概率论与敖理统外 第三节 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结
一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结 第三节 随机变量的分布函数
概率论与散理统外「 一、分布函数的概念 1.概念的引入 对于随机变量X,我们不仅要知道X取哪些值， 要知道X取这些值的概率；而且更重要的是想知 道X在任意有限区间(x,x2]内取值的概率， 例如求随机变量X落在区间(x,x,]内的概率 P{x1<X≤x2=P{X≤x2}-P{X≤x} F(K2) F(x)分布 函数 P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1):
{ } P x1 X x2 { } { } P X x2 P X x1 ( ) F x2 ( ) F x1 { } P x1 X x2 分布 函数 ( ) ( ). F x2 F x1 一、分布函数的概念 例如 求随机变量 X 落在区间(x1 , x2 ]内的概率 1.概念的引入 对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间 ( , ] x x 1 2 内取值的概率
概率论与敖理统计 2.分布函数的定义 定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=P{X≤x} 称为X的分布函数 说明 ()分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况. (2)分布函数F(x)是x的一个普通实函数
2.分布函数的定义 说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况. . ( ) { } , , 称 为 的分布函数 定 义 设 是一个随机变量 是任意实数 函 数 X F x P X x X x (2)分布函数 F(x) 是 x 的一个普通实函数
概率论与散理统外「 实例 抛掷均匀硬币，令 1, 出正面， , 出反面. 求随机变量X的分布函数， 解pX=1)=pX=0y=2 0 当x<0时， F(x)=P{X≤x<0}=0
实例 抛掷均匀硬币, 令 0, . 1, , 出反面 出正面 X 求随机变量 X 的分布函数. 解 p{X 1} p{X 0} , 2 1 0 1 x 当x 0时, F(x) P{X x 0} 0
概率论与散理统计 0 当0≤x<1时， F=PK≤9=PX=明-=2 当x≥1时， F(x)=P{X≤x 0,x<0, =P{X=0HP{X=1}得F(x)= 0≤x<1, 11 22-1. 1,x≥1
0 1 x 当0 x 1时, F(x) P{X x} P{X 0} ; 2 1 当x 1时, F(x) P{X x} P{X 0} P{X 1} 2 1 2 1 1. 1, 1. , 0 1, 2 1 0, 0, ( ) x x x 得 F x
概率论与散理统外「 二、分布函数的性质 (1)0≤F(x)≤1，x∈(-oo,oo); (2)F(x)≤F(x2),(x<x2)； 证明由x1<x2→{X≤x{X≤x2, 得P{X≤x}≤P{X≤x2, 又F(x)=P{X≤，F(x)=P{X≤x 故F(x)≤F(x):
(1) 0 F(x) 1, x (,); (2) ( ) ( ), ( ); 1 2 1 2 F x F x x x 证明 由 x1 x2 { } { }, 1 2 得 P X x P X x ( ) ( ). 1 2 故 F x F x { } X x1 { }, X x2 ( ) { }, 1 1 又 F x P X x ( ) { }, 2 2 F x P X x 二、分布函数的性质
根率轮与散理统针」 (3)F(-0o)=lim F(x)=0,F(co)=lim F(x)=1; →-00 X→00 证明F(x)=P{X≤x,当x越来越小时， P{X≤x}的值也越来越小因而当x→-∞时，有 limF(x)=limP{X≤x}=0 X)一00 →X 同样，当x增大时P{X≤x}的值也不会减小，而 X∈(-0，x)当x→0时，X必然落在(-oo,o)内. x
(3) () lim ( ) 0, F F x x F(x) P{X x}, lim ( ) lim { } 0 F x P X x x x o x o x () lim ( ) 1; F F x x 证明 当 x 越来越小时, P{X x}的值也越来越小,因而当 x 时,有 ( , ) , ( , ) . , { } , 当 时 必然落在 内 同 样 当 增大时 的值也不会减小 而 X x x X x P X x
概率论与数理统外「 所以limF(x)=limP{X≤x=1. X→00 (4)lim F(x)=F(xo),(-o<xo<oo). x→x0 即任一分布函数处处右连续. F(x) 0,x<0, 1 p1,0≤x<x, F(x)= P2,x1≤K<x2 1,x≥x2 0 X2
(4) lim ( ) ( ), ( ). 0 0 0 F x F x x x x 即任一分布函数处处右连续. 1, . , , , 0 , 0, 0, ( ) 2 2 1 2 1 1 x x p x x x p x x x F x lim ( ) lim { } 1. F x P X x x x 所以 o x F(x) 1 x 2 x p1 p2 1
概率论与散理统计 重要公式 (1)P(a}=1-F(o. 证明因为{X≤b}={X≤U{M<X≤b}, {X≤a∩{a<X≤b}=②， 所以P{X≤b}=P{X≤a}+P{a<X≤b}, 故P{a<X≤b}=F(b)-F(@)
重要公式 (1) P{a X b} F(b) F(a), (2) P{X a} 1 F(a). 证明 因为 {X b} {X a}{a X b}, {X a}{a X b} , 所以 P{X b} P{X a} P{a X b}, 故 P{a X b} F(b) F(a)
三、例题讲解 概率伦与散理统外「 例1将一枚硬币连掷三次，X表示"三次中正面 出现的次数"求X的分布律及分布函数，并求下 列概率值PX≤P<X≤.P2sX≤3， P1<X<3. 解设H-正面，T-反面，则 S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT, X0123 因此分布律为 1331 8888
S HHH ,HHT ,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT, 因此分布律为 8 1 8 3 8 3 8 1 0 1 2 3 p X 解 则 三、例题讲解 , " " , 1 3 5 { }, { }, {2 3}, 2 2 2 {1 3}. X X P X P X P X P X 例1 将一枚硬币连掷三次 表示 三次中正面 出现的次数 求 的分布律及分布函数 并求下 列概率值 设H 正面,T 反面