长江大学物理科学与技术学院：《大学物理》第二章 稳恒电流的磁场

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第五 e 已磁 第一章静电场 第二章稳恒电流的磁场 第三章电磁感应 第四章电磁场和电磁波

第一章 静电场 第五篇 电磁学 第二章 稳恒电流的磁场 第三章 电磁感应 第四章 电磁场和电磁波

21毕奥萨伐尔定律 3.磁现象的本质 (1)螺线管电流等效条形磁铁 本质 00 铁段极极不可分(2)分子电流的假说 男地示N指北s指南 地磁N极在南地磁S极在北.流 电流对磁铁有作用力 (3)磁现象的本质 磁铁对电流有作用力 运动电荷二磁场二运动电荷 两平行电流叮两圆电流间,动电荷既激发电场(库仑 两螺旋管间 4)磁场的物质性 2结论磁铁电流云磁铁电流对泛动电荷电流作用力 (1)作用力方向随磁极的不同⑧磁场使其中的物资磁化 及电流方向的不同而不 ③磁场有能量动量质 l磁极和电流 强度B 的强弱位置方向有关 描述磁场强弱的物理量

2.1 毕奥–萨伐尔定律 一.磁现象及其本质 1.一般磁现象 (1)磁铁两极:N极,S极;不可分; 同极斥,异极吸. (2)地磁小磁针:N指北,S指南. 地磁N极在南, 地磁S极在北. (3)电流与磁铁的相互作用 电流对磁铁有作用力, 磁铁对电流有作用力. (4)电流与电流的相互作用 两平行电流间,两圆电流间, 两螺旋管间. 2.结论 磁铁 电流 磁铁 电流 力 力 (1)作用力方向随磁极的不同 及电流方向的不同而不同. (2)作用力大小 的强弱,位置,方向有关 与磁极和电流 3.磁现象的本质 (1)螺线管电流等效条形磁铁 I S N (2)分子电流的假说 分 子 电 流 S N (3)磁现象的本质 运动电荷 磁场 运动电荷 运动电荷既激发电场 ( 库仑 场),又激发磁场. (4)磁场的物质性 ①对运动电荷(电流)作用力; ②磁场使其中的物资磁化; ③磁场有能量,动量,质量. 二.磁感应强度B 描述磁场强弱的物理量

③小磁针在磁场中受力 3磁感应强度B的定义 载线圈在做场中受力矩;%泾动的正验电待在磁 g运动点电荷在磁场中受力,扬中受力定B 运动点电荷 B=Fmax/(gov) 电行在动中(2)方向零磁力时的速度方向 ②FυB成右手螺旋 动电荷受分其它情况均(3)运动电荷受力 达 运动卓电荷受弦力压4单们国际单位SD特斯拉 方向缜成的平面改变q符号 FE 1T-N/(Cm/sFIN/(A 比 电流与其产生磁场的关系 v的积成正比与1电流元款发的被场dB 省鑫挂定方向突净可旋 dB-uoldZXr I& dB F特定方向 特定方向 4兀 dB的大小 qda x qdx dB=Hold/sine/(47I U U dB的方向:满足 ldlr, dB F 成右手螺旋关系

 1.三种定义方式 ①小磁针在磁场中受力; ②载流线圈在磁场中受力矩; ③运动点电荷在磁场中受力. 2.运动点电荷在磁场中受力 实验表明:运动电荷q在磁场中 (1)当v与特定方向平行时,运 动电荷q不受力,其它情况均 受力; 特定方向 (2)运动点电荷q所受磁力F v F 方向:垂直于速度v与该特定 方向组成的平面;改变q 符号 ,F 反向; x y z q+ x y z – v F 特定方向 q 大小:与q和v 的积成正比;与 v 同该特定方向夹角正旋 值成正比. 以运动的正试验电荷 q0 在磁 场中受力定义B 3.磁感应强度B 的定义 (1)大小 B=Fmax/(q0v) (2)方向 ②F,v,B 成右手螺旋. ①零磁力时的速度方向; (3)运动电荷受力的数学表达 F=qv×B 4.单位国际单位(SI):T(特斯拉) 1T=N/(C·m/s)=1N/(A·m) θ 1.电流元Idl 激发的磁场dB 三. 毕奥–萨伐尔定律 电流与其产生磁场的关系. I P r Idl dB 的大小: dB=μ0 Idlsinθ/(4πr2 ) dB 的方向: 满足Idl,r,dB 成右手螺旋关系. dB ⊗ 4π μ0 Idl×r r dB= 3

4(4x是当B用国际单位制当g0,dv向 do/d B的方向 B lo DixI q 0,B与UXr反向 dB=47 e/注意:电场E是纵向场电荷元d uognvSdlXr vdt 激发的电场dE与源点对场点引的 矢径严行;磁场B横向场,电荷 4兀 元dq 或电流元/激发的磁场dB 40 nsdu Xr0gX5x与源点对场点引的天径座直这 4兀 4兀r3 点在计算时务必高度注意!!

B=∫dB = μ0 /(4π)是当B 用国际单位制 时而引进的常数,0为真空中 磁导率. 0=4×10–7N·A–2 2.磁场叠加原理 独立性,叠加性 4π μ0 Idl×r r  3 l 3.运动电荷激发的磁场 Idl激发磁场是导线dl中所有 载流子(载流子数dN=nSdl)激 发磁场B的矢量和:dB=B dN 当q>0,Idl与v同向 v I S vdt + + + + + =qnvdtS/dt I=dQ/dt =qnvS 4π μ0 Idl×r r dB= 3 4π μ0qnvSdl×r r 3 = 4π μ0qnSdlv×r r 3 = 4π μ0 qv×r r 3 = dN 4π μ0 qv×r r B 3 = 当q0, + q B与v×r同向 q<0, v P r ¯q θ B与v×r反向 B ⊙ 注意: 电场E是纵向场,电荷元dq 激发的电场dE与源点对场点引的 矢径r平行; 磁场B是横向场,电荷 元dq 或电流元Idl 激发的磁场 dB 与源点对场点引的矢径r垂直. 这 点在计算时务必高度注意!!!

例1长直载流导线激发的磁场,电流示产生dB方向均同有 解:取坐标系如图y B- H/sindo/(4Ta 取电流元ll=dy B=uol(cose1-cos02 (4ta) dB= Lo IdIXr /dZ0dB方向沿轴负向 4 用矢量致乘解 dudy PX dB的大小dB=o1dksi(4mr2 r-ai-yj uol(a/sin-e)desine dB-//i kl 4T(a/sine 0 dy 0 uolsinede/(4a 4兀r 4π3方向沿轴负向(以后步骤略 a y 0 r=a/sin(T-6)=a/sing 块与叉乘法相同的结果 y=acot(T-6=-acote ①导线无线长 dy=(a/sin20)de 01=0,,=兀 dB- uola(/ sin20)de B=0(2 B 4(a/sino)3 方向与电流成右手 uolsinede/(4a) 螺旋,大拇指电流方 方向沿轴负向.直线电流各向四指磁场方向

θ O z y x 4πr 3 μ0 I dB= 用矢量叉乘解 例1.长直载流导线激发的磁场. I 解:取坐标系如图 取电流元Idl=Idy Idl 4π μ0 Idl×r r dB= 3 r dB a P dl=dyj r=ai–yj i j k 0 dy 0 a –y 0 4πr 3 μ0 Iady =– k r=a/sin(π–θ)=a/sinθ y=acot(π–θ)=–acotθ dy=(a/sin2θ)dθ dB= μ0 Ia(a/sin2θ)dθ 4π(a/sinθ) 3 =μ0 Isinθdθ/(4πa) 方向沿z轴负向. 直线电流各 电流元产生dB方向均同. 有 B= μ0 Isinθdθ/(4πa)  2 1   B=μ0 I(cosθ1–cosθ2 )/(4πa) 方向沿z轴负向. 用分析法解 dB 的大小dB=μ0 Idlsinθ/(4πr2 ) = μ0 I(a/sin2θ)dθsinθ 4π(a/sinθ) 2 =μ0 Isinθdθ/(4πa) 方向沿z轴负向.(以后步骤略) 得出与叉乘法相同的结果. 讨论 ①导线无线长: θ1=0, θ2=π B=μ0 I/(2πa) 方向与电流 成右手 螺旋,大拇指电流方 向,四指磁场方向 I B

②P在延长线 dllrdiXr=0,B=0方向沿轴线与/成右手螺旋 自a=0此时电流不是线电流,写成矢量式 公式不适用 B-n uolT R2/2T(x2+R2)3/ 例2圆电流在轴线上产生的磁场 解:取电流元/1L 7论m12x(x+R)y2 由于/dL⊥r有 dB④x=0(圆心):B=0(2R) dr- uoldlsinB dB ②x>RB[47)2pnx3 Md(4x3(k)xPB对应于电偶极子在延长线上 ∥ 场B2p(4e 各电流元 说明微小载流线圈等效磁偶极子. dB构成一圆锥面故要把dB 矢量进行分解,才能积分 定义:mSn n dB=dBcose 考虑对称性有JdB=0 db=luold4trl)Ising 的电流篇0为线图 或 面积和法向单位量n B-JdB=fLuold/(4T 2)]sing 与满足右手螺旋关系 当载流线圈极小时就称磁偶 AR2(+)2亚极子,故磁矩也称偶极矩 [02R(4x)Rr 与电偶极子的电矩对应

dB ②P在延长线:dlⅡr,dl×r=0, B=0 ③a=0,此时电流不是线电流, 公式不适用 例2.圆电流在轴线上产生的磁场. I R x P 解:取电流元Idl Idl 由于Idl⊥r,有 r dB= μ0 Idlsinθ 4πr2 =μ0 Idl/(4πr2 ) 各电流元Idl 的 dB 构成一圆锥面,故要把dB 矢量进行分解,才能积分 dB⊥=dBcosθ dB⊥ dB ∥ θ 考虑对称性,有 dB⊥=0 dBⅡ =[μ0 Idl/(4πr2 )]sinθ l = [μ0 Idl/(4πr2 B=dB )]sinθ Ⅱ=[μ0 I2πR/(4πr2 )]R/r =μ0 IR2 /[2(x 2+R2 ) 3/2] 方向沿轴线,与I成右手螺旋. 四. 载流线圈的磁矩 当载流线圈极小时,就称磁偶 极子, 故磁矩也称磁偶极矩. 与电偶极子的电矩对应. 定义: 或 的电流,面积和法向单位量,n 与I满足右手螺旋关系. m=ISn pm =ISn n S I 式中I,S,n分别为线圈 写成矢量式 B=n μ0 IπR2 /[2π(x 2+R2 ) 3/2] =μ0 pm/[2π(x 2+R2 ) 3/2] ①x=0(圆心): B=μ0 I/(2R) 讨论 ②x>>R B=[μ0 /(4π )]2pm/x3 对应于电偶极子在延长线上 E=2p/(4πε0x 3 激发的电场 ) 说明微小载流线圈等效磁偶极子. 动画

例3求半径为R圆心角为的圆弧电 流在圆心C激发的磁感应强度 dB 解:取电流元dLd 由于dlr,有 2 方向垂直纸面向外入 dB -/(4ER dx 各电流元产生 dBdB O dildo/(2a 万向均同所 dB=lod(2 r)=ioIdx/(4 ar) dB=dBcosa dB=dBsina B=JdB=J uoId/(4TR2) dB-luoldx/(4 arar) 0l/(2R)[(2)] =dx(4m2)=/dx4xx2+a2) 圆弧电流在圆心激发磁场等dB,=Ad4m(x2+a2) 王圆电流在圆心激发磁场的B.[4d4x2+a2)} 6(2mi 如宽为2的无限长导体薄=4W(4x)( 1/a)arctan(xa) 片沿长度方向的电流/在导体薄片 /(8a 上均匀分布求中心轴线OO上方B,{Ad4x(x2+a2)} 距导体薄片为a的磁感强度 0(8m)jln(x2+a2)2=0 解:取宽为d的无限长电流元 B=B3=o(8a)

例3.求半径为R 圆心角为θ 的圆弧电 流在圆心O激发的磁感应强度. I θ R O 解:取电流元Idl r Idl 由于Idl⊥r, 有 dB=μ0 Idl/(4πR2 ) 方向垂直纸面向外 dB 各电流元产生 dB ⊙ 方向均同,所以 B=∫dB=∫ l μ0 Idl/(4πR2 ) =[μ0 I/(2R)][θ/(2π)] 圆弧电流在圆心激发磁场等 于圆电流在圆心激发磁场的 θ/(2π)倍. 例4.如图,宽为2a的无限长导体薄 片,沿长度方向的电流I 在导体薄片 上均匀分布.求中心轴线OO上方 距导体薄片为a处的磁感强度. O O I x y z P 2a a x y P  I 解:取宽为dx的无限长电流元  dB dx  r dI=Idx/(2a) dB=0 dI/(2r)=0 Idx/(4ar) dBx =dBcos dBy =dBsin dBx =[0 Idx/(4ar)](a/r) =0 Idx/(4r 2 )=0 Idx/[4(x 2+a 2 )] dBy =0 Ixdx/[4a(x 2+a2 )] Bx= {0 Idx/[4(x 2+a 2 )]} − a a =[0 I/(4)](1/a)arctan(x/a) a −a =0 I/(8a) By= {0 Ixdx/[4a(x 2+a2 )]} − a a =[0 I/(8a)]ln(x 2+a2 ) a −a =0 B=Bx =0 I/(8a)

例5.载流密绕直螺线管轴线上的coS2x2(x2+R2)12 磁场管长为/半径为R单位长度 的匝数为n电流为 dBMoIR'inRde/sin 0) 2(R/sinO)3 2uonlsinede A°°xdB向都沿轴故P点磁场: R B=dB- denlsin0d0/2 ⑧8②08680800080808080888 Won (cos02 -)/2 解:取轴线为x:(与电流成有 手螺旋)场点原点每匝线24 2+R +r 圈在生磁场方向沿轴大方向沿轴即与成右手螺旋 22(x2+R 取微元螺线管dx匝数为ndP点在中部,有02~0,01~兀 它在P点的磁感强度dB为 B B dB={4/R212(x2+R2)32]}ndx②P点在端点 由图知x= Rote, 02~0,61=x/ A0n/2 dx=RdO/sin20, R2+x2=Ri/sin20 0x20- 1>>R CosO1=x1/(x12+R2)12 B=0n2B中部一2B端点

解:取轴线为x轴(与电流成右 手螺旋),场点P为原点. 它在P点的磁感强度dB为 例5. 载流密绕直螺线管轴线上的 磁场.管长为l, 半径为R, 单位长度 的匝数为n,电流为I.   R P l x 圈在P产生磁场方向沿x轴,大 每匝线 取微元螺线管dx,匝数为ndx 大小为B=μ0 IR2 /[2(x 2+R2 ) 3/2] dx θ θ2 θ1 dB={μ0 IR2 /[2(x 2+R2 ) 3/2]}ndx 由图知 cosθ2=x2 /(x2 2+R2 ) 1/2 x=Rcotθ, dx=–Rdθ/sin2θ, R2+x 2=R2 /sin2θ cosθ1=x1 /(x1 2+R2 ) 1/2 dB=μ0 IR2n(–Rdθ/sin2θ) 2(R/sinθ) 3 =(–1/2)μ0nIsinθdθ dB方向都沿x轴,故P点磁场： B=∫dB= – μ0nIsinθdθ/2 2 1   =μ0nI (cosθ2–cosθ1 )/2         + − + = 2 2 1 1 2 2 2 2 0 2 1 x R x x R x  nI 方向沿x轴,即与I成右手螺旋. ① P点在中部, B=μ0 nI 讨论: ② P点在端点, 当l>>R θ2~0,θ1=π/2 θ=π/2,θ1~π B=μ0 nI/2 有θ2~0,θ1~π B中部 =2B端点 x B μ0nI l>>R μ0nI/2

例6半径为R的电荷面密度为c的圆盘每转时间7=2兀/o 过盘心毫直盘面的(转专动求盘等效圆电流Ad/=ord 中心处的磁感强度 荷 dB=uod/(2r-uooadr/2 激 中心和磁场为 B logu 4兀 B- loco 取电荷元 de dg=orded d 方向垂直纸面向外即B与旋 dB=0dqv/(4兀r2) 转方向成右手螺旋 例7.如图半径R的木球上绕有 p0 rdedrro L.dO密集细导线线圈平面彼此平行 4 且以单层覆盖半球面设线圈总匝 dB均向外故中心磁场为数调 dⅠ B=dB 电流 R d 向向外即B与同向 求球心 圆电流中心磁场公式计算O的磁 O dB 取微元细环带dg=2md感强度

R ω O B 例6.半径为R 的电荷面密度为的 均匀带电薄圆盘, 以角速率绕通 过盘心垂直盘面的O轴转动, 求盘 中心处的磁感强度. 解:用运动电荷 激发磁场计算: 4π μ0 qv×r r B 3 = 取电荷元 r dr dθ dq=rdθdr dB=μ0dqv/(4π r 2 ) 2 0 d d 4 r  r  rr   = ddr    4 0 = dB均向外,故中心的磁场为 B=∫dB μ0σωR 2 = 方向向外,即B与同向. 用圆电流中心磁场公式计算 取微元细环带 dq =2rdr 圆盘每转时间 T=2π/ω 等效圆电流 dI=dq/T=σωrdr 它在中心产生的磁场为 dB=μ0dI/(2r)=μ0σωdr/2 中心和磁场为 μ0σωR 2 = 方向垂直纸面向外,即B与旋 转方向成右手螺旋. 例7. 如图,半径R 的木球上绕有 密集细导线,线圈平面彼此平行, 且以单层覆盖半球面.设线圈总匝 数为N,通 过线圈 电流I. 求球心 O 的磁 感强度. O R x dI dB 