北京理工大学理学院力学系：《工程力学》第八章 虚位移原理（8-4）虚位移原理（韩斌）

程学(C) (20) 北京理工大学理学队力学系韩斌

工程力学（C） 北京理工大学理学院力学系 韩斌 (20)

§8.4虚位移原理 虚位移原理 具有双面理想约束的质点系,在某一位置能继续 保持静止平衡的充要条件是: 作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位 移上做的虚功之和等于零。即: 虚功方程8W=∑F所=0(832) 虚位移原理是分析(静)力学的基本原理。 虚位移原理可用于求解刚体系统的静止平衡问题

§8.4 虚位移原理 1. 虚位移原理 具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续 保持静止平衡的充要条件是： 虚位移原理是分析（静）力学的基本原理。 虚位移原理可用于求解刚体系统的静止平衡问题。 作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位 移上做的虚功之和等于零。即： 0 1  =   = = i n i i W F r   虚功方程   （8.32）

对于理想约束、且无弹簧连接的刚体系统: δW=∑F·=∑δW=0 对于有弹簧连接的刚体系统或变形体: 6W=∑6W外+∑8W=0 对于非理想约束,可将其约束力视为主动力。 若系统全部为有势力作功时,虚功方程为 6W=-8=0 O|=0 (8.33)

对于理想约束、且无弹簧连接的刚体系统： 对于有弹簧连接的刚体系统或变形体： 0 1 ( ) 1  =   =   = = = n i i n i W Fi ri W 外      0 1 ( ) 1 ( )  =   +  = = = m i i n i W Wi W 外 内    对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。 若系统全部为有势力作功时，虚功方程为 W = −V = 0  V = 0 （8.33）

比较§7与§8: 条件应用的系统平衡的含义 单个刚体 7.2=0(充要条件)相对惯性系静止 力系的 平衡∑M1=0 刚体系统 或匀速直线运动 (必要条件) §8 虚位移∑8W=0刚体系统相对惯性系静止 原理 (充要条件)

比较§7 与§8 ： 条件 应用的系统 平衡的含义 §7 力系的 平衡 单个刚体 （充要条件） 相对惯性系静止 刚体系统 或匀速直线运动 （必要条件） §8 虚位移 原理 刚体系统 （充要条件） 相对惯性系静止 Fi = 0  M A = 0    = 0  Wi

2.虚位移原理的应用 虚功方程δW=∑F·=0(832) i=1 (1)对自由度为k的系统(机构)—有k个独立的广 义坐标、k个独立的广义虚位移 虚功方程W=∑F J ∑∑ )1=0(834) 1i=1 →k个独立方程已知平衡位置,求此时各主动 01k1力之间关系 已知各主动力,求平衡时的位置

2. 虚位移原理的应用 0 1  =   = = i n i i W F r   虚功方程   （8.32） （1）对自由度为k的系统（机构）——有k个独立的广 义坐标、k个独立的广义虚位移 虚功方程 ( ) 0 ( ) 1 1 1 1 1 =   =     =  =       = = = = = j j i k j n i i j k j j i n i i i n i i q q r F q q r W F r F           （8.34） k个独立方程 已知平衡位置，求此时各主动 力之间关系 已知各主动力，求平衡时的位置 0 1 =     = n i j i i q r F   j=1,…k

(2)对自由度为零的系统(静定结构)—求约 束处的约束力 自由度为零,系统无虚位移 解除一个约束,代之以 系统变为k=1的机构, 相应的待求约束力(视匚一 为未知大小的主动力) 按(1)求解未知约束力 若求多个约束力,可依次解除相应约束,每次求出 个约束力

（2）对自由度为零的系统（静定结构）——求约 束处的约束力 自由度为零，系统无虚位移 解除一个约束，代之以 相应的待求约束力（视 为未知大小的主动力） 系统变为k=1的机构， 按(1)求解未知约束力 若求多个约束力，可依次解除相应约束，每次求出 一个约束力

解题指导 (1)对系统,正确写出虚功方程: W=∑W=0 (8.32) ∑δW是全部作功的力的虚功之和—正确找出 全部作功之力, 正确写出虚功 (2)虚功方程6W=∑6W=∑F=0中 的虚位移,必须表示为独立的虚位移的形式 (3)整理虚功方程,令虚功方程中各独立虚位移前 面的系数为零

解题指导 （1）对系统，正确写出虚功方程： W = Wi = 0 （8.32） Wi 是全部作功的力的虚功之和——正确找出 全部作功之力， 正确写出虚功 （2）虚功方程 中 的虚位移，必须表示为独立的虚位移的形式 0 1  =   =   = = i n i i i W W F r      （3）整理虚功方程，令虚功方程中各独立虚位移前 面的系数为零

⑩例题 例题5 §8虚位移原理 6 杆OD、CE、CB、DB,弹簧AB,刚度为k,弹 簧未变形时O=6,OA=AE=AD=AC=CB=DB=,求 当0角为平衡位置时,P=?

例 题 5 §8 虚位移原理  例题 杆OD、CE、CB、DB，弹簧AB，刚度为k，弹 簧未变形时 ，OA=AE=AD=AC=CB=DB=l,求 当θ角为平衡位置时，P＝？  = 0 A B C E D P  O 

⑩例题 例题5 §8虚位移原理 解:1分析 系统自由度为1,可6 选0为广义坐标。 F 系统中作功的力 P 主动力P,弹簧力,E D 系统为理想约束系统,各铰处的约束力不作功。 2列虚功方程 方法 拆除弹簧AB,用F、F表示弹簧对刚体系统的作用 弹簧伸长量=2/snb-2/snB 故弹簧力的大小为F=F=k2=2l(sn-sn0k

解：1.分析 拆除弹簧AB，用 F 、 表示弹簧对刚体系统的作用  F  系统为理想约束系统，各铰处的约束力不作功 。 F = F' k 2l(sin sin )k =  =  −  0 A B C E D P  O  例 题 5 §8 虚位移原理  例题 F  F 系统自由度为  1，可 选θ为广义坐标。 2.列虚功方程 系统中作功的力： 主动力 P ，弹簧力，  0 弹簧伸长量  = 2lsin  − 2lsin  故弹簧力的大小为 方法一 l l l l l l

⑩例题 例题5 §8虚位移原理 建立坐标系Oxy,各 力的虚功表示为:A B SWp=Par P SWE= FA D 6Wn,=-F8 B 利用解析法建立虚位移的关系 r=l sin 6 &x=lcos ese x=3 sin 0 求变分 &x B 3l cos 6s0

例 题 5 §8 虚位移原理  例题 A B C E D P  O  F  F  建立坐标系Oxy,各 力的虚功表示为： P B W = Px x y F A W = Fx F B W  = −Fx 利用解析法建立虚位移的关系： xA = lsin xB = 3lsin xA = l cos xB = 3l cos 求变分 l l l l l l