概率论与散理统外 第六节 独立性 一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、例题讲解 四、小结 ④⑦
一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、例题讲解 四、小结 第六节 独立性
概率论与散理统计 一、事件的相互独立性 1.引例 盒中有5个球(3绿2红)，每次取出一个，有放回 地取两次记 A=第一次抽取，取到绿球， B=第二次抽取，取到绿球， 则有 P(BA)=P(B) 它表示A的发生并不影响B发生的可能性大小 P(BA)=P(B)P(AB)=P(A)P(B)
一、事件的相互独立性 , , , , . 5 (3 2 ), , 第二次抽取 取到绿球 第一次抽取 取到绿球 地取两次 记 盒中有 个 球 绿 红 每次取出一个 有放回 B A 则有 P(B A) P(B) 它表示 A的发生并不影响B 发生的可能性大小. P(B A) P(B) P(AB) P(A)P(B) 1.引例
概率论与散理统外「 2.定义 设A,B是两事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B相互独立，简称A,B独立. 说明 事件A与B相互独立，是指事件A的发生与 事件B发生的概率无关
, , , . ( ) ( ) ( ) , , 则称事件 相互独立 简 称 独 立 设 是两事件 如果满足等式 A B A B P AB P A P B A B 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的发生与 事件 B 发生的概率无关. 说明 2.定义
概率论与敖理统计 3.三事件相互独立的概念 定义设A,B,C是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 则称事件A,B,C相互独立. 注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立
注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立 3.三事件相互独立的概念 , , . ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), , , , 则称事件 相互独立 定 义 设 是三个事件 如果满足等式 A B C P ABC P A P B P C P AC P A P C P BC P B P C P AB P A P B A B C
概幸论与散理统外」 推广设A,A,An是n个事件，如果对于任意 k(1<k≤n),任意1≤i,<i2<.<ik≤n,具有等式 P(AA,.A)=P(A,)P(A,).P(A 则称A1,A2,An为相互独立的事件 n个事件相互独立n个事件两两相互独立
1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), k k P A A A P A P A P A i i i i i i 1 2 , , , . 则称 A A A n 为相互独立的事件 n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立 1 2 1 2 , , , , (1 ), 1 , n k A A A n k k n i i i n 设 是 个事件 如果对于任意 任意 具有等式 推广
概率论与敖理统计】 二、几个重要定理 定理一设A,B是两事件，且P(A)>0.若A,B相 互独立，则P(BA)=P(B).反之亦然 证明 P(BA)= P(AB) P(A) P(A)P(B)=P(B) P(A) →P(BA=P(B):
证明 ( ) ( ) ( ) P A P AB P B A ( ) ( ) ( ) ( ) P B P A P A P B P(B A) P(B). , ( ) ( ). . , , ( ) 0. , 互独立 则 反之亦然 设 是两事件 且 若 相 P B A P B A B P A A B 二、几个重要定理 定理一
概率枪与散理统外「 定理二若A,B相互独立，则下列各对事件， A与B,A与B,A与B也相互独立 证明 先证A与B独立 因为A=ABUAB且(AB)(AB)=O, 所以P(A)=P(AB)+P(AB), 即P(AB)=P(A)-P(AB)
证明 先证 A与 B 独立. 因为A AB AB AB AB 且( )( ) , 所以 P(A) P(AB) P(AB), 即 P(AB) P(A) P(AB ). , , . , , , 与 与 与 也相互独立 若 相互独立 则下列各对事件 A B A B A B 定理二 A B
概率论与故理统外 又因为A、B相互独立，所以有 P(AB)=P(A)P(B), 因而P(AB)=P(A)-P(A)P(B) =P(A(1-P(B) =P(A)P(B) 从而A与B相互独立
因而 P(AB) P(A) P(A)P(B) P(A)(1 P(B)) P(A)P(B). 从而 A与 B 相互独立. 又因为 A、B 相互独立, 所以有 P(AB) P(A)P(B)
概率论与散理统针」 两个结论 1.若事件A1,A,An(n≥2)相互独立，则 其中任意k(2≤k≤)个事件也是相互独立. 2.若n个事件A1,A2,An(n≥2)相互独立， 则将A1,A2,An中任意多个事件换成它们的对 立事件，所得的n个事件仍相互独立
两个结论 1 2 1. , , , ( 2) , (2 ) . A A A n n k k n 若事件 相互独立 则 其中任意 个事件也是相互独立 1 2 1 2 2. , , , ( 2) , , , , , . n n n A A A n A A A n 若 个事件 相互独立 则将 中任意多个事件换成它们的对 立事件 所得的 个事件仍相互独立
概率论与散理统计 三、例题讲解 射击问题 例1设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2， 若10名机枪射击手同时向一架飞机射击，问击落飞 机的概率是多少？ 解设事件A为"第i名射手击落飞机'，i=1,2,.,10. 事件B为“击落飞机”， 则B=4UAU.UA
例1 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2, 若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞 机的概率是多少? 射击问题 解 设事件 A 为"第 i 名射手击落飞机" , i 事件 B 为“击落飞机”, 1 2 10 则B A A A , 三、例题讲解 i 1,2, ,10