材料力学教案第10讲教学方案平面图形的几何性质（I）基本内静矩和形心：惯性矩、惯性积和惯性半径。容1、掌握静矩和形心的概念和计算方法教学2、掌握惯性矩、极惯性矩、惯性半径和惯性积的概念和计算方法。3、掌握惯性矩和极惯性矩的关系。目4、了解当坐标轴为形心轴或对称轴时静矩或惯性积的特点。的5、熟知某些简单图形的惯性矩、极惯性矩。重点本节重点：描述平面图形几何性质的各种几何量的定义及计算。本节难点：某些平面图形几何性质的计算。难点
材 料 力 学 教 案 1 第 10 讲 教学方案 ——平面图形的几何性质（Ⅰ） 基 本 内 容 静矩和形心；惯性矩、惯性积和惯性半径。 教 学 目 的 1、掌握静矩和形心的概念和计算方法。 2、掌握惯性矩、极惯性矩、惯性半径和惯性积的概念和计算方法。 3、掌握惯性矩和极惯性矩的关系。 4、了解当坐标轴为形心轴或对称轴时静矩或惯性积的特点。 5、熟知某些简单图形的惯性矩、极惯性矩。 重 点 、 难 点 本节重点：描述平面图形几何性质的各种几何量的定义及计算。 本节难点：某些平面图形几何性质的计算
十讲第 附录工平面图形的几何性质S-1静矩和形心静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图1-1所示。定义式：S, =[zdA, S. =J, ydA(1-1)量纲为长度的三次方。由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标2c和yc。则A-zc =[-dA= S,由此可得薄板重心的坐标≥c为Jed4_ .一Zc=图1-1静矩的概念AAJo=s同理有A所以形心坐标(1-2)ye=或S, = A.ze, S. =A-yc由式（I-2）得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即yc=0S.=0；zc=0则S，=0；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第1块分图形的面积为A，，形心坐标为yc，=c，则其静矩和形心坐标分别为S.-24yo, S,-24zc(1-3)2
第 十 讲 2 附录Ⅰ 平面图形的几何性质 §Ⅰ-1 静矩和形心 静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1 所示。 定义式： A y S zdA ， A z S ydA （Ⅰ-1） 量纲为长度的三次方。 由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标 Cz 和 Cy 。则 y A C A z z dA S 由此可得薄板重心的坐标 Cz 为 A S A zdA z A y C 同理有 A S y z C 所以形心坐标 A S z y C ， A S y z C （Ⅰ-2） 或 y C S A z ， z C S A y 由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即 0 Cy ， 0 z S ； 0 Cz ，则 0 y S ；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过 图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。 如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第 I 块分图形的 面积为 Ai ，形心坐标为 Ci Ci y , z ，则其静矩和形心坐标分别为 i Ci n i z S A y 1 ， i Ci n i y S A z 1 （Ⅰ-3）
材料力学教案24ya24=dSyJe-S(1-4)2424例1-1求图1-2所示半圆形的S,S.及形心位置解：由对称性，yc=0，S.=0。现取平行R于轴的狭长条作为微面积dA图 1-2 dA = ydz = 2/R2 - 2 dz所以S,=Jzd4=2.2R-d-R4R3T读者自己也可用极坐标求解。例I-2确定形心位置，如图1-3所示解：将图形看作由两个矩形I和II组成，在图示坐标每个矩形的面积及形心位置分别为矩形1：A,=120×10=1200mm210=5mm,1202=60mmZcI =yci.Coazd矩形II：A,=70×10=700mm2Yc2=10+7010 =5 mm= 45mm,zc=Jao图1-3整个图形形心C的坐标为Je-Aya+AyeA, + A,1200×5+700×451200+700=19.7mm
材 料 力 学 教 案 3 n i i n i i Ci z C A A y A S y 1 1 ， n i i n i i ci y C A A z A S z 1 1 （Ⅰ-4） 例Ⅰ-1 求图Ⅰ-2 所示半圆形的 y z S , S 及形心 位置 解：由对称性， 0 Cy ， 0 z S 。现取平行 于 y 轴的狭长条作为微面积 dA dA ydz R z dz 2 2 2 所以 A y S zdA 3 0 2 2 3 2 z 2 R z dz R R 3 4R A S z y C 读者自己也可用极坐标求解。 例Ⅰ-2 确定形心位置，如图Ⅰ-3 所示。 解：将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，在图示坐标 下 每个矩形的面积及形心位置分别为 矩形Ⅰ： 120 10 1200 A1 mm2 5 2 10 yC1 mm， 60 2 120 zC1 mm 矩形Ⅱ： 70 10 700 A2 mm2 45 2 70 10 yC2 mm， 5 2 10 zC1 mm 整个图形形心C 的坐标为 19.7mm 1200 700 1200 5 700 45 1 2 1 1 2 2 A A A y A y y C C C
十讲第 A,zci+AzcA + A,1200×60+700×51200 + 700= 39.7mms 1 -2 惯性矩、惯性积和惯性半径惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图1-4所示。I,=-Jda, I,=Ly'dA(1-5)量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义医K(1-6)i=A"图1-4惯性矩的概念VA为图形对轴和对轴的惯性半径。组合图形的惯性矩。设「"，「为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为I,=21w, 1.-21.(1-7)若以P表示微面积dA到坐标原点O的距离,则定义图形对坐标原点O的极惯性矩I,=J,p'dA(1-8)因为p?= y?+2?所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系I, = (2 +2)4= 1, +1(1-9)式（I-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。下式Iy=J, yzdA(1-10)
第 十 讲 4 39.7mm 1200 700 1200 60 700 5 1 2 1 1 2 2 A A A z A z z C C C §Ⅰ-2 惯性矩、惯性积和惯性半径 惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ -4 所示。 A y I z dA 2 ， A z I y dA 2 （Ⅰ-5） 量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义 A I i y y ， A I i z z （Ⅰ-6） 为图形对 y 轴和对 z 轴的惯性半径。 组合图形的惯性矩。设 yi zi I , I 为分图形的惯性矩， 则总图形对同一轴惯性矩为 yi n i y I I 1 ， zi n i z I I 1 （Ⅰ-7） 若以 表示微面积 dA 到坐标原点 O 的距离,则定义图形对坐标原点 O 的极惯 性矩 A p I dA 2 （Ⅰ-8） 因为 2 2 2 y z 所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系 y z A p I y z dA I I 2 2 （Ⅰ-9） 式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的 极惯性矩。 下式 A yz I yzdA （Ⅰ-10）
材料力学教案定义为图形对一对正交轴=轴的惯性积。量纲是长度的四次方。「可能为正，为负或为零。若y，2轴中有一根为对称轴则其惯性积为零。例I-3求如图I-5所示圆形截面的1,，1,，1g，解：如图所示取dA，根据定义，I,=[ed4=-2/R--d-图 I-564由于轴对称性，则有1,=1-号(1-10a)1,=064,=1,+1,=D*由公式（1-9）(I-10b)32对于空心圆截面，外径为D，内径为d，则1,=1, - (-α)a=d(1-12a)64DZD32 (1-αl)(1-12b)例I-4求如图1-6所示图形的1，及1解：取平行于y轴的狭长矩形，由于dA=ydz，其中宽度随变化，=I,-JF'd=I-d-等图1-6则由-1d4，如图-8
材 料 力 学 教 案 5 定义为图形对一对正交轴 y 、 z 轴的惯性积。量纲 是长度的四次方。 yz I 可能为正，为负或为零。若 y ，z 轴 中有一根为对称轴则其惯性积为零。 例Ⅰ-3 求如图Ⅰ-5 所示圆形截面的 y z yz p I ,I ,I ,I 。 解 ： 如 图 所 示 取 dA ， 根 据 定 义 ， 64 2 4 2 2 2 2 2 2 D I z dA z R z dz D D A y 由于轴对称性，则有 y z I I 64 4 D （I-10a） 0 yz I 由公式（Ⅰ-9） 32 4 D I I I p y z （I-10b） 对于空心圆截面，外径为 D ，内径为 d ，则 4 4 1 64 D I I y z D d （Ⅰ-12a） (1 ) 32 4 4 D I p （I-12b） 例Ⅰ-4 求如图Ⅰ-6 所示图形的 y I 及 yz I 。 解：取平行于 y 轴的狭长矩形，由于 dA y dz ，其 中宽度 y 随 z 变化， z h b y 则 4 3 0 2 3 bh z dz h b I z dA h A y 由 A yz I yz dA，如图 2 8 2 2 0 b h ydz y I z h yz