场论基础 场的概念、标量场和矢量场 1。数学上引入场的概念,用于描述物理量在 空间的分布和变化规律。如果空间的每一点 都对应着某个物理量的确定值,就说在着空 间里确定了该物理量的场。 若该物理量是数量(标量)—标量场,如 温度场、密度场、电位场;若是矢量,这个 场为矢量场,如力场、速度场、电场、磁场 引力场等。 稳定场和不稳定场
场论基础 一、 场的概念、标量场和矢量场 1。数学上引入场的概念，用于描述物理量在 空间的分布和变化规律。如果空间的每一点 都对应着某个物理量的确定值，就说在着空 间里确定了该物理量的场。 若该物理量是数量（标量）——标量场，如 温度场、密度场、电位场；若是矢量，这个 场为矢量场，如力场、速度场、电场、磁场、 引力场等。 稳定场和不稳定场
2、标量场的等值面 个标量场可以用一个函数表示: u=u(x,y, z) 标量场的等值面:u=u(Xyz)=c,(c为常 数 在几何上为一曲面。 在平面标量场中,为等值线
2、标量场的等值面 一个标量场可以用一个函数表示: u=u(x,y,z). 标量场的等值面：u=u(x,y,z)=c, (c为常 数） 在几何上为一曲面。 在平面标量场中，为等值线
3、方向导数:函数uM在某一点M处沿某 方向对距离的变化率。 E 4、标量场的梯度:在数量场u(M)中的一点 M,存在矢量G,其方向为函数u(M在M点 处变化率最大的方向,其摸正好是这个最大 变化率的数值,则称矢量G为函数u(M)在点 M处的梯度。梯度为矢量。 G= gradu=Vuv, at +j+ k ax a
3、方向导数：函数u(M)在某一点M处沿某 一方向对距离的变化率。 l u E l = 4、标量场的梯度：在数量场u(M)中的一点 M，存在矢量G，其方向为函数u(M)在M点 处变化率最大的方向，其摸正好是这个最大 变化率的数值，则称矢量G为函数u(M)在点 M处的梯度。 梯度为矢量。 G gradu u i j k , x y z = = = + +
矢量场及其完备描述 1、场线 场线即矢量线,引入矢量场中直观地表示矢量的分布情 况 (1)场线上每一点的切线方向既是场中该点处矢量的 方向;(2)场线的密度大小代表场中矢量的摸量大小 2对闭合曲面的通量 通量—在任意一个矢量场A(xyz)中,通 过曲面S的通量定义为矢量函数对该曲面的 面积分
二：矢量场及其完备描述 1、场线 场线即矢量线，引入矢量场中直观地表示矢量的分布情 况。 （1）场线上每一点的切线方向既是场中该点处矢量的 方向；（2）场线的密度大小代表场中矢量的摸量大小。 2.对闭合曲面的通量 通量——在任意一个矢量场A(x,y,z)中，通 过曲面S的通量定义为矢量函数对该曲面的 面积分
a)穿过面元ds的通量:dy=A.dS=Ands 表示穿过面元的场线条数 b)穿过封闭曲面S的通量y 既是穿出穿入高斯面的场线的代数和,有正 有负。 V=∮ 当y>0时,表示穿出的场线多于穿入的场线,曲面内 有“源”。反之,曲面内有消耗场线的“汇”。当 v=0时,有两种可能:1)该矢量场的场线是封闭曲线 这样穿过曲面的场线净条数为零;2)曲面内无源无汇
a) 穿过面元dS的通量：d=A dS=A nds， 表示穿过面元的场线条数。 b)穿过封闭曲面S的通量 既是穿出穿入高斯面的场线的代数和，有正 有负。 S = A ds 当>0时，表示穿出的场线多于穿入的场线，曲面内 有“源”。反之，曲面内有消耗场线的“汇”。当 =0时，有两种可能：1）该矢量场的场线是封闭曲线， 这样穿过曲面的场线净条数为零；2）曲面内无源无汇
c)通量和散度。 高斯公式:穿过封闭曲面S的通量=该曲面所 围体积V内的散度的体积分。 条件:矢量场Axyz)中矢量A及其分量在任 曲面S和所围体积V内都有一阶连续偏导数 A·ds V·AdV
c) 通量和散度。 高斯公式：穿过封闭曲面S的通量=该曲面所 围体积V内的散度的体积分。 条件：矢量场A(x,y,z)中矢量A及其分量在任 一曲面S和所围体积V内都有一阶连续偏导数。 S V A ds AdV =
3、对闭合曲线的环流旋度 环流和旋度 矢量场Ayz)沿一条规定了绕行方向的有向 闭合曲线L的线积分称为该矢量场对闭合曲线L 的环流。 环流 旋度:V×A 旋度:矢量A对空间一阶导数的叉乘 条件:矢量A的任意空间分量在任一闭合曲线L上 及在以L为边界的曲面S上都有一阶连续偏导数
3、对闭合曲线的环流 旋度 环流和旋度： 矢量场A(x,y,z)沿一条规定了绕行方向的有向 闭合曲线L的线积分称为该矢量场对闭合曲线L 的环流。 环流： L A dl 旋度： A 旋度：矢量A对空间一阶导数的叉乘。 条件：矢量A的任意空间分量在任一闭合曲线L上 及在以L为边界的曲面S上都有一阶连续偏导数
斯托克斯公式:矢量通过闭合曲线L上的环流 =该矢量的旋度对L所围曲面S的面积分 A.d=×AE 散度为标量,而旋度为矢量 无旋场旋度处处为零的矢量场 有旋场矢量场中旋度不是处处为零
斯托克斯公式：矢量通过闭合曲线L上的环流 =该矢量的旋度对L所围曲面S的面积分。 散度为标量，而旋度为矢量 无旋场——旋度处处为零的矢量场； 有旋场——矢量场中旋度不是处处为零 L S A dl A ds =
4、场的确定性问题 在空间某区域内,如果一个矢量场A的散度 旋度及该区域的边界条件唯一确定,那么 在这个区域内矢量A=A(Xyz)就唯一地确定 从物理的角度,若知道矢量场A对任意闭 合曲面的通量和对任意闭合曲线的环流,满 足一定边界条件,那么,在这个区域内矢量 A=A(xkyz)就唯一地确定了
4、场的确定性问题： 在空间某区域内，如果一个矢量场A的散度、 旋度及该区域的 边界条件唯一确定，那么， 在这个区域内矢量A=A(x,y,z)就唯一地确定 了。 从物理的角度，若知道矢量场A对任意闭 合曲面的通量和对任意闭合曲线的环流，满 足一定边界条件，那么，在这个区域内矢量 A=A(x,y,z)就唯一地确定了
三、电场和磁场的描述 电场E和磁场B是矢量场。 主要问题: 1)电场和磁场与空间坐标的函数关系。 2)用电场线和磁感应线形象地描述电场和磁 场的分布 3)研究电场强度和磁感应强度对一个闭合曲面 的通量。注意它们的有源与无源性 4)研究电场强度和磁感应强度对一个闭合回 路的环流,注意它们的有旋性和无旋性
3）研究电场强度和磁感应强度对一个闭合曲面 的通量。注意它们的有源与无源性。 4）研究电场强度和磁感应强度对一个闭合回 路的环流，注意它们的有旋性和无旋性。 三、电场和磁场的描述 电场E和磁场B都是矢量场。 主要问题： 1）电场和磁场与空间坐标的函数关系。 2）用电场线和磁感应线形象地描述电场和磁 场的分布