4-3角动量角动量守恒定律 第四章刚体的转动 力的时间累积效应=→冲量、动量、动量定理. 力矩的时间累积效应冲量矩、角动量、 角动量定理 质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点运动状态的描述p=mEk=m02/2 刚体定轴转动运动状态的描述L=JoE=J2/2 0,p=0 O≠0,p=0
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 第四章 刚体的转动 力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、 角动量定理. i p j p 0, p = 0 一 质点的角动量定理和角动量守恒定律 2 2 p = mv Ek = mv 质点运动状态的描述 力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理. 2 2 L = J Ek = J 刚体定轴转动运动状态的描述 = 0, p = 0
4-3角动量角动量守恒定律 第四章刚体的转动 1质点的角动量 质量为m的质点以速度7 在空间运动,某时刻相对原点L O的位矢为F,质点相对于原 点的角动量 ×p=7m乙 大小L= rmon e L的方向符合右手法则 质点以角速度O作半径 为F的圆运动,相对圆心的 LI p 角动量 L=mr o=Jo
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 第四章 刚体的转动 v 1 质点的角动量 v L = r p = r m v r L L r p m o 质点以角速度 作半径 为 的圆运动，相对圆心的 角动量 r L = mr = J 2 L r x y z o m 质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 ，质点相对于原 点的角动量 m r v 大小 L = rmvsin L 的方向符合右手法则.
4-3角动量角动量守恒定律 第四章刚体的转动 2质点的角动量定理 F dt dt dl d (F×p) F×+一 dt dt dt d dL 7,0×p=0 d F dL I 作用于质点的合力对参考点O 的力矩,等于质点对该点O的角 dt动量随时间的变化率
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 第四章 刚体的转动 ? d d , d d = = t L F t p p t r t p r p r t t L = = + d d d d ( ) d d d d t L M d d = 作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率. r F t p r t L = = d d d d , 0 d d = p = t r v v 2 质点的角动量定理 L r p =
4-3角动量角动量守恒定律 第四章刚体的转动 dl Mdt=L2-L1冲量矩Mdt dt 质点的角动量定理:对同一参考点O,质点所受 的冲量矩等于质点角动量的增量 3质点的角动量守恒定律 M=0,L=恒矢量 质点所受对参考点O的合力矩为零时,质点对该 参考点O的角动量为一恒矢量
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 第四章 刚体的转动 质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该 参考点 O 的角动量为一恒矢量. M = L = 0, 恒矢量 冲量矩 M t t t d 2 1 质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受 的冲量矩等于质点角动量的增量. d 2 1 2 1 M t L L t t = − 3 质点的角动量守恒定律 t L M d d =
4-3角动量角动量守恒定律 第四章刚体的转动 例1一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为m的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动小球开始 时静止于圆环上的点A(该点在通过环心O的水平面上 然后从A点开始下滑设小球与圆环间的摩擦略去不计求 小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度 解小球受重力和支持 力作用,支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里 M=marcos 6 由质点的角动量定理 mgR cose d, L dt
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 第四章 刚体的转动 例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里 由质点的角动量定理 M = mgRcos t L mgR d d cos =
4-3角动量角动量守恒定律 第四章刚体的转动 mgR coS、dL dl=maRcos et 考虑到 a=de/ dt, L=mRv=mRO 得LdL=m2 gR COS6 由题设条件积分上式 LdL=mgR cos 010 L=mR L=mR(2g sin 0) (sin 0) R
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 第四章 刚体的转动 t L mgR d d cos = dL = mgRcosdt 考虑到 2 = d dt, L = mRv = mR d cosd 2 3 得 L L = m gR 由题设条件积分上式 = 0 2 3 0 LdL m gR cos d L 3 2 1 2 L = mR (2g sin ) 1 2 sin ) 2 ( R g = 2 L = mR
4-3角动量角动量守恒定律 第四章刚体的转动 例2一质量m=1.20×10+kg的登月飞船,在离 月球表面高度h=100m处绕月球作圆周运动飞船 采用如下登月方式:当飞船位于点A时,它向外侧短 时间喷气,使飞船与月球相切地到达点B,且OA与 OB垂直.飞船所喷气体相对飞船的速度为 =1.00×10ms.已知 月球并径R=1700km; B 在飞船登月过程中,月球的 重力加速度视为常量 R g=162ms2 试问登月飞船在登月过程 中所需消耗燃料的质量 h △m是多少?
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 第四章 刚体的转动 例2 一质量 的登月飞船, 在离 月球表面高度 处绕月球作圆周运动.飞船 采用如下登月方式 : 当飞船位于点 A 时,它向外侧短 时间喷气 , 使飞船与月球相切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为 . 已知 月球半径 ; 在飞船登月过程中,月球的 重力加速度视为常量 . 试问登月飞船在登月过程 中所需消耗燃料的质量 m 是多少? 0 v A v B B v u v h O R A 1.20 10 kg 4 m = h =100km 4 1 1.00 10 m s − u = R =1700km 2 1.62m s − g =
4-3角动量角动量守恒定律 第四章刚体的转动 已知m=1.20×10kgh=100km L-=1.00×10m.s- R=1700km g=1.62ms-2求所需消耗燃料的质量△m 解设飞船在点A的 速度0,月球质量mM, B UNo 由万有引力和牛顿定律 R △ G (R+h)2-mo rth 8=GmM R
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 第四章 刚体的转动 解 设飞船在点 A 的 速度 , 月球质量 mM , 由万有引力和牛顿定律 0 v R h m R h m m G + = + 2 0 2 M ( ) v 2 M R m g = G 0 v A v B vB u v h O R A 1.20 10 kg 4 m = h =100km 4 1 1.00 10 m s − u = R =1700km 2 1.62m s − g = 已知 求 所需消耗燃料的质量 m
4-3角动量角动量守恒定律 第四章刚体的转动 得0=( Rg2=1612ms rth B 当飞船在A点以相对速度 向 外喷气的短时间里,飞船的 R 质量减少了△m而为m,并获得 速度的增量△,使飞船的速度 A 变为7,其值为 h ℃=(0+△2)y2 质量m在A点和B点只受有心力作用,角动量守恒 m0(R+h)=m2℃BR 得 B=(R+b)/R=1709ms
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 第四章 刚体的转动 得 1 2 1 2 0 ( ) 1612 m s − = + = R h R g v 1 2 ( ) 2 2 vA = v0 + v m v0 (R + h) = m vB R 1 ( ) 1709 m s − = R + h R = 得 vB v0 当飞船在A点以相对速度 向外喷气的短时间里 , 飞船的 质量减少了Δm而为 , 并获得 速度的增量 , 使飞船的速度 变为 , 其值为 v A v m' u 质量 m' 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒 0 v vA B B v u v h O R A
4-3角动量角动量守恒定律 第四章刚体的转动 24=(0b+△a2)2 7n=1709ms B 0 飞船在A点喷出气体后,在到 B R 达月球的过程中,机械能守恒 104-G r+h h m72-G M R 即=2+2GmM-2M04=1615my rth R 于是△=(02-7)2=100ms 而(△m)=m△7△m=mvyl=120kg
4 – 3 角动量 角动量守恒定律 第四章 刚体的转动 飞船在 A点喷出气体后, 在到 达月球的过程中, 机械能守恒 1 2 ( ) 2 2 vA = v0 + v 1 1709 m s − = vB R m m G R h m m G M M − = + − 2 B 2 A m v m v 2 1 2 1 R m G R h m G M M 2 − 2 + = + 2 B 2 即 vA v 1 1615 m s − = vA 于是 1 2 1 ( ) 100 m s − = − = 2 0 2 v vA v 而 (m)u = mv m = mv u =120 kg 0 v A v B B v u v h O R A