应用展论统计镰合练习(3) 中央电大教育学院朱晓鹤 一，填空题（本大题共有10个小题，每小题3分》 1.设A、B为两个随机事件，“A、B都不发生“用事件运算关系可表述为 2.设A、B为两个随机率件，P(A)=0.4,PYAU)=0.7,则当A、B互不相容 时，P代的=：而当A、B相互独立时，P风)= 3.设离散型随机变量X服从参数为>O)的普阿松分布，已知严X=)=代X=2), 则元= 4,对于随机变量X,函数F(x)■P八X≤x)称为X的 5.设X与Y是两个相互鞋立的随机变量，DX)、D门分别为其方差。则 D(X+Y)=_ 6.若随机变量X服从正态分布N(从，a)。则其概率密度函数风x)”一 7,设随机变量X的数学期望E(X)=4,方差DX)=G2,则由哭比雪夫不等式， 有PX-425o≤ 8.设日是未知参数是8的一个估计，如知果对任意0，均有E,(=日成立，则除d是日 的估计： 9,设随机变量X一N(1,2),X,X:,“,X,为取自X的简单随机杆本，则统计量 R-1 21a 服从参数 为的正态分布： 10.设X,X,,X。是米自正态总体N4,c2)的简单随机样木，且02=1.69，则当 检验假设为H。:H=3S时，应采用的统计量为 二、判断题：若对，打“√”：若错，打“×”（本大题共有10个小题，每小恩2分） 1,设A、B、C表示3个事件，则AUBUC表示事件“A、B、C都不发生
应用概论统计综合练习(3) 中央电大教育学院 朱晓鸽 一、填空题（本大题共有 10 个小题，每小题 3 分） 1．设 A、B 为两个随机事件，“ A、B 都不发生”用事件运算关系可表述为 ； 2．设 A、B 为两个随机事件， P(A) = 0.4 ， P(A B) = 0.7 ，则当 A、B 互不相容 时， P(B) = ；而当 A、B 相互独立时， P(B) = ； 3．设离散型随机变量 X 服从参数为 (＞0) 的普阿松分布，已知 P(X =1) = P(X = 2) ， 则 = ； 4．对于随机变量 X ，函数 F(x) = P(X x) 称为 X 的 ； 5．设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量， D(X )、D(Y) 分别为其方差，则 D(X + Y) = ； 6．若随机变量 X 服从正态分布 ( , ) 2 N ，则其概率密度函数 p(x) = ； 7．设随机变量 X 的数学期望 E(X ) = ,方差 2 D(X) = ,则由契比雪夫不等式, 有 P{ X − 5} ； 8．设 ˆ 是未知参数是 的一个估计，如果对任意 ，均有 ) = ˆ E ( 成立，则称 ˆ 是 的 估计； 9．设随机变量 X N X X Xn ~ (1,2 ), , , , 1 2 2 为取自 X 的简单随机样本，则统计量 n X 2/ −1 服从参数 为 的正态分布； 10.设 X X Xn , , , 1 2 是来自正态总体 ( , ) 2 N 的简单随机样本，且 1.69 2 = ，则当 检验假设为 H0 : = 35 时，应采用的统计量为 。 二、判断题：若对，打“√”；若错，打“×” （本大题共有 10 个小题，每小题 2 分） 1．设 A、B、C 表示 3 个事件，则 A B C 表示事件“ A、B、C 都不发生”；
() 2.XX,,X,是来自于总体N以，a)的样本，则又.之X,服从N4,O)分 布： () 3,设随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(黑，y),其边蜂分布函数Fx()是 lim F(x,y):( 4.设0--0<x<+0},A-0≤x<2},B-1≤x<3,则AB表示0<x< 5.若事件A与B互斥。则A与B定相互独文： 6,对于任意两个事件A、B,必有AUB=A∩B: 7.若A、B为两个事件，则必有ABAB=卫（全集方 () 8.设随机变量5的方差D5-1,且1=5+B(a、B为非零常数)，则Dn为a2+B: () 9,设面机变量(X)服从二维正态分布。则X与了相互鞋立的充要条件是它们不相 关： ) 10.设总体X一N(4,),X,X:,X,是米自于总体的样本，则 i=X+X:+X,是的无偏估计量。() 三，计算圈（本大题共有7个小题，每小思5分） 1,己知随机变量X服从二项分布，且E(X门=2.4，DX)-144,试求二项分布的 参数n,P的值。 2,设X~N(-3.2):试求X的概率密度为f(x)。 3.设有10个零作，其中2个是次品，现随机拍取2个，求“恰有一个是正品”的顺率， 4,己知离散型随机变量X服从参数为2的普阿松分布，即
（ ） 2． X X Xn , , , 1 2 是来自于总体 ( , ) 2 N 的样本，则 = = n i X i n X 1 1 服从 ( , ) 2 N n n 分 布； （ ） 3．设随机向量 (X , Y) 的联合分布函数为 F(x, y) ，其边缘分布函数 F (x) X 是 lim F(x, y) y→+ ； （ ） 4．设 = x | −＜x＜+ ，A = x | 0 x＜2，B = x |1 x＜3 ，则 AB 表示 x | 0＜x＜1 ； （ ） 5．若事件 A 与 B 互斥，则 A 与 B 一定相互独立； （ ） 6．对于任意两个事件 A、B ，必有 A B = A B ； （ ） 7．若 A、B 为两个事件，则必有 AB AB = （全集）； （ ） 8．设随机变量 的方差 D =1 ，且 = + （ 、 为非零常数），则 D 为 + 2 ； （ ） 9. 设随机变量 (X,Y) 服从二维正态分布，则 X 与 Y 相互独立的充要条件是它们不相 关； （ ） 10．设总体 X ~ N(, 1)， X1 , X 2 , X3 是来自于总体的样本，则 1 2 3 ˆ = X + X + X 是 的无偏估计量。 （ ） 三、计算题（本大题共有 7 个小题，每小题 5 分） 1．已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X ) = 2.4 ， D(X ) =1.44 ，试求二项分布的 参数 n ， p 的值。 2．设 ~ ( 3, 2 ) 2 X N − ，试求 X 的概率密度为 f (x) 。 3．设有 10 个零件，其中 2 个是次品，现随机抽取 2 个，求“恰有一个是正品”的概率。 4．已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的普阿松分布，即
x--2e ，k=01,2…,试求随机变最Z=3X-2的数学期望。 5.设随机变量X与Y相互独立且均服从N(0)分布，试求Z=X+Y的概率密度. 6.设总体X的服率密度为f(x,)= e-0.x20 ,X,X,X,为总体X的样 0,x<B 本，试求0的矩估计量。 7,设总体X一N(6010),从总体X中拍取一个容量为25的样本，求样本均值X与 总体均值之差的绝对值大于2的顺率。（已知标准正态分布的分布网数=0.8413）. 四、证明题（本题15分） (X,-)是 设（化.X,X,)是取白总体NQ。)的样本，试证明统计量】 总体方差。的无偏估计量
, 0,1,2, ! 2 ( ) 2 = = = − k k e P X k k …，试求随机变量 Z = 3X − 2 的数学期望。 5．设随机变量 X 与 Y 相互独立且均服从 N(0, 1) 分布，试求 Z = X + Y 的概率密度。 6．设总体 X 的概率密度为 = − − x e x f x x 0, , ( , ) ( ) ，X X X n , , , 1 2 为总体 X 的样 本，试求 的矩估计量。 7．设总体 ~ (60, 10 ) 2 X N ，从总体 X 中抽取一个容量为 25 的样本，求样本均值 X 与 总体均值之差的绝对值大于 2 的概率。（已知标准正态分布的分布函数 (1) = 0.8413 ）。 四、证明题（本题 15 分） 设 ( , , , ) X1 X2 Xn 是取自总体 (0, ) 2 N 的样本，试证明统计量 = − − n i Xi X n 1 2 ( ) 1 1 是 总体方差 2 的无偏估计量
参考答案 一，填空题 1.AB 20.3:05: 32 4.分布函数 5.D(X)+D(Y) av2t 1 15 8无偏 9.(0,) 1aR-3 1.3 二、判断圈 .错 2错 3对 4错 反错 6对 7.错 8错 9.对 10.错 三、计算圈 1,解：因为面机变量X一M,P),所以
参考答案 一、填空题 1． AB 2. 0.3 ； 0.5 ； 3. 2 4. 分布函数； 5. D(X ) + D(Y) 6. 2 2 2 ( ) 2 1 − − x e ； 7. 25 1 ； 8.无偏 9. (0,1) 10. 1.3 n(X − 35) 二、判断题 1．错 2. 错 3. 对 4. 错 5. 错 6. 对 7. 错 8. 错 9. 对 10.错 三、计算题 1．解：因为随机变量 X ~ B(n, p) ，所以
E(X)=p,DX)=1-P),《4分) 由此可得p=2.4.p1-P)=1.44,解得n■6，P=04:(3分) 2解：因为面机变量X服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式 1 f(x)=- (-0<x<+0):(4分) 280 进而，将“=一3口=2代入上述表达式可得所求的密度函数为： 八x)= 2 -e(-0<x<4):(3分) 3解：从有2个次品的0个零件中任意取两个零件的取法总数为：刀=C=45:(3 分) 而取出的2个零件中恰有一个是正品的取法数为：两=CC=16:(3分) 从面利用古具概型的概率计算公式可得所求的薇率为户=”=6 n45 (1分) 4.解：因为随机变量X服从参数为2的普阿松分布，即 PX--2e2,k-012.,所以X的数学期型EX)=2: (3分) 从而利用数学期望的线性性质可得E(Z)=3E(X)-2=3×2-2=4。(4分) 反解！因为面机变量X与Y相互鞋立且均服从N(O.)分布，所以利用正态随机变量 的可加性（或再生性）可知Z=X+了仍服从正态分布： (3分) 又因为E(Z)=E(X)+E(Y)=0+0=0DZ)=D(X)+DY)=1+1=2,(2 分) 由此可知所求的概率密度为2)=-). (2分) 连：此题也可以利用分布函数法（即：先求Z的分布函数，然后再对其求导数）也可 以给出相应的结果。 6解-x0h-了e=1+0:4分) 由矩估计法如，令
E(X ) = np, D(X ) = np(1− p) ，（4 分） 由此可得 np = 2.4, np(1− p) = 1.44 ，解得 n = 6， p = 0.4 ；（3 分） 2. 解：因为随机变量 X 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式： ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) = − + − − f x e x x ； （4 分） 进而，将 = −3, = 2 代入上述表达式可得所求的密度函数为： f (x) = ( ) 2 2 1 8 ( 3) 2 − + + − e x x ；（3 分） 3. 解：从有 2 个次品的 10 个零件中任意取两个零件的取法总数为： 45 2 n = C10 = ；（3 分） 而取出的 2 个零件中恰有一个是正品的取法数为： 16 1 8 1 m = C2C = ； （3 分） 从而利用古典概型的概率计算公式可得所求的概率为 45 16 = = n m p 。 （1 分） 4. 解：因为随机变量 X 服从参数为 2 的普阿松分布，即 , 0,1,2, ! 2 ( ) 2 = = = − k k e P X k k …，所以 X 的数学期望 E(X ) = 2 ； （3 分） 从而利用数学期望的线性性质可得 E(Z) = 3E(X ) − 2 = 3 2 − 2 = 4 。 （4 分） 5. 解：因为随机变量 X 与 Y 相互独立且均服从 N(0, 1) 分布，所以利用正态随机变量 的可加性（或再生性）可知 Z = X + Y 仍服从正态分布； （3 分） 又因为 E(Z) = E(X ) + E(Y) = 0 + 0 = 0, D(Z) = D(X ) + D(Y) = 1+1 = 2 ， （2 分） 由此可知所求的概率密度为 ) 4 exp( 2 1 ( ) 2 z f z Z = − 。 （2 分） 注：此题也可以利用分布函数法（即：先求 Z 的分布函数，然后再对其求导数）也可 以给出相应的结果。 6. 解： = = + − + = + − − ( ) ( ; ) 1 ( ) E X xf x dx x e dx x ； （4 分） 由矩估计法知，令
1-0=x (2分) 得参数日的矩估计量日=-XaB。(1分) 7.解：因为总体X~N(60,10),若将从该总体X中拍取容量为25的样本记为 X,XXg则样本均值R=) X.-N6, 02 (3分) 25台 因而所求的概率为P四X-601>2)= 1-60、2 10/510/5 21-w1月=03174. (4分) 四、证明题 证明：因为(X,X:…X)是取自总体N0,c2)的样本，所以 E0x9)=+(acx=a,Bi)=i0+(E0r- (7 分) 2x-r=品2x-2xR+)） 点区-空xR+网 位{位a (nG-n× n- 因此立X-矿是总体方整的无横估计量。8分
1−＝X （2 分） 得参数 的矩估计量 ˆ ＝1− X = ˆ 。 （1 分） 7. 解：因为总体 ~ (60, 10 ) 2 X N ，若将从该总体 X 中抽取容量为 25 的样本记为 1 2 25 X , X , , X ，则样本均值 = = 25 1 2 ) 25 10 ~ (60, 25 1 k X Xk N ； （3 分） 因而所求的概率为 2[1 (1)] 0.3174 10/ 5 2 10/ 5 60 (| 60 | 2) = − = − − = X P X P 。 （4 分） 四、证明题 证明：因为 ( , , , ) X1 X2 Xn 是取自总体 (0, ) 2 N 的样本，所以 2 2 2 E(Xi ) = D(Xi ) + (E(Xi )) = ， n E X D X E X 2 2 2 ( ) ( ) ( ( )) = + = ； （7 分） 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 ( 2 ) 1 1 ( ) 1 1 − = − = − − = − − = − + − = − + − = − − = = = = = = n n n n E X nE X n E X nX n E X X X nX n X X X X n X X E n E n i i n i i n i i n i i n i i i n i i 因此 = − − n i Xi X n 1 2 ( ) 1 1 是总体方差 2 的无偏估计量。 （8 分）