概率论与敖理统计 第三节 协方差及相关系数 一、协方差与相关系数的 概念及性质 二、相关系数的意义 三、小结
一、协方差与相关系数的 概念及性质 二、相关系数的意义 三、小结 第三节 协方差及相关系数
概率论与数理统外 一、协方差与相关系数的概念及性质 1.问题的提出 若随机变量X和Y相互独立，那么 D(X+Y)=D(X)+D(Y). 若随机变量X和Y不相互独立 D(X±Y)=? D(X±Y)=E(X±Y)2-[E(X±Y)I2 =D(X)+D(Y)EX-E(X)Y-E(Y)) 协方差
1. 问题的提出 若随机变量 X 和Y 相互独立,那么 D(X Y) D(X) D(Y). 若随机变量 X 和Y 不相互独立 D X Y ( ) ? 2 2 D X Y E X Y E X Y ( ) ( ) [ ( )] D X D Y E X E X Y E Y ( ) ( ) 2 {[ ( )][ ( )]}. 一、协方差与相关系数的概念及性质 协方差
概率论与敖理统计 2.定义 量EIX-E(X)IY-E(Y)奶称为随机变量 X与Y的协方差记为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y) 而 Cov(X,Y) Pxy= DX)·√D(Y) 称为随机变量X与Y的相关系数
Cov( , ) {[ ( )][ ( )]}. . Cov( , ), {[ ( )][ ( )]} X Y E X E X Y E Y X Y X Y E X E X Y E Y 与 的协方差 记 为 即 量 称为随机变量 2. 定义 . ( ) ( ) Cov( , ) 称为随机变量 与 的相关系数 而 X Y D X D Y X Y ρXY
概率论与数理统外「 3.说明 (1)X和Y的相关系数又称为标准锄方差，它是一 个无量纲的量 (2)若随机变量X和Y相互独立 Cov(X,Y)=EX-E(JY-E(Y) =EIX-E(X)JE[Y-E(Y)] =0. (3)若随机变量X和Y相互独立 →D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E{X-E(X)[Y-E(Y)} =D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)
Cov(X,Y) E{[X E(X)][Y E(Y)]} E[X E(X)]E[Y E(Y)] 0. (3) 若随机变量 X 和Y 相互独立 ( ) ( ) ( ) 2 {[ ( )][ ( )]} D X Y D X D Y E X E X Y E Y D(X) D(Y). (2) 若随机变量 X 和Y 相互独立 D X D Y X Y ( ) ( ) 2Cov( , ) 3. 说明 . (1) , 个无量纲的量 X 和Y 的相关系数又称为标准协方差 它是一
概率论与敖理统外 4.协方差的计算公式 (1)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y); (2)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y). 证明(I)Cov(X,Y)=E{X-E(X)Y-E(Y)} =EXY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y)] =E(XY)-2E(X)E(Y+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)
4. 协方差的计算公式 (1) Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y); (2) ( ) ( ) ( ) 2Cov( , ). D X Y D X D Y X Y 证明 (1)Cov(X,Y) E{[X E(X)][Y E(Y)]} E[XY YE(X) XE(Y) E(X)E(Y)] E(XY) E(X)E(Y). E(XY) 2E(X)E(Y) E(X)E(Y)
概率论与数理统外「 (2)D(X±Y)=EI(X±Y)-E(X±Y)2} =E(X-E(X)±(Y-E(Y)} =EIX-E(X+EY-E(Y)) ±2EIX-E(X)[Y-E(Y) =D(X)+D(Y)±2CoV(X,)
2 (2) ( ) {[( ) ( )] } D X Y E X Y E X Y 2 E X E X Y E Y {[( ( )) ( ( )] } 2 {[ ( )][ ( )]} E X E X Y E Y {[ ( )] } {[ ( )] } 2 2 E X E X E Y E Y D X D Y X Y ( ) ( ) 2Cov( , )
概率论与敖理统外 5.性质 (1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X); (2)Cov(X,bY)=abCov(X,Y)a,b为常数； (3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(Xj,Y)+Cov(X2,Y)
5. 性质 (1) Cov(X,Y) Cov(Y,X); (2) Cov(aX,bY) abCov(X,Y) a,b为常数; (3) Cov( , ) Cov( , ) Cov( , ). X1 X2 Y X1 Y X2 Y
概率论与散理统外「 二、相关系数的意义 1.问题的提出 问a,b应如何选择可使X+b最接近Y? 接近的程度又应如何来衡量？ 设e=E[(Y-(a+bX)2] 则e可用来衡量a+bX近似表达Y的好坏程度 当e的值越小，表示a+bX与Y的近似程度越好 确定a,b的值，使e达到最小
1. 问题的提出 ? , , ? 接近的程度又应如何来衡 量 问a b 应如何选择 可 使 aX b 最接近Y [( ( )) ] 2 设 e E Y a bX 则 e 可用来衡量a bX 近似表达Y 的好坏程度. 当e的值越小,表示 a bX 与Y 的近似程度越好. 确定a,b的值,使 e 达到最小. 二、相关系数的意义
概率论与散理统计 e=E[(Y-(a+bX)2] =E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X) -2aE(Y). 将e分别关于a,b求偏导数，并令它们等于零，得 ae=2a+2bE(X)-2EY)=0, O 8e=2bE(x2)-2E(XY)+2aE(X)=0. 解得=CoX,),4=E(Y)-E(xCoX, D(X) D(X)
2 ( ). ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 aE Y E Y b E X a bE XY abE X 将 e 分别关于a,b 求偏导数,并令它们等于零,得 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0. 2 2 ( ) 2 ( ) 0, 2 bE X E XY aE X b e a bE X E Y a e 解得 , ( ) Cov( , ) 0 D X X Y b . ( ) Cov( , ) ( ) ( ) 0 D X X Y a E Y E X [( ( )) ] 2 e E Y a bX
概率枪与散理统计 将o,b代入e=E(Y-(a+bX)2]中，得 mine=E[(Y-(a+bx))2] a,b =E[(Y-(a+bX)2] =(1-px)D(Y). 2.相关系数的意义 当Py较大时e较小，表明X,Y的线性关系联 系较紧密 当P较小时，X,Y线性相关的程度较差 当Pxy=0时，称X和Y不相关
将 a0 ,b0 代入 e E[(Y (a bX))2 ]中,得 min [( ( )) ] 2 , e E Y a bX a b (1 ) ( ). 2 ρXY D Y 2. 相关系数的意义 . , , 系较紧密 当 ρXY 较大时 e 较 小 表 明 X Y 的线性关系联 当 ρ 较小时,X,Y 线性相关的程度较差. XY ρ 0 , X Y 不相关. 当 XY 时 称 和 [( ( )) ] 2 E Y a0 b0X