~ N(, 1)， X1 , X 2 , X3 是来自于总体的样本，则 1 2 3 6 3 6 1 6 1 ˆ = X + X + X 是 的无偏估计量； （ ） 10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关 关系。 （ ）
三、计算题〔本大题共有7个小愿，每小题5分) 1.设X~N(-342),试求X的概率密度为x)。 2.随肌变量：的密度函数为风x)= 2x宝∈0)，其中A为正的常数，诚求A: 0.其他 3设随机变量服从二项分有，即-风p),且E(=3,p-试求m: 4.已知一元线性回归直线方程为少=à+4x,且x=3,下=6，试求à. 5.设随机变量X与Y相互独立，且DX)=3D)=4,求DX-4Y). 6.设总体X的概率密度为 (8+1x",00未知。己知估 计量G2=∑X?是G产的无偏估计量，试求常数素。 四、证明题（本题15分） 1,若事件A与B相互独立，则A与B也相互独立。 2.若事件ACB,则P(A)SP\B):
三、计算题（本大题共有 7 个小题，每小题 5 分） 1．设 ~ ( 3, 4 ) 2 X N − ，试求 X 的概率密度为 f (x) 。 2．随机变量 的密度函数为 = 0, 其他 2 , (0, ) ( ) x x A p x ，其中 A 为正的常数，试求 A 。 3．设随机变量 服从二项分布，即 ~ B(n, p) ，且 E( ) = 3， 7 1 p = ，试求 n 。 4．已知一元线性回归直线方程为 y ˆ = a ˆ + 4x ，且 x = 3， y = 6 ，试求 a ˆ 。 5．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 D(X ) = 3, D(Y) = 4 ，求 D(X − 4Y) 。 6．设总体 X 的概率密度为 + = 0 , ( 1) , 0 1, ( ; ) ， 其它 x x f x 式中 >－1 是未知参数， X X Xn , , , 1 2 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样 本，用最大似然估计法求 的估计量。 7．设 X X Xn , , , 1 2 是取自正态总体 (0, ) 2 N 的一个样本，其中 0 未知。已知估 计量 = = n i Xi k 1 2 2 ˆ 是 2 的无偏估计量，试求常数 k 。 四、证明题（本题 15 分） 1．若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 也相互独立。 2．若事件 A B ，则 P(A) P(B)
参考答案 一、填空墨 1.ABC 2 P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P()P(B)P(C) aEn-1 4冠 &无 6.Py=- covX,Y) DX)DYT 7.30: 8.1: [--得+2- 1a风R-3均 1.3 二、判斯题 1,错 2对 及错 4对 5对 6错 7.对 8对 9错 I0.对 三、计算题
参考答案 一、填空题 1． ABC 2. P(A) + P(B) + P(C) − P(A)P(B) − P(A)P(C) − P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) 3. 1 1 = pk 4. 5. 6. ( ) ( ) ( ) cov , D X D Y X Y xy = 7.30； 8.1； 9. + − − − 2 2 1 1 n n t n S t X n S X ， ； 10. 1.3 n(X − 35) 二、判断题 1．错 2. 对 3. 错 4. 对 5. 对 6. 错 7. 对 8. 对 9. 错 10.对 三、计算题
1,解：因为随机变量X服从正态分布。所以它的密度函数具有如下形式： f(x)-- e 2o (-D<x《+D): (4分) 2x0 速而，将“=-3g=4代入上述表达式可得所求的密度函数为： 47 f(x)-- 1 e2,xe(-0,+o), (3分) 2 2解：由思设可知随机变量：的密度函数为风x)一 2x.xE(0.A) 其中A为正的 0. 其他 常数， 利用密度数性质广风x)达=1， (2分) 可得：广心2x本=1，解得4-1 (5分) &解：由盟设可知5服从二项分布，即5~p小，且E(⑤=3，P=7 1 又因为武)=即： (2分) 所以3=二n,解得n=21. (5分) 4解：一元线性回归直线方程具有如下形式：少=a+bx, (3分) 由题设条件可知少=石+4x,因此b■4。 又因为界=3，下=6，所以a=-标=6. (4分) 反解：由思设知X与Y相互独立，利用方差的性质可得 DX-4)=DX)+16D).(5分) 又因为DX)=3DY)=4,代入上式可得D(X-4)-67,(2分) 6解：似然函数为 w-perw时 0<名，，无<1 (3分) 其它 对0<黑<L,1=L2,…,月，对()取对数，则有
1．解：因为随机变量 X 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式： ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) = − + − − f x e x x ； （4 分） 进而，将 = −3, = 4 代入上述表达式可得所求的密度函数为： ( , ) 4 2 1 ( ) 32 ( 3) 2 = − + + − f x e x x ， 。 （3 分） 2. 解：由题设可知随机变量 的密度函数为 = 0, 其他 2 , (0, ) ( ) x x A p x ，其中 A 为正的 常数， 利用密度函数性质 + − p(x)dx =1， （2 分） 可得： = A xdx 0 2 1 ，解得 A = 1。 （5 分） 3. 解：由题设可知 服从二项分布，即 ~ B(n, p) ，且 E( ) = 3， 7 1 p = ， 又因为 E( ) = np ， （2 分） 所以 n 7 1 3 = ，解得 n = 21。 （5 分） 4. 解：一元线性回归直线方程具有如下形式： y a bx ˆ ˆ = ˆ + ， （3 分） 由题设条件可知 y ˆ = a ˆ + 4x ，因此 4 ˆ b = 。 又因为 x = 3， y = 6 ，所以 6 ˆ a ˆ = y − bx = − 。 （4 分） 5. 解 ： 由 题 设 知 X 与 Y 相 互 独 立 ， 利 用 方 差 的 性 质 可 得 D(X − 4Y) = D(X ) +16D(Y) 。 （5 分） 又因为 D(X ) = 3, D(Y) = 4 ，代入上式可得 D(X − 4Y) = 67 。 （2 分） 6. 解：似然函数为 + = + = = 其它 ＝ 0, ( 1) ( 1) 0 , , 1, ( ) 1 1 1 n n i n i i n i x x x x L （3 分） 对 0 xi 1, i =1, 2, ,n ，对 L( ) 取对数，则有
h40=n0++空n ◆hL@.”+n-0 de 8+1 (2分) 得=一1 对一益0， E 所以参数0的最大似然估计量为 0=-1- (2分) Snx. 7.解1因为X,X:,…,X.是取自正态总体N(0,G2)的样本，其中0>0未知，所以 E(X)=DX,)+(E(X,》3=g3+02=g2: (3分) 又因为愿设条件要求2=k∑X?是。2的无偏估计量，所以利用无偏性的定义应有： E(G2)=σ2， (3分》 将X)=G2代入上式可得常数k- (1分) 四、证明题 证明： I.因为B=R4UBA且且4与BA互斥，所以PBA)=P-PB4):(3分) 由题设可知事件A与B相互鞋立，所以P氏A)=P八A)P),代入上式可得：(2分) P(BA)=P(B)-P(BA)=P(B)-P(B)P(A)=P(BM1-P(A)]=P(B)P(A). 故A与B相互鞋立。 (3分) 2.因为事件ACB,所以可将事件B拆分为B=AU(BA),其中A与BA互斥：(3 分) 因而PB)=PA)+PBA): (2分)
= = + + n i i L n x 1 ln ( ) ln( 1) ln 令 ln 0 1 ln ( ) 1 + = + = = n i i x n d d L （2 分） 得 ˆ ˆ ln 1 1 = = n i i x n ＝－－ ， 所以参数 的最大似然估计量为 = n i Xi n 1 ln ＝－1－ 。 （2 分） 7. 解：因为 X X Xn , , , 1 2 是取自正态总体 (0, ) 2 N 的样本，其中 0 未知，所以 2 2 2 2 2 E(Xi ) = D(Xi ) + (E(Xi )) = + 0 = ； （3 分） 又因为题设条件要求 = = n i Xi k 1 2 2 ˆ 是 2 的无偏估计量，所以利用无偏性的定义应有： 2 2 E( ˆ ) = ，即 2 1 2 1 2 = ( ) = = = n i i n i E k Xi k E X ， （3 分） 将 2 2 E(Xi ) = 代入上式可得常数 k = n 1 。 （1 分） 四、证明题 证明： 1．因为 B = BA B A 且 BA 与 B A 互斥，所以 P(B A) = P(B) − P(BA) ； （3 分） 由题设可知事件 A 与 B 相互独立，所以 P(AB) = P(A)P(B) ，代入上式可得：（2 分） P(B A) = P(B) − P(BA) = P(B) − P(B)P(A) = P(B)[1− P(A)] = P(B)P(A) ， 故 A 与 B 相互独立。 （3 分） 2．因为事件 A B ，所以可将事件 B 拆分为 B = A(B A) ，其中 A 与 B A 互斥；（3 分） 因而 P(B) = P(A) + P(B A) ； （2 分）
又因为任何事件的概率恒大于等于零（即：半负），故有P(A)SP八B) (2分)
又因为任何事件的概率恒大于等于零（即：非负），故有 P(A) P(B)。 （2 分）