北京理工大学理学院力学系：《工程力学》第十九章（19-3）动能定理（韩斌）

工程力学(C (下册) (35) 北京理工大学理学陨力学系韩斌

北京理工大学理学院力学系 韩斌

§193动能定理 动能定理质点或质点系的动能改变量与作用力的 功之间的数量关系。 1.质点的动能定理 由牛顿第二定律有m d=F两边点乘t dt dν vdt·m=dr·F mv·dv=F·dF d t 左端=m5=(m,)=d my dT 2 右端=FdF=dW(作用于质点上的 合力F的元功) 质点动能定理的微分形式d7=dW(1921) 质点动能的微分等于作用于质点上的合力的元功

§19.3 动能定理 1. 质点的动能定理 动能定理——质点或质点系的动能改变量与作用力的 功之间的数量关系。 F t v m    d d 由牛顿第二定律有 r F t v v t m       d  d d d mv v mv v  mv dT 2 1 d d 2 1 d 2                 左端  F dr  dW   右端 （作用于质点上的 合力 F 的元功）  质点动能定理的微分形式 dT  dW (19.21) 质点动能的微分等于作用于质点上的合力的元功 mv v F r     d   d 两边点乘vdt  F m  v 

质点动能定理的微分形式7=dW(19.21) 或写为 dt d'w dt dt 若质点从t1—t2,沿路径L从位 置1—位置2,则有: T2-t= d t=dw=F dr =W12 质点动能定理 的微分形式 72-7=W12(19.22 质点在某一运动过程中动能的改变量等于作用 于质点上的合力在同一运动过程中所作的功

质点动能定理的微分形式 dT  dW (19.21) dt d W dt dT  或写为  F m  v  1 v  1 t 2 v  2 t L 若质点从 — ，沿路径L从位 置1—位置2，则有： 1 t 2 t 12 2 1 T2 T1 dT d W F dr W L L             T2 T1  W12 质点动能定理 (19.22) 的微分形式 质点在某一运动过程中动能的改变量等于作用 于质点上的合力在同一运动过程中所作的功

2.质点系的动能定理 对质点系中每个质点,都有式(1921成立: 求和 dt=dw ∑d=∑ i=1 ∑T=∑dW 令T=∑ 质点系动能定理的微分形式dT=∑dW(1923) 质点系动能的微分等于作用于质点系上的 全部力(外力和内力)的元功的代数和

2. 质点系的动能定理 对质点系中每个质点，都有式(19.21)成立: dTi d Wi   i n i dT d W 1     质点系动能定理的微分形式 (19.23) 质点系动能的微分等于作用于质点系上的 全部力（外力和内力）的元功的代数和 i n i i n i dT d W 1 1       求和 i n i i n i d T d W 1 1            i n i T  T   1 令

设在时间41—12的过程中,质点系发生了某一运动, W1为运动过程中质点系的所有外力所作的功 W,0)为运动过程中质点系的所有内力所作的功, 对式(1923)积分得到: 质点系动能定理的积分形式 71=W12=啊2+m1(19.24) 质点系的动能在某一运动过程中的改变量等于 作用于质点系的所有外力和内力在同一运动过 程中所作的功的代数和

设在时间 t1 — t 2 的过程中，质点系发生了某一运动， e W12 为运动过程中质点系的所有外力所作的功； i W12 为运动过程中质点系的所有内力所作的功， 对式(19.23)积分得到：   i 12 e T2 T1 W12 W12 W 质点系动能定理的积分形式 (19.24) 质点系的动能在某一运动过程中的改变量等于 作用于质点系的所有外力和内力在同一运动过 程中所作的功的代数和

质点系动能定理的微分形式dr=∑dWr|(9.23) 质点系动能定理的积分形式 2-T1=W2=W1+W (19.24) 注意 以上式中右端的功是全部外力和全部内力的功 般,系统的内力总是成对(大小相等,方 向相反)出现,故内力作功之和为零; 但也有成对的内力作功之和不为零,如: 系统内的弹簧力,摩擦力等

  i 12 e T2 T1 W12 W12 W 质点系动能定理的积分形式 (19.24) i n i dT d W 1     质点系动能定理的微分形式 (19.23) 注意 以上式中右端的功是全部外力和全部内力的功 一般，系统的内力总是成对（大小相等，方 向相反）出现，故 ； 但也有成对的 ，如： 系统内的 ， 等

3.质点系的力之功的计算(复习上册§8.3) W=∑dW=∑Fd W2=∑ (1)重力的功 重力的元功:aW=-m go 从位置1到位置2 重力作的有限功: g h 12=mg

3. 质点系的力之功的计算（复习上册 8.3）     L i i W F dr  12 （1）重力的功 z h 1 2 C mg W d W F r i i i i   d      d dW  mgdz W  mgh 12 重力的元功： 从位置1 到位置2 重力作的有限功：

(2)弹性力的功弹簧刚度系数k,原长l 伸长量=1-l0 弹性力的元功: 位置1 d'w=-knda 位置2 从位置1到位置2, 弹性力作的有限功: F=k(-0) = k(nf 任意位置

（2）弹性力的功 0 伸长量   l  l 弹簧刚度系数k，原长 0 l 1 l 位置1 2 l 位置2 弹性力的元功： dW  kd 从位置1 到位置2 ， 弹性力作的有限功： ( ) 2 1 2 2 2 W12  k 1   1 1 0   l  l 2 2 0   l  l l 任意位置 k F k l l t   (  ) 0

(3)约束力的功 对于理想约束,约束力均不作功(如:固 定光滑曲面约束,不可伸长柔绳的约束, 光滑固定铰支座,光滑的中间铰,纯滚动 时接触点的摩擦力和法向反力)

（3）约束力的功 对于理想约束，约束力均不作功（如：固 定光滑曲面约束，不可伸长柔绳的约束， 光滑固定铰支座，光滑的中间铰，纯滚动 时接触点的摩擦力和法向反力）。 D O A

(4)作用在刚体上的主动力系的功 设刚体受力系F作用,作平面运动 元功和有限功的计算方法1: dW=∑ ∑∫F 元功和有限功的计算方法2:任选A点 力系的主矢F R=∑ 力系对A点的主矩M4=∑m1(F) d'w= FR.dr+Mado Fn·dr,+ M,do

（4）作用在刚体上的主动力系的功 设刚体受力系 Fi 作用，作平面运动    i FR Fi   力系的主矢 力系对A点的主矩 ( )i i M A mA F    i i i d W F dr      i i L i W F dr     12  元功和有限功的计算方法 1 ： 元功和有限功的计算方法 2 ： 任选A点 d W  FR  drA  M A d   W FR drA M A d      2 1 2 1 12   Fi  A d A dr