《力学》课程PPT教学课件（讲稿）第四章 刚体的转动（4.4）力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理

4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第四章刚体的转动 力的空间累积效应匚→>力的功动能,动能定理 力矩的空间累积效应—力矩的功转动动能动能定理 力矩作功 dW=F·dF=Fds dof O F Erde dr dw= mde x 力矩的功W Mde dw de 力矩的功率 M M dt dt

4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 d d d d t t F r W F r F s = =  =   dW = Md  = 2 1 d   力矩的功 W M  一 力矩作功 力的空间累积效应 力的功,动能,动能定理. 力矩的空间累积效应 力矩的功,转动动能,动能定理.   M t M t W P = = = d d d d 二 力矩的功率 o r  v  F  x v  F  o x r  Ft  r  d d

4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第四章刚体的转动 转动动能 Ek=∑ △m 2 2 C∑△Mm 四刚体绕定轴转动的动能定理 W Mde o、N9=J。Jxo Md6==Je 2 3 2 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体 转动动能的增量

4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 2 1 2 2 2 1 2 1 d 2 1      W = M = J − J  三 转动动能 2 2 1 i i i Ek = m v 四 刚体绕定轴转动的动能定理  = 2 1 d   W M  合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体 转动动能的增量 . 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 mi ri  J i =   =   = = 2 1 1 1 d d d d         J t J

4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第四章刚体的转动 讨论 子细 子弹击入杆 O 弹绳 击质 圆锥摆 入量 沙不 OLR 袋计 以子弹和沙袋为系统以子弹和杆为系统圆锥摆系统 动量守恒; 动量不守恒;动量不守恒; 角动量守恒; 角动量守恒;角动量守恒; 机械能不守恒 机械能不守恒.机械能守恒

4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 v  o  v  o ' o m p  T  R 圆 锥 摆 子 弹 击 入 杆 o v  以子弹和杆为系统 机械能不守恒 . 角动量守恒； 动量不守恒； 以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 . 讨 论 子 弹 击 入 沙 袋 细 绳 质 量 不 计

4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第四章刚体的转动 例1一质量为m、半径为R的圆盘,可绕一垂 直通过盘心的无摩擦的水平轴转动.圆盘上绕有轻绳, 端挂质量为m的物体.问物体在静止下落高度h时, 其速度的大小为多少?设绳的质量忽略不计 解拉力F对圆盘做功,由刚体绕定轴转动的动 能定理可得,拉力F的力矩所作的功为 FORdo=rl Fdo O O O P ,和O、O分别 FY 为圆盘终了和起始时的角 坐标和角速度 P

4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 o R h m' m m 2 0 2 2 1 2 1 = J − J 和 、 分别 为圆盘终了和起始时的角 坐标和角速度 .  0  ,  0       d d 0 0  FT R = R FT 例1 一质量为 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂 直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳， 一端挂质量为m 的物体 . 问物体在静止下落高度 h 时， 其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计 . m' 解 拉力 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动 能定理可得，拉力 的力矩所作的功为 FT  FT  o FT  FN  P'  FT   P  m

4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第四章刚体的转动 de FrRdo=Rd Frd0=5Jo2-1Ja3dFN 2 O 由质点动能定理 Fr=-F mgh-r Fde 70 物体由静止开始下落℃o=0,b=0 P 并考虑到圆盘的转动惯量J=mR2v=cR 解得 mgh 0=Vm+2m-V(m/2)+m h g

4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 2 0 2 T T 2 1 2 1 d d 0 0         F R = R F = J − J   物体由静止开始下落 v0 = 0,0 = 0 解得 gh m 2 ( ' 2) m m m 2m mgh v 2 + = + = 并考虑到圆盘的转动惯量 2 2 1 J = m R 2 0 2 T 2 1 2 1 d 0 mgh− R F = mv − mv     由质点动能定理 FT FT = −    o FT  FN  P'  FT   P  m v =R

4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第四章刚体的转动 例2一长为l,质量为m’的竿可绕支点O自由 转动.一质量为m、速率为的子弹射入竿内距支 点为a处,使竿的偏转角为30°.问子弹的初速率为 多少? 解把子弹和竿看作一个系统 子弹射入竿的过程系统角动量守恒 30 mva=ml+mao m这 3mva C ml<+3ma

4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 例2 一长为 l , 质量为 的竿可绕支点O自由 转动 . 一质量为 、速率为 的子弹射入竿内距支 点为 处，使竿的偏转角为30º . 问子弹的初速率为 多少 ? v a m  m 解 把子弹和竿看作一个系统 . 子弹射入竿的过程系统角动量守恒 ) 3 1 ( 2 2 mva = m l + m a o a ' m v   30 2 2 ' 3 3 m l ma m a + = v 

4-4力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理 第四章刚体的转动 3mva m+3ma 2 30° 射入竿后,以子弹、细杆和 地球为系统,机械能守恒 2>m'l<+mao mga(1-cOS300)+m'g(l-cos30%) o=Vg(2-√3)(m1+2m)m3m2)6m

4 – 4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理 第四章 刚体的转动 o a ' m v   30 g(2 3)(m l 2ma)(m l 3ma ) 6 ma 2 2 v = −  +  +  + = 2 2 2 ) 3 1 ( 2 1 m l ma  (1 cos30 ) 2 +  −  l mga(1− cos30) m g 射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 . 2 2 ' 3 3 m l ma m a + = v 