程学(C) (下册) (25) 北京理工大学理学队力学系韩斌
工程力学（C） 北京理工大学理学院力学系 韩斌 ( 25) （下册）
§12扭转 §12.1圆轴扭转时的应力分析 1.扭转的概念 4种基本变形(轴向拉压、剪切、扭转、弯曲)之 特点 圆截面轴(实心、空心) 几何—直杆(轴 非圆截面轴 外力—仅有轴横截面内的外力偶 内力—横截面上只有扭矩 变形横截面绕轴线转动,任意两横截面产 生相对扭转角
§12 扭转 §12.1 圆轴扭转时的应力分析 1. 扭转的概念 4种基本变形（轴向拉压、剪切、扭转、弯曲）之一 特点： 几何——直杆（轴） 圆截面轴（实心、空心） 非圆截面轴 外力——仅有轴横截面内的外力偶 内力——横截面上只有扭矩 变形——横截面绕轴线转动，任意两横截面产 生相对扭转角
例如,传动轴:主动轮1,从动轮2,3 已知:轴的转速—n(转分,r/min) 该轮传递的功率(输入或输出)—N(KW 则该轮处的外力偶矩为: M,(Nm)=9549N(KW) r/min 主动轮或输入功率处M与n同向; 从动轮或输出功率处M与n反向
例如，传动轴：主动轮1，从动轮2，3 1 2 3 Mt1 Mt2 Mt3 已知：轴的转速—— n (转/分，r/min) 该轮传递的功率（输入或输出）—— N (KW) 则该轮处的外力偶矩为： ( / min) ( ) ( ) 9549 n r N KW Mt N m = 主动轮或输入功率处Mt与n 同向； 从动轮或输出功率处Mt与n 反向
若已知: 30KW 40KW n=300 r/min 70KW 70 M,1=9549=9549=2228.1N·m 300 30 ,2=9549=954.9N·m 300 40 M.,=9549=1273.2N.m 300
1 2 3 Mt1 Mt2 Mt3 N m n N Mt = = = 2228.1 300 70 1 9549 9549 Mt = = 954.9N m 300 30 2 9549 Mt = =1273.2N m 300 40 3 9549 70KW 30KW 40KW n=300 r/min 若已知：
2228.1Nm 954.9N●m 1273.2N·m x 2228.1Nr 1273.2Nm 7(x)=2228.1N·m7(x2)=1273.2N·m2 2228.1Nm 1273.2Nm
2228.1N•m 954.9N•m 1273.2N•m x1 x2 2228.1N•m T(x1 ) 1273.2N•m T(x2 ) T(x1 ) = 2228.1N m T(x2 ) =1273.2N m (T) 2228.1N•m 1273.2N•m
2.圆轴扭转应力分析 (1)圆轴扭转变形几何关系 单元体:纯剪切□y 变形后观察:轴向线,仍为直线,长短不变,倾斜γ角 圆周线,大小形状不变,绕杆轴转动 圆轴扭转平面假定:横截面变形后仍为平面, 形状大小不变,绕杆轴转过一个角度
2. 圆轴扭转应力分析 （1）圆轴扭转变形几何关系 Mt Mt 单元体：纯剪切 变形后观察：轴向线，仍为直线，长短不变，倾斜角 圆周线，大小形状不变，绕杆轴转动 圆轴扭转平面假定：横截面变形后仍为平面， 形状大小不变，绕杆轴转过一个角度
T¨“∵:"¨"r 02表层处的单元体ABCD R A B 的切应变 d B bb Rd D R R Ab dx dx
R B’ C’ R d 表层处的单元体ABCD 的切应变： dx d R dx Rd AB BB R = = = O1 O2 A B D C dx R
dx 距离杆的轴线O1O2 半径为p处的单元体 B 丿YR d的切应变为: D de dx 其中=“0称为单位长度的扭转角 在某一横截面上dq=常数 dx 在横截面上半径为ρ处切应变y∝P 且y⊥半径
dx d dx d = = (a) R O1 O2 A B D C B’ C’ d dx 距离杆的轴线O1O2 半径为处的单元体 的切应变为： 其中 dx d = 称为单位长度的扭转角 在某一横截面上 = dx d 常数 在横截面上半径为 处切应变 ， 且 半径 ⊥ T
(2)物理关系 由剪切胡克定律x=G re=Go up (b) dx 故横截面上半径为ρ处切应力τ。∝p 圆心p=0处,v20=0 T 圆截面周边=R处,vR=mx 横截面上切应力沿半径三角形 分布,且方向垂直于半径。 max
（2） 物理关系 由剪切胡克定律 dx d G G = = （b） 故横截面上半径为 处切应力 圆心 =0处， 0 =0 = 圆截面周边 =R处， max =R = 横截面上切应力沿半径三角形 分布，且方向垂直于半径。 T max max
odo=p dx do (a)p=Gy=Gp dp (b) p dx x (3)静力学关系 横截面上分布切应力构成的合 力偶矩就是该截面上的扭矩T T PGp-dA=G 称为截面极惯性矩单位:mcmm4 记几何量|=24(121) T=G dr oda=G ap dx 由此可求出4 max
（3）静力学关系 dx d dx d = = (a) dx d G G = = （b） T max max dA 横截面上分布切应力构成的合 力偶矩就是该截面上的扭矩T dA dx d dA G dx d T dA G A A A = = = 2 称为截面极惯性矩,单位：m4 ,cm4 ,mm4 记几何量 I dA A p = 2 (12.1) 由此可求出 dx d dx d dA G I dx d T G p A = = 2 (c)
