概率论与敖理统外 第二节 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结
第二节 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结
概率论与数理统外「 概述 自从高斯指出测量误差服从正态分布 之后，人们发现，正态分布在自然界中极 为常见。 中心极值定理是描述大量随机变量和 服从或近似服从正态分布的一类定理，它 们奠定了正态分布在概率论中的重要地位
概述 中心极值定理是描述大量随机变量和 服从或近似服从正态分布的一类定理，它 们奠定了正态分布在概率论中的重要地位。 自从高斯指出测量误差服从正态分布 之后，人们发现，正态分布在自然界中极 为常见
概率论与敖理统计 一、 问题的引入（客观背景） 实例：考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微 小误差的总和，这些因素包括：瞄准误差、测量 误差、子弹制造过程方面的误差以及射击时武 器的振动、气象因素的作用，所有这些不同因素 所引起的微小误差是相互独立的，并且它们中每 一个对总和产生的影响不大. 问题：某个随机变量是由大量相互独立且均匀 小的随机变量相加而成的，研究其概率分布情况
一、问题的引入(客观背景) 实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微 小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量 误差、子弹制造过程方面的误差以及射击时武 器的振动、气象因素的作用, 所有这些不同因素 所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们中每 一个对总和产生的影响不大. 问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀 小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况
概率论与散理统外 二、基本定理 定理一（独立同分布的中心极限定理) 设随机变量X1,X2,Xm,.相互独立，服从 同一分布，且具有数学期望和方差：E(X)=4, D(X)=o2>0(k=1,2,),则随机变量之和的 x-它x 标准化变量Y,== k=1 x
二、基本定理 定理一（独立同分布的中心极限定理） 1 2 2 , , , , , , ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), n k k X X X E X D X k 设随机变量 相互独立 服从 同一分布 且具有数学期望和方差： 则随机变量之和的 n k k n k k n k k n D X X E X Y 1 标准化变量 1 1 n X n n k k 1
概率论与敖理统外 的分布函数F,（x)对于任意x满足 ∑X-u lim F(x)=lim Pk间 ≤X n→o √n 2 =2e业=o 定理一表明： 当n→oo,随机变量序列Y,的分布函数收敛于 标准正态分布的分布函数
x n X n F x P F x x n k k n n n n 1 lim ( ) lim 的分布函数 ( ) 对于任意 满 足 定理一表明: . , 标准正态分布的分布函数 当n 随机变量序列Yn 的分布函数收敛于 x t e dt (x). 2π 1 2 2
概率论与数理统外「 例1一加法器同时收到20个噪声电压V (k=1,2,.20),设它们是相互独立的随机变量， 20 且都在区间0,10)上服从均匀分布，记V-之y, 求PV>105的近似值. 解E)=5,D)100k=12,20. 12 由定理一，随机变量Z近似服从正态分布N(O,1)
20 1 20 ( 1,2, 20), , (0,10) , , { 105} . k k k V k V V P V 一加法器同时收到 个噪声电压 设它们是相互独立的随机变量 且都在区间 上服从均匀分布 记 求 的近似值 解 ( ) 5, E Vk 100 ( ) ( 1,2, ,20). 12 D V k k 由定理一, 随机变量Z近似服从正态分布N(0,1), 例1
概率论与敖理统外 20 Y-20×5 其中Z=回 V-20×5 100 20 100 20 V12 V12 ·PW>105=P V-20×5、105-20×5 100 20 20 100 V12 V12 =P'20x5>0.387}=1-P4 V-100 ≤0.387} 100 100 20 1V12 0.387 1 12 V12 ≈1- =e2dt=1-Φ(0.387)=0.348. √2
20 12 100 20 5 20 1 k Vk Z 20 12 100 20 5 V 其中 P{V 105} } 20 12 100 105 20 5 20 12 100 20 5 { V P 0.387} 20 12 100 20 5 { V P 0.387} 20 12 100 100 1 { V P 0.387 2d 2π 1 1 2 e t t 1(0.387) 0.348
概率伦与散理统针」 定理二（李雅普诺夫定理） 李雅普诺夫 设随机变量X1,X2,X,.相互独立，它 们具有数学期望和方差： E(Xx)=4k,D(X)=O2≠0(k=1,2,), 记 B=2o, 若存在正数6，使得当n→o时， 1 EIX-4P-}→0， k=1
1 2 2 2 2 1 2 2 1 , , , , , ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), , , , 1 {| | } 0, n k k k k n n k k n k k n k X X X E X D X k B n E X B 设随机变量 相互独立 它 们具有数学期望和方差： 记 若存在正数 使得当 时 定理二(李雅普诺夫定理) 李雅普诺夫
概率论与敖理统外 则随机变量之和的标准化变量 之x-2x立x-24 k=1 2x Bn 的分布函数F(x)对于任意x满足 2x-2a lim F(x)=lim P k=1 ≤x} =2=w
则随机变量之和的标准化变量 n k k n k k n k k n D X X E X Z 1 1 1 n n k k n k k B X 1 1 的分布函数Fn (x) 对于任意x满足 lim ( ) lim { } 1 1 x B X F x P n n k k n k k n n n x t e dt (x). 2π 1 2 2
概率论与数理统外「 定理二表明： 无论各个随机变量X,X2,.,Xn,.服从什么 分布，只要满足定理的条件，那么它们的和∑X k=1 当n很大时，近似地服从正态分布. (如实例中射击偏差服从正态分布) 下面介绍的定理三是定理一的特殊情况
定理二表明: 1 2 1 , , , , , , , . n n k k X X X X n 无论各个随机变量 服从什么 分布 只要满足定理的条件 那么它们的和 当 很大时 近似地服从正态分布 (如实例中射击偏差服从正态分布) 下面介绍的定理三是定理一的特殊情况