《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第08章 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验

概率伦与散理统针」 第二节正态总体均值的假设检验 一、单个总体均值山的检验 二、两个总体均值差的检验(t检验) 三、基于成对数据的检验(t检验) 四、小结

第二节 正态总体均值的假设检验 一、单个总体均值 的检验 二、两个总体均值差的检验(t 检验) 三、基于成对数据的检验(t 检验)  四、小结

概率论与敖理统计 一、单个总体N(4,σ)均值4的检验 1.σ为已知关于的检验(Z检验) 在上节中讨论过正态总体N(4,o) 当o2为已知时，关于4=4的检验问题： (1)假设检验H:4=4,H:μ≠； (2)假设检验H:4≤4，H1:4>4; (3)假设检验H:μ≥4，H1:4<4·

一、单个总体 N(, 2 ) 均值 的检验 1. , ( )  2为已知 关 于的检验 Z 检 验( , ) 2 在上节中讨论过正态总体 N   , : 0 当 2为已知时 关于   的检验问题 (3) : , : . (2) : , : ; (1) : , : ; 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0                   H H H H H H 假设检验 假设检验 假设检验 

概率枪与散理统计 讨论中都是利用H,为真时服从N(O,1)分布 的统计量乙=X一凸来确定拒绝域的，这种 o/n 检验法称为Z检验法， 一个有用的结论 当显著性水平均为a时， 检验问题H:4≤h,H1:μ>和检验问题 Ho:4=4o,H1:u>有相同的拒绝域. ④

. , / (0,1) 0 0 检验法称为 检验法 的统计量 来确定拒绝域的 这种 讨论中都是利用 为真时服从 分布 Z n X Z H N     一个有用的结论 检验问题 H0 :   0 , H1 :   0和检验问题 0 0 1 0 H :    , H :    有相同的拒绝域. 当显著性水平均为 时

概率论与敖理统计 例1某切割机在正常工作时，切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm,标准差是0.15cm,今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量，测的其平均长度 为10.48。假定切割的长度服从正态分布，且标准 差没有变化，试问该机工作是否正常？(@=0.05) 解因为X~N(4,o2),σ=0.15， 要检验假设 H0:u=10.5,H1:u≠10.5

例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量, 测的其平均长度 为10.48。假定切割的长度服从正态分布, 且标准 差没有变化, 试问该机工作是否正常? (  0.05) 解 ~ ( , ), 0.15, 2 因为 X N     : 10.5, : 10.5, H0   H1   要检验假设

概率论与数理统外「 n=15,x=10.48,a=0.05, 则-4=10.48-10.5=-0.516， oln 0.15//15 查表得乙025=1.96， 于是 =0.516<z025=1.96, 故接受H,认为该机工作正常

0.15/ 15 10.48 10.5 / 0    n x   则  0.516, 查表得 1.96, z0.025  0.516 1.96, / 0.025 0     z n x   于 是 , . 故接受 H0 认为该机工作正常 n  15, x  10.48,   0.05

概率论与散理统计 2.o2为未知，关于μ的检验(t检验) 设总体X~N(4,σ2)，其中山，σ2未知，显著性水平为a 求检验问题H:4=4,H1:H≠4的拒绝域 设X1,X2,Xn为来自总体X的样本 因为σ未知，不能利用X一凸来确定拒绝域 oIn 因为S2是σ2的无偏估计，故用S来取代o, 即采用(=X一凸来作为检验统计量 S/√n

2. , ( )  2为未知 关 于 的检验 t 检 验 ~ ( , ), , , . 2 2 设总体X N   其中  未知 显著性水平为 : , : . 求检验问题H0   0 H1   0的拒绝域 , 1 2 , , , 设 X X X X n 为来自总体 的样本 , 因为 2 未知 . / 不能利用 0 来确定拒绝域 n X    , 因为 S 2 是 2 的无偏估计 故用S 来取代 , . / 即采用 0 来作为检验统计量 S n X t   

概率舱与散理统计 当观察值口=x-凸 过分大时就拒绝H, s/n 拒绝域的形式为1=一Hg≥k. sln 根据第六章§3定理三知， 当H,为真时，X-么~tm-1, SIn P当，为真拒绝H}=r7片≥=a

, / 0 0 H s n x 当观察值 t 过分大时就拒绝    . / 0 k s n x t    拒绝域的形式为  ~ ( 1), / , 0 0   t n S n X H  当 为真时 { } P 当H0 为真拒绝H0 , / 0 0              k S n X P 根据第六章§3定理三知

概率论与敖理统计 得k=ta2(n-l), 拒绝域为t= x-40 s/n ≥ta2(n-l0. 上述利用t统计量得出的检验法称为t检验法， 对于正态总体N(4,σ2)，当σ2未知时，关于的 单边检验的拒绝域在表8.1中给出. 在实际中，正态总体的方差常为未知，所以 我们常用t检验法来检验关于正态总体均值的检 验问题

( 1), 得 k  t / 2 n  ( 1) . / / 2 0     t n s n x t   拒绝域为 8.1 . ( , ), , 2 2 单边检验的拒绝域在表 中给出 对于正态总体 N   当 未知时 关 于的 在实际中, 正态总体的方差常为未知, 所以 我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检 验问题. 上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法

概率论与数理统外 例2续例1，设某切割机在正常工作时，切割每段 金属棒的平均长度为10.5cm,今从一批产品中随 机的抽取15段进行测量，测的其平均长度为10.48， 样本的标准差为0.237。假定切割的长度服从正 态分布，试问该机工作是否正常？(@=0.05) 解依题意X~N(4,o2),σ均为未知， 要检验假设H:4=10.5,H1:4≠10.5， n=15,x=10.48,a=0.05,5=0.237, M- c-4_10.48-10.5 =0.327, sIn 0.237/√15

例2 续例1，设某切割机在正常工作时, 切割每段 金属棒的平均长度为10.5cm, 今从一批产品中随 机的抽取15段进行测量, 测的其平均长度为10.48， 样本的标准差为0.237。假定切割的长度服从正 态分布，试问该机工作是否正常? (  0.05) 解 ~ ( , ), , , 依题意 X N   2   2均为未知 : 10.5, : 10.5, 要检验假设 H0   H1   n  15, x  10.48,   0.05, s  0.237, 0.237/ 15 10.48 10.5 / 0     s n x t   0.327

概率论与敖理统外 解依题意X~N(4,o2),4,σ均为未知， 要检验假设H,:4=10.5,H1:4≠10.5， n=15,x=10.48,a=0.05,5=0.237, c-4=10.48-10.5 s/√n0.237/W15 =0.327, 查表得ta/2(n-1)=t.02s(14)=2.1448>t=0.327, 故接受H,认为金属棒的平均长度无显著变化

解 ~ ( , ), , , 依题意 X N   2   2均为未知 : 10.5, : 10.5, 要检验假设 H0   H1   n  15, x  10.48,   0.05, s  0.237, 0.237/ 15 10.48 10.5 / 0     s n x t   0.327, 查表得 ( 1) (14) / 2 0.025 t n   t   2.1448  t  0.327, , . 故接受 H0 认为金属棒的平均长度无显著变化