第4章根轨迹法 主要内容 根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制法则 用根轨迹法分析系统的暂态特性 小结
3 第4章 根轨迹法 主要内容 ◼ 根轨迹的基本概念 ◼ 根轨迹的绘制法则 ◼ 用根轨迹法分析系统的暂态特性 ◼ 小结
第4章根轨迹法 学习重点 了解根轨迹的基本特性和相关概念 令了解根轨迹的类型划分,熟练掌握根轨迹的分 类原则 令掌握根轨迹的绘制法则,并能够熟练地应用到 根轨迹的绘制过程中 学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系 统的性能 ☆了解根轨迹形状与系统性能指标之间的关系
4 第4章 根轨迹法 学习重点 ❖ 了解根轨迹的基本特性和相关概念 ❖ 了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分 类原则 ❖ 掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到 根轨迹的绘制过程中 ❖ 学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系 统的性能 ❖ 了解根轨迹形状与系统性能指标之间的关系
第4章根轨迹法 根轨迹法 一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法。 它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部 数值关系的方法。 1948年,由伊文思(W.R. Evans)提出。 根轨迹法的任务 由已知的开环零极点和根轨迹增益,用图解方 法确定闭环极点
5 第4章 根轨迹法 根轨迹法 一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法。 它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部 数值关系的方法。 1948年，由伊文思（W.R.Evans）提出。 根轨迹法的任务 由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方 法确定闭环极点
41根轨迹法的基本概念 根轨迹 系统开环传递函数的某一个参数从零 变化到无穷大时,闭环系统特征方程的根 在S平面上的变化轨迹
6 4.1 根轨迹法的基本概念 根轨迹 系统开环传递函数的某一个参数从零 变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根 在 S 平面上的变化轨迹
41根轨迹法的基本概念 例4.1二阶系统的根轨迹 K 闭环传递函数 s(0.5s+1) 2K WB(S)=-2 s2+2s+2K 特征方程D(s)=s2+2+2K=0 闭环极点 1+√1-2K 2K
7 s(0.5s +1) 例 K 4.1 二阶系统的根轨迹 闭环传递函数 特征方程 闭环极点 2 D s s s K ( ) 2 2 0 = + + = 2 2 ( ) 2 2 B K W s s s K = + + 1 2 1 1 2 1 1 2 s K s K = − + − = − − − 4.1 根轨迹法的基本概念
41根轨迹法的基本概念 研究开环放大系数K与闭环特征根的关系。当取不同K值 时,算得闭环特征根如下: K 2 0.5 1+j3 1-j3 1+j0 1-j0
8 研究开环放大系数K与闭环特征根的关系。当取不同K值 时，算得闭环特征根如下： K 0 0 -2 0.5 -1 -1 1 -1+j -1-j 2 -1+j -1-j -1+j -1-j 1 s 3 3 2 s 4.1 根轨迹法的基本概念
41根轨迹法的基本概念 K由0→∞变化时,闭环特征根在S平面上移动的 轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。 Jo K=2 根轨迹直观地表示了 K=l Y 参数K变化时,闭环特 征根的变化,并且还 给出了参数K对闭环特 K=0 K=0 征根在S平面上分布的 K=2 影响。 9
9 4.1 根轨迹法的基本概念 K由0→∞变化时，闭环特征根在S平面上移动的 轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。 根轨迹直观地表示了 参数K变化时，闭环特 征根的变化，并且还 给出了参数K对闭环特 征根在S平面上分布的 影响
41根轨迹法的基本概念 根轨迹方程 控制系统结构图 X(s) KI M(s) Xc(s) D1(S) D2() 开环传递函数 KK2N(SN2(S) K(s+=i)K,N(s) K D,(SD,(S) ∏(s+p) D
10 根轨迹方程 控制系统结构图 开环传递函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 D s K N s s p K s z D s D s K K N s N s W s g n j j m i g i K = + + = = = = 4.1 根轨迹法的基本概念
41根轨迹法的基本概念 式中: 开环零点; 开环极点。 闭环系统特征方程式为 K。N(S) 1+ =1+Wk (S)=0 D(S) 或可写作 N(s) (S+2 ∏I(s+p) K 11
11 式中： ——开环零点； ——开环极点。 闭环系统特征方程式为 或可写作 i −z j − p ( ) 1 1 ( ) 0 ( ) g K K N s W s D s + = + = g n j j m i i K s p s z D s N s 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 = − + + = = = 4.1 根轨迹法的基本概念
41根轨迹法的基本概念 N(S)_i= ∏I(+=) D(S) K (S+p,) g 这个方程式表达了开环传递函数与闭环 特征方程式的关系,该方程的解即为闭环特征 根,因此该式又称为根轨迹方程 上式是一个复数,可表示成幅值和辐角的 形式,则根轨迹方程又可分别表示成: 12
12 这个方程式表达了开环传递函数与闭环 特征方程式的关系，该方程的解即为闭环特征 根，因此该式又称为根轨迹方程。 上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的 形式，则根轨迹方程又可分别表示成： 4.1 根轨迹法的基本概念 g n j j m i i K s p s z D s N s 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 = − + + = = =