程学(C) (下册) (37) 北京理工大学理学队力学系韩斌
工程力学（C） 北京理工大学理学院力学系 韩斌 ( 37) （下册）
§20动量原理 §20.5动量矩 20.51质点的动量矩(类比于力对点之矩、力对轴之矩 质点的动量对某点之矩0(m)=Fxm20.7) 若在点O建立直角坐标系Oxyz,则 j k omv ny my ny mlv2-2vv2+mlxvx-xv.J+mlxvv-yv L,i+L,j+Lk (20.18) x,y,z为质点的坐标 Wx,y,V2分别为质点的速度v在x,y,z轴上的投影
§20 动量原理 §20.5 动量矩 20.5.1.质点的动量矩 质点的动量对某点之矩 L (mv) r mv O = (20.17) 若在点O建立直角坐标系Oxyz，则 ( ) x y z O mv mv mv x y z i j k L mv = m(yv zv )i m(x v x v ) j m(x v yv )k z y x z y x = − + − + − x，y，z为质点的坐标， vx ，vy ，vz 分别为质点的速度 v在x，y，z轴上的投影。 x y z m O r v LO L i L j L k (20.18) x y z = + + （类比于力对点之矩、力对轴之矩）
k Lo(mv= x mlyv2-2vv)+m( -=)J+mxvy-yx =L, i+L,j+Lk 2018) 其中,质点动量对x,y,z轴之矩分别为: L=mlw -zv). L=m(xv -xv),L=mlxvy-yx) (20.19 质点动量对任意l轴之矩: 1=D(m)70 (20.20) 其中O为轴上任意一点。 xl轴
x y z m O r v LO 其中，质点动量对x，y，z轴之矩分别为： ( ) x y z O mv mv mv x y z i j k L mv = m(yv zv )i m(x v x v ) j m(x v yv )k z y x z y x = − + − + − L i L j L k x y z = + + (20.18) ( ) ( ) ( ) x z y y x z z y x L = m yv − zv , L = m x v − x v , L = m x v − yv (20.19) 质点动量对任意 l 轴之矩： 其中O为l 轴上任意一点。0 L L (mv) l l O = (20.20) l 轴
显然,质点对点的动量矩是一个定位矢量,而质点 对轴的动量矩是一个代数量。 当质点作平面运动时,动量对平面内 某点O之矩或对O轴之矩均为: ±mvh (20.21) 符号规定:(为正,⊙为负 20.52.质点系的动量矩 1质点系对固定点、固定轴的动量矩 设质点系中质点D相对于某一固定点O的矢径为, 动量为mv(=1,…,n) 质点系对某固定点O的动量矩L为: 0=∑m)=xm可(20.2)
显然，质点对点的动量矩是一个定位矢量，而质点 对轴的动量矩是一个代数量。 当质点作平面运动时，动量对平面内 某点O之矩或对Oz轴之矩均为： O v m LO = mvh （20.21） 符号规定：为正，为负 20.5.2. 质点系的动量矩 设质点系中质点 Di 相对于某一固定点O的矢径为 ri ， 动量为 mi vi 。 (i =1,2, ,n) Di i r i i m v x y z ( ) O i i i n i O i i n i O L L m v r m v = = =1 =1 (20.22) 质点系对某固定点O的动量矩 LO 为： 1.质点系对固定点、固定轴的动量矩
质点系对某一固定轴l的动量矩L为: miVi =∑Lm)(2023) 同理,质点系平面运动时,质点系动量 对平面内某点O之矩或对O轴之矩均为:轴 L=)±mvh (20.24) i=1 符号规定:(为正,⊙为负
质点系对某一固定轴 l 的动量矩 Ll 为： ( ) l i i n i l L L m v = = 1 (20.23) i r i i m v x y z O l 轴 = = n i O i i hi L m v 1 （20.24） 同理，质点系平面运动时，质点系动量 对平面内某点O之矩或对Oz轴之矩均为： O v 符号规定：为正，为负 m
2.质点系对动点的动量矩 设在惯性参考系中有任意一动点A,其速度为A 固连于动点4建立平移直角坐标系Ax3yz 质点系中质点D 相对矢径相对速度 万绝对矢径v绝对速度 1:+1 =1,2…,n)(20.25) 将质点系中各质点的绝对动量m对动2 点A的矩的矢量和定义为质点系对动点2v A的绝对动量矩,用L表示,即: 4=∑L(mni)=∑改(mn)(20.26)
2. 质点系对动点的动量矩 设在惯性参考系中有任意一动点A，其速度为 vA 。 固连于动点A建立平移直角坐标系 Ax y z ， i i A v v v = r + (i =1,2, ,n) (20.25) ( ) ( ) i i i n i A i i n i A L L m v r m v = = =1 =1 (20.26) x’ y’ z’ A v A O x y z mi i v i r ri v i r 将质点系中各质点的绝对动量 对动 点A的矩的矢量和定义为质点系对动点 A的绝对动量矩，用 LA 表示，即： i i m v i r 质点系中质点 Di vri 相对速度 vi 绝对速度 相对矢径 ri 绝对矢径
将质点系中各质点的相对动量m1n对动点A的矩的矢 量和定义为质点系对动点A的相对动量矩,用LA表示, 4=∑Dm)=∑改m)20.27) 质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系: 将式(2025代入式(20.26) L4=∑ ∑×m ∑/(m)+∑x(m A
将质点系中各质点的相对动量 对动点A的矩的矢 量和定义为质点系对动点A的相对动量矩，用 表示， 即： i i m vr r LA ( ) ( ) i i i n i A i i n i A L L m v r m vr 1 r r 1 r = = = = (20.27) x’ y’ z’ A v A O x y z mi i v i r ri v i r 质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系： 将式(20.25)代入式(20.26): ( ) ( ) 1 1 i A r i n i i i i n i A i L r m v r m v v = = + = = i A n i i r A i A n i i r i i n i i L rm v r m v r m v = + = + = = = ( ) ( ) ( ) 1 1 1
+C∑m)x 由质点系质心C相对于动点A nm r 的矢径公式 可得:m=∑ 故质点系对动点的绝对动量 矩和相对动量矩的关系为: 1=D4+x(m)2028) 其中为质点系质心C在动系中的 相对坐标,v为动点的绝对速度
x’ y’ z’ A v A O x y z mi i v i r ri v i r ( ) A A C A L L r mv = + r (20.28) i A n i i r A A L L rm v = + = ( ) 1 由质点系质心C相对于动点A 的矢径公式 可得： m m r r i i n i C = = 1 i n i rC m ri m = = 1 故质点系对动点的绝对动量 矩和相对动量矩的关系为： 其中 为质点系质心C在动系中的 相对坐标， 为动点的绝对速度。 C r A v
L4=L+×(m)2029) 若取动点A为质点系的质心C时,r=0,v=v故: C (20.30) 质点系对质心的动量矩,无论是在固定坐标系 还是在质心平移坐标系中计算都是相同的
( ) A A C A L L r mv = + r (20.29) 若取动点A为质点系的质心C时， 0 , C A C r v v = = 故： r LC LC = (20.30) 质点系对质心的动量矩，无论是在固定坐标系 还是在质心平移坐标系中计算都是相同的
3对惯性系中不同的A,O两点的动量矩之间关系 类比于力对不同两点的力矩之间的关系, 力对A,O两点之矩关系为mA(F)=m0(F+AO×F 故质点系对不同的A,O两点的动量矩的关系为 LA=o+AO×p (20.31) 注意、质点系对某点的动量矩不等 于质点系动量对该点之矩! 即L=∑Xm≠×=元x∑ A (见书上例2.4)
故质点系对不同的A，O两点的动量矩的关系为： LA LO AO p = + i n i i p m v = = 1 （20.31） 注意 质点系对某点的动量矩不等 于质点系动量对该点之矩！ 即 i n i i i C C i n i O i L r m v r p r m v = = = = 1 1 （见书上例22.4） 3.对惯性系中不同的A，O两点的动量矩之间关系 类比于力对不同两点的力矩之间的关系， 力对A，O两点之矩关系为 mA F mO F AO F ( ) = ( ) + A O F