综合拆习 中央电大教育学院朱晓钩 一，函数定义域的确定 1,求函数fx)=x2-x-2)+。的定文城 Vx+2 (注意：易见的错误：(1)忽略了分母不能为零的因素，从而得到x+220:(2)误 认为分母必颈大于零，从而得到Vx+2>0》 2.求函数f(x)=arcco 的定义域 V2x-1 (注意：如果不清楚（)=arccosn和#■√v中的耻应取公共值，会产生以下错误的 结果：(1) 20造忘了f=的定义城1(2) 2x-1 2x-1≠0 2x-1≠0 M=√F的值城域它的定义域) 品的定义城是刨，求香数+引(-》的定义城 （注盒，常更的错瑞因为0≤x5L所以子x+兮号() 的定义域是 号用样地有分(-)的定文拔是-分因此 人》不-)的定义装是·表面上看爷案设有的误，其实 *》- 的定义域军是错美的。主要原因是没有弄清f()和f(x)表示月一个 函数) 二、函数特性的讨论 1时论函数fx)=Nx+V+1(-0,o)的单调性
综合练习 中央电大教育学院 朱晓鸽 一、函数定义域的确定 1．求函数 2 ( ) lg( 2) 2 + = − − + x x f x x x 的定义域 （注意：易犯的错误：（1）忽略了分母不能为零的因素，从而得到 x + 2 o ；（2）误 认为分母必须大于零，从而得到 x + 2 0 ） 2．求函数 2 1 ( ) arccos − = x x f x 的定义域 （注意：如果不清楚 f (u) = arccosu 和 u = v 中的 u 应取公共值，会产生以下错误的 结果：（1） − − 2 1 0. 0, 2 1 x x x 遗忘了 f (u) = arccosu 的定义域；（2） − − − 2 1 0. 1, 2 1 1 x x x 遗忘了 u = v 的值域或它的定义域） 3．设 f (x) 的定义域是 0,1 ，求函数 + − + 2 1 2 1 f x f x 的定义域 （注意：常见的错误：因为 0 x 1, 所以 + + 2 1 , 2 3 2 1 2 1 x f x 的定义域是 , 2 3 2 1 x 同 样 地 有 − − − 2 1 , 2 1 2 1 2 1 x f x 的 定 义 域 是 , 2 1 2 1 − x 因此， + − + 2 1 2 1 f x f x 的 定 义 域 是 2 1 x = 。 表 面 上 看 答 案 没 有 错 误 ， 其 实 − + 2 1 , 2 1 f x f x 的定义域都是错误的。主要原因是没有弄清 f (u) 和 f (x) 表示同一个 函数） 二、函数特性的讨论 1 讨论函数 ( ) ln( 1)( , ) 2 f x = x + x + − 的单调性
2。确定函登y=口的奇偶性 3.函数y■s功2x是周期函数吗？ 三、复合函数 1.设f()= L·求f-fx+f哪 x.zL 2.设f（x)= x24<1 与gx)=gx,g(x和gUx 四、极限定义的使用 23=0 1.利用定义证明极限：用5-N定义证明m 2.利用6-8定义证明m x24 1x+13 利用定义证用：高当→时为无窃大 冬利阳高数餐限定义延用职功 5.设数列x.有界。又m少=0，正明mx人.=0 五、极限计算 x-snx 1.im 0-XC0SX 2) = 六，证题方法综运 一元函数微积分中会有许多论证思，初学者往往觉得比较困难，不知如何入手。现在介 绍一线思考日思的方法以及证题的表达方式。 思考的过程就是推理论证的过程，一般有以下几件方法： 1,逆向思维法，即通常讲的解析法：思考时先假定结论成立。看它应满足什么条件， 再根据这些条件分析研究看它们门成立又必须具答什么条件，这样建步逆推，直到与己知事实 符合
2．确定函数 x x y = 的奇偶性 3．函数 y x 2 = sin 是周期函数吗？ 三、复合函数 1．设 x f x − = 1 1 ( ) ，求 f (−1), f (x +1), f ff (x) 2．设 = . 1. , 1; ( ) 2 x x x x f x 与 g(x) = lg x ，求 fg(x) 和 gf (x) 四、极限定义的使用 1．利用定义证明极限：用 −N 定义证明 0 3 lim 2 = → n − n n 2．利用 − 定义证明 3 4 1 lim 2 2 = → x + x x 3．利用定义证明 x x f x − = 1 ( ) 2 ，当 x → 时为无穷大 4．利用函数极限定义证明 = → 2 −1 1 lim 0 x x 5．设数列 n x 有界，又 lim = 0 → n n y ，证明 lim = 0 → n n n x y 五、极限计算 1． x x x x x x cos sin lim 0 − − → 2． − − → 1 1 1 lim 0 x x x e 3． x x x tan 1 lim →+ 六、证题方法综述 一元函数微积分中会有许多论证题，初学者往往觉得比较困难，不知如何入手。现在介 绍一些思考问题的方法以及证题的表达方式。 思考的过程就是推理论证的过程，一般有以下几种方法： 1．逆向思维法，即通常讲的解析法：思考时先假定结论成立，看它应满足什么条件， 再根据这些条件分析研究看它们成立又必须具备什么条件，这样逐步逆推，直到与已知事实 符合
2,直接思维法，思考步骤与1恰好相反，它是由因导果，即圆烧所给的己知条件，再 根据定义，定理逐步推理，最后导出结论： 3,综合思雄法，有时无论从己知条件出发还是从结论逆向推导都难以进行，雷要从正， 反两个方向同时思考，先覆察结论成立需要什么条件，看能否推出这些条件，逐步两面常找， 最后达到一政。 4,否定思维法，有时证思从正面思考不易得出结论。这是可以从反面考虑，先假定结 论不成立，逐步推出与已知事实不符合的条件，从而说明结论是正确的。 推理完成后，应如何表达呢？一般有 直接证法，反证法、解析法
2．直接思维法，思考步骤与 1 恰好相反，它是由因导果，即围绕所给的已知条件，再 根据定义、定理逐步推理，最后导出结论。 3．综合思维法，有时无论从已知条件出发还是从结论逆向推导都难以进行，需要从正、 反两个方向同时思考，先观察结论成立需要什么条件，看能否推出这些条件，逐步两面靠拢， 最后达到一致。 4．否定思维法，有时证题从正面思考不易得出结论，这是可以从反面考虑，先假定结 论不成立，逐步推出与已知事实不符合的条件，从而说明结论是正确的。 推理完成后，应如何表达呢？一般有 直接证法、反证法、解析法