改用展率统计擦合练习（⑤ 中央电大教育学院朱晓鸽 一，填空题（本大题共有10个小题，每小题3分》 1.设A、B、C是3个随机事件，则事件“A、B、C至少有一个发生”用A、B、C 表示为一1 2.设事件A与B相互独这，若己知P八AU)=0.6,P风)=04，则代B)=一 3.事件A与B互不相容，且P代A)=0.4,P)=0,3,则P代AB)F一 4.设X-N04),且r=X42,则E=一 5.当X的数学期望E(门与E(X2)都存在时，X的方差定义为 D(X)=_ 6,设二雄离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布为 P。=P(X,Y)=(,y片信，1=12)，则X的边锋概率分布为 7,设f八x,y)是二维随机变量(X,)的联合密度函数，厂，(x)与f(y)分别是关于X 与了的边缘概率密度，且X与Y相互独立则有f八x,y)= 1 8.对于随机变量X,仅如其E()=3,DX)=方则由契比雪夫不等式可知 P间X-3k2)2- 9,设X~N(叫，G)Y~N42.a),X与Y相互独立，X,X:,…,X。是X的 样本，y,…,Y是Y的样本，则DX-)= 10.X,X:,…,X是总体X的简单随机样本的条件是1(1) (2) 二，判断题：若对。打“√”若错，打“×”（本大愿共有10个小思。每小盟2分） 1.X.X,X是取自总体以，g)的样本，则了.上∑X,服从NO分都：
应用概率统计综合练习(5) 中央电大教育学院 朱晓鸽 一、填空题（本大题共有 10 个小题，每小题 3 分） 1．设 A、B、C 是 3 个随机事件，则事件“ A、B、C 至少有一个发生”用 A、B、C 表示为 ； 2．设事件 A 与 B 相互独立，若已知 P(A B) = 0.6 ，P(A) = 0.4 ，则 P(B) = ； 3．事件 A 与 B 互不相容，且 P(A) = 0.4， P(B) = 0.3 ，则 P(A B) = ； 4．设 X ~ N(1, 4) ，且 5 + 2 = X Y ，则 E(Y ) = ； 5．当 X 的数学期望 E(X ) 与 ( ) 2 E X 都存在时， X 的方差定义为 D(X ) = ； 6．设二维离散型随机向量 (X , Y) 的联合概率分布为 p = P{(X,Y) = (x , y )} (i, j = 1,2, ) ij i i ，则 X 的边缘概率分布为 ； 7．设 f (x, y) 是二维随机变量 (X,Y) 的联合密度函数, f (x) X 与 f (y) Y 分别是关于 X 与 Y 的边缘概率密度,且 X 与 Y 相互独立,则有 f (x, y) = ； 8．对于随机变量 X ，仅知其 E(X ) = 3， 25 1 D(X ) = ，则由契比雪夫不等式可知 P(| X − 3 | 2) ； 9．设 ~ ( , ), ~ ( , ) 2 2 2 2 X N 1 1 Y N ，X 与 Y 相互独立， 1 , , , X1 X 2 X n 是 X 的 样本， 2 , , , Y1 Y2 Yn 是 Y 的样本，则 D(X −Y ) = ； 10． X X Xn , , , 1 2 是总体 X 的简单随机样本的条件是：（1） ； （2） 。 二、判断题：若对，打“√”；若错，打“×” （本大题共有 10 个小题，每小题 2 分） 1． X X Xn , , , 1 2 是取自总体 ( , ) 2 N 的样本，则 = = n i X i n X 1 1 服从 N(0,1) 分布； （ ）
2.设随机向量(X,Y)的联合分布函数为Fx功，其边缘分布函数Fx()是Fx0)1 () 3,设n-|-o<x<+},A-0sxc2}.B-lsx<3引，则A西表示 {-0sx<0U1sx<+o: () 4,若事件A与B相互独立，则A与B一定互斥： 5.对于任意两个事件A、B,必有A门B=AUB: () 6,设甲，乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件A=甲胜乙负}，则A为（甲负乙雕] () 7.设A小、B、C表示3个事件，则ABC表示“A、B、C三个事件都不发生”： 8.若A、B为两个事件，则必有ABUAB=A: () 9.设随机变量X和Y的方差存在且不为零，若DX+Y)=D(X)+D)成这，则X 和Y一定不相关：() 2 10设X~N(,1),X,X:,X米自于总体的样本，户=X,+三X:+:X 5 是：的无偏估计量：() 三、计算题（本大题共有7个小题，每小题5分》 1.已知随机变量X服从二项分布：，P),且E(X)=6,D(X)=3.6,试求二项分 布的参数，P的值。 2.设X~N(2,4),试求X的概率密度为f气x). 3,设连续型面机变量X的密度函数为 ar+b,0<x<1 八x)= 0, 其他
2．设随机向量 (X , Y) 的联合分布函数为 F(x, y) ，其边缘分布函数 F (x) X 是 F(x,0) ； （ ） 3．设 = x | −＜x＜+ ， A = x | 0 x＜2， B = x |1 x＜3 ，则 AB 表示 x | − x＜0x |1 x＜+ ； （ ） 4．若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 一定互斥； （ ） 5．对于任意两个事件 A、B ，必有 A B = A B ； （ ） 6．设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件 A ={甲胜乙负}，则 A 为{甲负乙胜}； （ ） 7．设 A、B、C 表示 3 个事件，则 A B C 表示“ A、B、C 三个事件都不发生”； （ ） 8．若 A、B 为两个事件，则必有 AB AB = A ； （ ） 9．设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不为零，若 D(X + Y) = D(X ) + D(Y) 成立，则 X 和 Y 一定不相关； （ ） 10.设 X ~ N(, 1)， 1 2 3 X , X , X 来自于总体的样本， 1 2 3 5 1 5 2 5 2 ˆ = X + X + X 是 的无偏估计量；（ ） 三、计算题（本大题共有 7 个小题，每小题 5 分） 1．已知随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ，且 E(X ) = 6，D(X ) = 3.6 ，试求二项分 布的参数 n ， p 的值。 2．设 X ~ N(2, 4) ，试求 X 的概率密度为 f (x) 。 3．设连续型随机变量 X 的密度函数为 + = 0， 其他， , 0 1, ( ) ax b x f x
且E(X)=:,试求常数a和b: 3 4.当随机变量X服从曾网松分布时，试求严的值。 EX 5.若随机变量X在区间L,6)上服从均匀分布，试求方程y2+灯+1=0有实根的概 率。 6.已知随机变量X-N(-3,1),Y一N(2),且X与Y相互鞋立，设随机变量 Z=X-2Y+7,试求Z的密度函数， 7.设(X门的联合密度函数为风x,)= [demx>0y> 其他 ,试求(1)常数A: 0 (2)X的边蜂密度函数。 四、证明题（本题15分） 一个电子线路上电压表的读数X服从区间[8，日+1]上的均匀分布，其中B是该线路上 电压的真值，但它是未知的。假设X1,X:,…,X是此电压表上读数的一组样本。试证明： (1)样本均值X不是8的无偏估计：(2)8的矩估计是8的无偏估计
且 3 1 E(X ) = ，试求常数 a 和 b 。 4．当随机变量 X 服从普阿松分布时，试求 EX DX 的值。 5．若随机变量 X 在区间 (1, 6) 上服从均匀分布，试求方程 1 0 2 y + Xy + = 有实根的概 率。 6．已知随机变量 X ~ N(−3, 1) ，Y ~ N(2, 1) ，且 X 与 Y 相互独立，设随机变量 Z = X − 2Y + 7 ，试求 Z 的密度函数。 7．设 (X,Y) 的联合密度函数为 其他 , 0, 0 0, ( , ) (2 3 ) = − + Ae x y p x y x y ，试求（1）常数 A ； （2） X 的边缘密度函数。 四、证明题（本题 15 分） 一个电子线路上电压表的读数 X 服从区间[ , +1]上的均匀分布，其中 是该线路上 电压的真值，但它是未知的，假设 X X X n , , , 1 2 是此电压表上读数的一组样本，试证明： (1)样本均值 X 不是 的无偏估计；(2) 的矩估计是 的无偏估计
参考答案 一、填空题 1.AUBUC 21/3 30.3 5Ex2)-(EX) 6P,=∑Pw 0-12.） 7.f(x)f(y): 8.0.99: 9D0+D)=g+正， %再 10(1)X1,X2,X相互独立：(2)X,X2,X与总体X有相月的概率分。 二，判断思 1,错 2错 3错 4错 5对 6错 7.对 8对 9.对 10.对 三，计算题 1,解：因为随机变量X~风.P),所以 E(X)=学，DX)=pI-P),(4分)
参考答案 一、填空题 1． A B C 2. 1/3； 3. 0.3 4. 5 3 ； 5. ( ) 2 2 E X − (E(X)) 6. = j p.i pij (i = 1,2, ) 7. f (x) f (y) X Y ； 8. 0.99； 9. 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) n n D X D Y + = + ； 10. （1） X X Xn , , , 1 2 相互独立；（2） X X Xn , , , 1 2 与总体 X 有相同的概率分布。 二、判断题 1．错 2. 错 3. 错 4. 错 5. 对 6. 错 7. 对 8. 对 9. 对 10.对 三、计算题 1．解：因为随机变量 X ~ B(n, p) ，所以 E(X ) = np, D(X ) = np(1− p) ，（4 分）
由此可得p=6,厚1-p)=3.6,解得H=15。P=0.4:(3分) 2解：因为随机变量X服从正态分布。所以它的密度函数具有如下形式： f(x)=- 《-0<x<+011 (4分) 280 选而，将“=2，σ=2代入上述表达式可得所求的密度函数为知 f(x)= (3分) 228 3解：因为随机变量X的密度函数具有如下形式 ar+b,0<x<1 f(x)= 10. 其他， 且5()-子为了求客数a和6，我们可以列出如下方程组， [f(rds-1 0= (2分) Cf达-m+b达=l -+6h写 (4分) 解得：a=-2.b=2. (1分) 4解：因为随机变量X服从普阿松分布，所以 E(X)=D(X)=入（入为售阿松分布的参数）： (6分) 因面所求X的值为1. EX 5解：因为随机变量X在区同(1,6)上最从均匀分布，所以X的密度函数为 f(x)- 1<xc6 (2分) 其他。 方程y2+y+1=0有实根充要条件是判别式△=X2-4≥01 (2分) 因而所求的概率为PA≥0)=PX≥2)+PX≤-2=本=08. (3分)
由此可得 np = 6, np(1− p) = 3.6 ，解得 n =15， p = 0.4 ；（3 分） 2. 解：因为随机变量 X 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式： ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) = − + − − f x e x x ； （4 分） 进而，将 = 2, = 2 代入上述表达式可得所求的密度函数为： ( , ) 2 2 1 ( ) 8 ( 2) 2 = − + − − f x e x x 。 （3 分） 3. 解：因为随机变量 X 的密度函数具有如下形式 + = 0， 其他， , 0 1, ( ) ax b x f x 且 3 1 E(X ) = ，为了求常数 a 和 b ，我们可以列出如下方程组： = = + − 3 1 ( ) ( ) 1 E X f x dx ， （2 分） 即 = + = = + = + − 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 0 E X x ax b dx f x dx ax b dx ， （4 分） 解得： a = −2, b = 2。 （1 分） 4. 解：因为随机变量 X 服从普阿松分布，所以 E(X ) = D(X ) = （ 为普阿松分布的参数）； （6 分） 因而所求 EX DX 的值为 1。 5. 解：因为随机变量 X 在区间 (1, 6) 上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为 = 0, 其他。 , 1 6, 5 1 ( ) x f x （2 分） 方程 1 0 2 y + Xy + = 有实根充要条件是判别式 4 0 2 = X − ； （2 分） 因而所求的概率为 0.8 5 1 ( 0) ( 2) ( 2) 6 2 = + − = = P P X P X dx 。 （3 分）
6解：因为随机变量X~N(-3.),Y~N(2,),且X与Y相互独立，所以利用正 态随帆变量的可加性（或再生性》可知Z=X一2Y+7仍服从正态分布： (3分) 又因为 EZ)=E(X)-2EY)+7=-3-2×2+7=0.Z)=DX)+4D)=1+4×1=5 ,(2分) 由此可如所求的餐率密度为()=广 10x i0.2分) 解D因为1=风达=4ee”=名所以4=6： (4分) 《2)px(a)=px,yh=6ead=6e2Ce山=2eex>0). (3分) 四、证明圈 正明：(1》因为X服从【日，日+1)上的均匀分布，所以X的数学期望 00-4g9=0+分 2 又因为X,X:,,X。是一组样本，因此样本均值了的数学期望 B万=EX)=0+号#0.放X不是9的无编估计： 2 (8分) (四利稠矩估计方法，◆0=天，即0+兮了，做0的矩结计为家- 又因为又-引=0.如它是0的无衡估计. (7分)
6. 解：因为随机变量 X ~ N(−3, 1) ，Y ~ N(2, 1) ，且 X 与 Y 相互独立，所以利用正 态随机变量的可加性（或再生性）可知 Z = X − 2Y + 7 仍服从正态分布； （3 分） 又因为 E(Z) = E(X ) − 2E(Y) + 7 = −3 − 2 2 + 7 = 0, D(Z) = D(X ) + 4D(Y) = 1+ 41 = 5 ，（2 分） 由此可知所求的概率密度为 ) 10 exp( 10 1 ( ) 2 z f z Z = − 。 （2 分） 7. 解：（1）因为 6 1 ( , ) 0 3 0 2 A p x y dxdy A e dx e dy x y = = = + − + − + − + − ，所以 A = 6 ； （4 分） （2） ( ) ( , ) 6 6 2 ( 0) 2 0 2 3 0 (2 3 ) = = = = − + − − + − + + − p x p x y dy e dy e e dy e x x y x y x X 。 （3 分） 四、证明题 证明：（1）因为 X 服从[ , +1]上的均匀分布，所以 X 的数学期望 2 1 2 ( 1) ( ) = + + + = E X ； 又因为 X X X n , , , 1 2 是一组样本，因此样本均值 X 的数学期望 = = + 2 1 E(X ) E(X ) ，故 X 不是 的无偏估计； （8 分） （2）利用矩估计方法，令 E(X) = X ，即 + = X 2 1 ，故 的矩估计为 2 1 X − ， 又因为 = − 2 1 E X ，知它是 的无偏估计。 （7 分）