现代控制理论
现代控制理论
第5章控制系统的李雅普诺夫 稳定性分析 5.1李雅普诺夫稳定性定义 5.2李雅普诺夫稳定性理论 5.3线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.4非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.5李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用
2 第5章 控制系统的李雅普诺夫 稳定性分析 5.1 李雅普诺夫稳定性定义 5.2 李雅普诺夫稳定性理论 5.3 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 5.5 李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用
个控制系统要能够正常工作首要条件是保证 系统是稳定的。因此,控制系统的稳定性分析是系 统分析的首要任务。 1892年,俄国学者李雅普诺夫( Lyapunov)在 “运动稳定性一般问题”一文中,提出了著名的李 雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通 用方法,适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性 理论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法 分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法
3 一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证 系统是稳定的。因此，控制系统的稳定性分析是系 统分析的首要任务。 1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）在 “运动稳定性一般问题”一文中，提出了著名的李 雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通 用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性 理论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法， 分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法
李氏第一法是通过求解系统的微分方程,然后 根据解的性质来判断系统的稳定性。其基本思路与 分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接 法。 而李氏第二法的特点是不必求解系统的微分方 程(或状态方程),而是首先构造一个类似于能量 函数的李雅普诺夫函数,然后再根据李雅普诺夫函 数的性质直接判断系统的稳定性。因此,该方法又 称为直接法
4 李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后 根据解的性质来判断系统的稳定性。其基本思路与 分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接 法。 而李氏第二法的特点是不必求解系统的微分方 程（或状态方程），而是首先构造一个类似于能量 函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函 数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方法又 称为直接法
5.1李雅普诺夫稳定性定义 稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后, 统自由运动的性质。因此,系统的稳定性是相对于系 统的平衡状态而言的。对于线性定常系统,由于通常 只存在唯一的一个平衡状态,所以,只有线性定常系 统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定 性。而对于其他系统,平衡点不止一个,系统中不同 的平衡点有着不同的稳定性,我们只能讨论某一平衡 状态的稳定性。为此,首先给出关于平衡状态的定义 然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义
5 5.1 李雅普诺夫稳定性定义 稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系 统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系 统的平衡状态而言的。对于线性定常系统，由于通常 只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系 统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定 性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中不同 的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡 状态的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义， 然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义
51.1平衡状态 由于稳定性考察的是系统的自由运动,故令u 此时设系统的状态方程为 x=∫(x,D)2x∈R 初始状态为x()=x0。对于上述系统,若对所有的, 状态x满足x=0则称该状态x为平衡状态,记为 故有 (xn,t)=0 由平衡状态x在状态空间中所确定的点,称为平衡点
6 初始状态为x(t 0 ) = x0。对于上述系统，若对所有的t， 状态x满足 ，则称该状态x为平衡状态，记为xe。 故有 x = 0 5.1.1 平衡状态 n x = f (x, t), x R f（xe，t）= 0 由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点。 由于稳定性考察的是系统的自由运动，故令u = 0。 此时设系统的状态方程为
对于线性定常系统,其状态方程为 x=Ax 系统的平衡状态应满足Ax=0。 当A是非奇异的,则系统存在唯一的一个平衡状态 0。 当A是奇异的,则系统有无穷多个平衡状态。 显然对线性定常系统来说,当A是非奇异的,只有 坐标原点是系统的唯一的一个平衡点
7 系统的平衡状态应满足Axe = 0。 当A是非奇异的，则系统存在唯一的一个平衡状态 xe = 0。 当A是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。 显然对线性定常系统来说，当A是非奇异的，只有 坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。 x = Ax 对于线性定常系统，其状态方程为
对于非线性系统,方程fx,1=0的解可能 有多个,即可能有多个平衡状态。如 =0 x1+x,-x2=0 解得 由于存在坐标变换, 今后只取坐标原点作 为系统的平衡点。 因此该系统有三个平衡状态 0 0
8 对于非线性系统，方程f( xe，t) = 0的解可能 有多个，即可能有多个平衡状态。如 = + − = − 3 2 1 2 2 1 1 x x x x x x + − = − = 0 0 3 1 2 2 1 x x x x 解得 = − = 0,1, 1 0 2 1 x x 因此该系统有三个平衡状态 = 0 0 1 xe = 1 0 2 xe − = 1 0 3 xe 由于存在坐标变换， 今后只取坐标原点作 为系统的平衡点
512范数的概念 李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。 范数的定义:在维状态空间中,向量x的长度称Q 为向量x的范数,用表示,则 十x+∴+x xx 向量(x-xn)范数可写成 r-d X-X x 通常又将-x|称为x与x的距离。当向量(x-xn) 的范数限定在某一范围之内时,则记为 ILx-xse 8>0 几何意义为,在状态空间中以x为球心,以E为 一个球域,记为S(E)
9 5.1.2 范数的概念 李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。 范数的定义：在n维状态空间中，向量x的长度称 为向量x的范数，用‖x‖表示，则 2 2 2 2 1 n x = x + x ++ x 2 1 T = (x x) 向量（x − xe）范数可写成 2 2 1 ( ) ( ) 1 n e e n e x − x = x − x + x − x 通常又将‖x − xe ‖称为x与 xe的距离。当向量（x − xe） 的范数限定在某一范围之内时，则记为 ‖x − xe ‖ > 0 几何意义为，在状态空间中以xe为球心，以为半 径的一个球域，记为S( )
51.3李雅普诺夫稳定性定义 1.稳定和一致稳定 定义:对于系统=f(x,1),若对任意给定的实数 E>0,都对应存在另一个实数&Et)>0,使得一切满 足x0-x≤E,)的任意初始状态x0所对应的解x,在 所有时间内都满足 lx-x|≤E(t≥tn) 则称系统的平衡状态x稳定的。若8t无关,则称平 衡状态x是一致稳定的
10 5.1.3 李雅普诺夫稳定性定义 定义: 对于系统 ，若对任意给定的实数 >0，都对应存在另一个实数(, t 0 )>0，使得一切满 足‖x0−xe ‖ ( , t 0 )的任意初始状态x0所对应的解x，在 所有时间内都满足 x = f (x,t) ‖x − xe ‖ （t t 0） 则称系统的平衡状态xe稳定的。若与t 0无关，则称平 衡状态xe是一致稳定的。 1. 稳定和一致稳定