概率论与敖理统外 第四节 条件概率 一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结
一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结 第四节 条件概率
概率论与数理统外 一、条件概率 1.引例将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反 两方面的情况，设事件A为“至少有一次为正 面”，事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已 知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率. 分析设A为風，为T}. 4H.B=册T,P(B)生) 事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，记为 P(BA),P(B)=1=4=P(4B) +P(B) 33/4P(A)
将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反 两方面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正 面”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已 知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 分析 S { HH, HT,TH,TT }. . 2 1 4 2 P(B) 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 P(B A), 3 1 则 P(B A) P(B). 3 4 1 4 ( ) ( ) P A P AB 设 H 为正面, T 为反面. 1. 引例 一、条件概率 A {HH,HT,TH}, B {HH,TT}
概率论与敖理统计 2.定义 设A,B是两个事件，且P(A)>0,称 P(BA)= P(AB) P(A) 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 同理可得 P(AB)= P(AB) P(B) 为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率
( ) ( ) ( ) P B P AB 同理可得 P AB 为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率. . ( ) ( ) ( ) , , ( ) 0, 为在事件 发生的条件下事件 发生的条件概率 设 是两个事件 且 称 A B P A P AB P B A A B P A 2. 定义
概率论与散理统外 3.性质 (1)非负性：P(BA)≥0； (2)规范性：P(SB)=1,P(☑B)=0; (3)P(AUA B)=P(A B)+P(4 B)-P(A4 B); (4)P(AB)=1-P(AB). (⑤)可加可列性：设B,B2,是两两不相容的事 件，则有 P(
1 2 1 2 1 2 (3) ( ) ( ) ( ) ( ); P A A B P A B P A B P A A B (4) P(AB) 1 P(AB). (2) : ( ) 1, ( ) 0; 规范性 P S B P B 1 2 (5) : , , , , 可加可列性 设 B B 是两两不相容的事 件 则有 1 1 ( ). i i i i P B A P B A 3. 性质 (1)非负性: P(B A) 0;
概率论与赦理统外 二、乘法公式 设P(A)>0,则有P(AB)=P(BA)P(A. 设A,B,C为事件，且P(AB)>0,则有 P(ABC)=P(CAB)P(BA)P(A). 推广设A,A2,An为n个事件，n≥2， 且P(AA2.A-)>0,则有 P(AA2.An)=P(AA,A2.An-) P(An-AA2.An-2)×P(AA)P(A1)
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). n n n n n P A A A P A A A A P A A A A P A A P A 1 2 1 ( ) 0, 且 P A A A n 则有 1 2 , , , , 2, 推广 设 A A A n n n 为 个事件 设 A,B,C 为事件,且 P(AB) 0, 则有 P(ABC) P(C AB)P(B A)P(A). 设 P(A) 0, 则有 P(AB) P(B A)P(A). 二、 乘法公式
概率论与散理统外 例1某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8,活到25岁以上的概率为0.4，如果现在有一个 20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是 多少？ 解设A表示“能活20岁以上”的事件；B表 示“能活25岁以上”的事件， 则有 P(BA)= P(AB) P(A) 因为P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(AB)=P(B), 所以P(BA)=P1B 0.41 P(A) 0.82
例1 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件; B 表 示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 则有 因为 P(A) 0.8, . ( ) ( ) ( ) P A P AB P B A P(B) 0.4, P(AB) P(B), . 2 1 0.8 0.4 ( ) ( ) ( ) P A P AB 所以 P B A 解
概率论与敖理统计 摸球试验 例2设袋中装有r只红球t只白球每次自袋中 任取一只球，观察其颜色然后放回并再放入α只 与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球 四次，试求第一、二次取到红球且第三，四次取 到白球的概率 解设A,(i=1,2,3,4)为事件"第i次取到红球， 则A、A4为事件第三、四次取到白球
摸球试验 . , , , , . 到白球的概率 四 次 试求第一 二次取到红球且第三 四次取 与所取出的那只球同色的 球 若在袋中连续取球 任取一只球 观察其颜色然后放回并再放入 只 设袋中装有 只红球 只白球 每次自袋中 、 、 a r t 解 设 Ai (i 1,2,3,4)为事件"第 i 次取到红球" . 则 A3、A4 为事件第三、四次取到白球 例2
概率论与数理统外「 因此所求概率为 P(A4A,A) P(AA4,A)P(AA4)P(AA)P(A) t+a t r+a r r+t+3a r+t+2a r+t+a r+t 此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型
因此所求概率为 ( ) P A1A2 A3 A4 ( ) ( ) ( ) ( ) P A4 A1A2 A3 P A3 A1A2 P A2 A1 P A1 . 3 2 r t r r t a r a r t a t r t a t a 此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型
概率论与散理统计 例3设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时 打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落 下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率 解以4(i=1,2,3)表示事件"透镜第i次落下打破'， 以B表示事件“透镜落下三次而未打破”. 因为B=A1A2A3, 所以P(B)=P(A1A,A)=P(AAA)P(A2A)P(A) =-01-7-品
例3 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率. 解 以B 表示事件“透镜落下三次而未打破” . , 因为 B A1 A2 A3 ( ) ( ) 所以 P B P A1 A2 A3 ( ) ( ) ( ) P A3 A1A2 P A2 A1 P A1 ) 2 1 )(1 10 7 )(1 10 9 (1 . 200 3 以A (i 1,2,3)表示事件"透镜第i 次落下打破" , i
概率论与散理统外 三、全概率公式与贝叶斯公式 1.样本空间的划分 定义设S为试验E的样本空间，B,B2,Bn为 E的一组事件，若 (①)B,Bj=0,i≠j,i,j=1,2,.,店 (ii)BUB,U.UB,=S, 则称B,B2,Bn为样本空间S的一个划分. B2 B B3 .Bn
i ii 1 2 1 2 1 2 , , , , , ( ) , , , 1,2, , ; ( ) , , , , . n i j n n S E B B B E B B i j i j n B B B S B B B S 定义 设 为试验 的样本空间 为 的一组事件 若 则称 为样本空间 的一个划分 1. 样本空间的划分 B2 B1 B3 B n1 B n 三、全概率公式与贝叶斯公式