《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第03章 多维随机变量及其分布 3.2 边缘分布

概率论与数理统外「 第二节 边缘分布 一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、小结

二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 一、边缘分布函数 四、小结 第二节 边缘分布

概率论与散理统计 一、边缘分布函数 问题：已知(X,Y)的分布，如何确定X,Y的分布？ ↓ F(x,y)=P{X≤x,Y≤y},F(x)=P{X≤x, P{X≤x=P{X≤x,Y<oo}=F(x,∞)=Fx(x) 0 (X,Y)关于X的边缘分布函数

一、边缘分布函数 F(x, y)  P{X  x,Y  y}, F(x)  P{X  x}, P{X  x}  P{X  x,Y  }  F(x,) F (x)  X (X,Y)关于X的边缘分布函数. 问 题:已知(X,Y )的分布,如何确定X,Y的分布?

概率论与数理统外】 定义 设F(x,y)为随机变量(X,Y)的分布函数， 则 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}令y→o,称 P{X≤x}=P{X≤x,Y<o∞}=F(x,∞)， 为随机变量(X,Y)关于的边缘分布函数 记为Fx(x)=F(x,∞)： 同理令x→0， F(y)=F(oo,y)=P{X<o,Y≤y}=P{Y≤y} 为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数

F ( y) F( , y) P{X ,Y y} P{Y y} Y         为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数. ( , ) . { } { , } ( , ), ( , ) { , } , ( , ) ( , ) , 为随机变量 关 于 的边缘分布函数 则 令 称 设 为随机变量 的分布函数 X Y X P X x P X x Y F x F x y P X x Y y y F x y X Y             F (x)  F(x,). 记为 X 定义 同理令 x  

概率论与敖理统计 二、离散型随机变量的边缘分布律 定义 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布 律为 P{X=x,Y=yj}=P,i,j=1,2,. 记 p.=∑P=P{X=x,i=1,2, i=1 p.,=∑Pg=PW=y,j=1,2, 分别称p.(i=1,2,）和p（j=1,2,)为(X,Y) 关于X和关于Y的边缘分布律

1 1 ( , ) { , } , , 1,2, . { }, 1,2, , { }, 1,2, , ( 1,2, ) ( 1,2, ) ( , ) . i j ij i ij i j j ij j i i j X Y P X x Y y p i j p p P X x i p p P Y y j p i p j X Y X Y                         设二维离散型随机变量 的联合分布 律为 记 分别称 和 为 关于 和关于 的边缘分布律 定义 二、离散型随机变量的边缘分布律

概率论与数理统外「 X2 Xi P21 Pa y2 P22 Pi2 P2j P P(X=x} Pi. PX=x}-PX=I=y}2D,=A

X Y x x x 1 2 i 12j yyy p p p 11 21 1i p p p 12 22 2i p p p 1 2 j j ij { } P X x  i 1 P X x { }  1 1 { , }j j P X x Y y      ＋＋＋= 1 p  1 1 j j p    1 p   ＋

X 概率论与敖理统计 x2 Xi P11 Pa P12 Pi y P P(X=x} P PX=,-2PX=Y=8,=p

X Y x x x 1 2 i 12j yyy p p p 11 21 1i p p p 12 22 2i p p p 1 2 j j ij { } P X x  i 2 P X x { }  2 1 { , }j j P X x Y y      1 p  2 1 j j p    2 p   ＋＋＋＋= 2 p 

概率伦与教理统针」 x1 X2 P11 P21 P12 P22 Pui Pzi P(X=x} P1. P2. Pi. PX=}PW=,V-}2,-A

X Y x x x 1 2 i 12j yyy p p p 11 21 1i p p p 12 22 2i p p p 1 2 j j ij { } P X x  i { } P X x  i 1 { , } i j j P X x Y y      1 p  1 ij j p    i p   ＋＋＋＋= 2 p  i p 

概率论与敖理统计 X1 X2 Xi Pu P21 Pa Y2 P12 P22 Pn 三 Yj Puj p2i Pi P(X=x} P1。P2 P X x1X2.七 Pk P1.P2.P

X Y x x x 1 2 i 1 2 j y y y p p p 11 21 1i p p p 12 22 2i p p p 1 2 j j ij 1 p  2 p  i p  X k p 1 x 1 p 2 p i p 2 x i x { } P X x  i

x2 P P11+P21+.+P1+ y2 P12 P22 Pi2 Pj p2i Pi P(X=x} P1. P2. P。 -Dn=pa

X Y x x x 1 2 i 1 2 j y y y p p p 11 21 1i p p p 12 22 2i p p p 1 2 j j ij 1 p  2 p  i p { }  P X x  i { } P Y y  j 1 P Y y { }  1 1 { , } i i P X x Y y       1 1 i i p     1 p   ＋ ＋ ＋ ＋ = 1 p

X2 c P P21 Pa P. P12+P22+ .+P2+ p.2 yj Puj Pzj P可 P(X=x} P1。 P2. PW=}=∑PX=x,Y=y}=∑P:=p i-1 ④

X Y x x x 1 2 i 1 2 j y y y p p p 11 21 1i p p p 12 22 2i p p p 1 2 j j ij 1 p  2 p  i p { }  P X x  i { } P Y y  j 2 P Y y { }  2 1 { , } i i P X x Y y       2 1 i i p     2 p   ＋ ＋ ＋ ＋ = 1 p 2 p