第七章： 状态空间描述法 7.1线性系统的状态空间描述 7.2状态方程求解 7.3可控性与可观测性 7.4状态反馈与状态观测器 End
7.1 线性系统的状态空间描述 7.2 状态方程求解 7.3 可控性与可观测性 7.4 状态反馈与状态观测器 End
控制理论的发展 经典控制论:时间:本世纪30-50年代 对象:线性定常,单输入输出系统 方法:传递函数,频域特性 现代控制论:时间:本世纪50-70年代 对象:时变、离散、非线性的多输入输出系统 方法:时域,线性代数,状态空间 大系统理论、智能控制理论: 时间:本世纪60年代末今 对象:复杂系统,交叉学科,生医、信号处理、软件算法 方法:人工智能,神经网络,模糊集,运筹学
控制理论的发展 经典控制论： 现代控制论： 大系统理论、智能控制理论： 时间：本世纪30-50年代 对象：线性定常，单输入输出系统 方法：传递函数，频域特性 时间：本世纪50-70年代 对象：时变、离散、非线性的多输入输出系统 方法：时域，线性代数，状态空间 时间：本世纪60年代末-今 对象：复杂系统，交叉学科，生医、信号处理、软件算法 方法：人工智能，神经网络，模糊集，运筹学
现代控制论的五个分支: ·线性系统理论 建立 ·建模和系统辨识 建模→状态空间求解 ·最优滤波理论 可控性 表达式转换 ·最优控制 可观性分析 自适应控制 稳定性 状态反馈 线性系统理论是现代控制论的基础 设计状态观测器 最完善,技术上较为成熟,应用最广泛 的部分 最优控制 主要研究线性系统在输入作用下状态运 动过程的规律和改变这些规律的可能性 与措施 现代控制原理预览 建立和揭示系统的结构性质、动态行为 和性能之间的关系 主要研究内容包括状态空间描述、能空 性、能观性和状态反馈、状态观测等
现代控制论的 五个分支： • 建模和系统辨识 • 最优滤波理论 • 最优控制 • 自适应控制 • 线性系统理论 现代控制原理预览 建模 分析 设计 状态空间 表达式 建立 求解 可控性 转换 可观性 稳定性 状态反馈 状态观测器 最优控制 • 线性系统理论是现代控制论的基础 • 最完善，技术上较为成熟，应用最广泛 的部分 • 主要研究线性系统在输入作用下状态运 动过程的规律和改变这些规律的可能性 与措施 • 建立和揭示系统的结构性质、动态行为 和性能之间的关系 • 主要研究内容包括状态空间描述、能空 性、能观性和状态反馈、状态观测等
现代控制论ⅴS经典控制论 经典控制论 以微分方程或传递函数为描述系统动态特性的数学模型 常采用频域分析法分析系统特性 表达系统输入与输出之间的关系 只描述系统的外部特性,不反应内部各物理量的变化 仅仅考虑零初始条件,不足以揭示系统全部特性 现代控制论 采用状态空间表达式作为系统的数学模型 用时域分析系统输入、输出与内部状态之间的关系 状态空间表达式是一阶矩阵向量微分方程组 揭示系统内部的运动规律,反应系统动态特性的全部信息
现代控制论 VS 经典控制论 特 点 已工程化，直观，具体， 精度一般 已规范化，精度高，有标 准的算法程序 控制器 以模拟硬件为主 以单片机、微处理器，软 件为主 结构图 经 典 现 代 时 间 1940-1960年 1960年至现在 数学模型 传递函数、微分方程 传递矩阵、状态方程 数学工具 常微分方程、复变函数、 Laplace变换等 矩阵理论、泛函分析、 概率统计等 应用范围 单输入单输出线性定常 连续、离散时变集中参 数系统 多输入多输出连续、离 散时变集中参数系统 应用情况 极为普遍 范围广 控制器 被控 对象 r(t) c(t) 微处 理器 被控 对象 R Y N 经典控制论 • 以微分方程或传递函数为描述系统动态特性的数学模型 • 常采用频域分析法分析系统特性 • 表达系统输入与输出之间的关系 • 只描述系统的外部特性，不反应内部各物理量的变化 • 仅仅考虑零初始条件，不足以揭示系统全部特性 现代控制论 • 采用状态空间表达式作为系统的数学模型 • 用时域分析系统输入、输出与内部状态之间的关系 • 状态空间表达式是一阶矩阵-----向量微分方程组 • 揭示系统内部的运动规律，反应系统动态特性的全部信息
71.状态和状态空间基本概念 (4)状态空间:以状态变量x1(t)…,x2(1)为坐标轴构成 的n维空间 (5)状态方程:描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 分方程(组):x()=Ax(t)+B() (6)输出方程:描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式:y(t)=Cx(t)+D() (7)状态空间表达式:(5)+(6)
7.1. 状态和状态空间基本概念 (5) 状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 分方程（组）： (6) 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式： x(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t) (7) 状态空间表达式： (5)+(6). (4) 状态空间：以状态变量 为坐标轴构成 的n维空间 1( ), , ( ) n x t x t
7.1.状态和状态空间 思考和第二章 1一先看一个例子: 建模的区别 例71试建立图示电路的数学模型 +u(r)+R()=u,(t) ( R i i(t)=c d t ur() Cuo 经典控制论中:n阶系统 n阶微分方程 只是输入与输出的关系,无中间变量 现代控制论中:n阶系统 n个一阶微分方程 体现输入,输出与各个中间变量的线性关系
7.1. 状态和状态空间 例7.1 试建立图示电路的数学模型。 R L C i(t) ur(t) uc(t) ( ) ( ) ( ) ( ) u t Ri t u t dt di t L c r dt du t i t C c ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 u t L i t L R u dt L di t i t dt C du t c r c 思考和第二章 建模的区别 “经典”是高阶微分，一个方程，无中间变量 “现代”是一阶微分，一个方程组，有中间变量 经典控制论中：n阶系统 n阶微分方程 只是输入与输出的关系，无中间变量 现代控制论中：n阶系统 n个一阶微分方程 体现输入，输出与各个中间变量的线性关系
在已知u的情况下,只要知道υ(t)和ft)的变化特性,则 其他变量的变化均可知道。故u(t)和t称为“状态变量”。记 2 及 dx (t (i=1、2) d t du(t)i(t) dt di(t) R R i()+,l(t) Xi x+-u d t L-L 转换成矩阵方程 则有 0|x710 x2() 一阶矩阵微分方 L 程式
在已知ur(t)的情况下，只要知道 uc(t)和i(t)的变化特性，则 其他变量的变化均可知道。故uc(t)和i(t)称为“状态变量” 。记 ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 1 2 及 x i 、 dt dx t x t u t x t i t i i c ( ) 1 0 ( ) ( ) 1 1 0 ( ) ( ) 2 1 2 1 u t L x t x t L R L C x t x t r 则有 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 u t L i t L R u dt L di t i t dt C du t c r c 1 2 2 1 2 1 1 1 r x x C R x x x u L L L 转换成矩阵方程 一阶矩阵微分方 程式
7.1.状态和状态空间基本概念 (1)状态:系统过去、现在和将来的状况 (2)状态变量:能够完全表征系统运动状态的最小一组变量: a)x()=0=x()表示系统在时刻的状态 b)若初值x(0)给定,t2o时的a()给定,则状态变量完全 确定系统在t≥(时的行为 淡化了输出的概念,都归结为状态变量 已知输入及所有状态变量,就能刻画整个系统
7.1. 状态和状态空间基本概念 (1) 状态：系统过去、现在和将来的状况 (2) 状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量： b) 0 0 ) ( ) ( ) t t a x t x t 表示系统在t0时刻的状态 若初值 给定， 时的 给定， 则状态变量完全 确定系统在 时的行为。 0 x(t ) 0 t t u(t) 0 t t 淡化了输出的概念，都归结为状态变量 已知输入及所有状态变量，就能刻画整个系统
71.状态和状态空间基本概念 (3)状态向量:以系统的n个独立状态变量x1(t),…xn(t 作为分量的向量,即 如上例中,x()=0为系统的状态向量,x(1(=1,2) 为状态变量。 (4)状态空间:以状态变量x1(t),…,x(1)为坐标轴构成 的n维空间 (5)状态方程:描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 分方程(组):x()=Ax()+B() (6)输出方程:描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式:y(t)=Cx(t)+D() (7)状态空间表达式:「(5) (6)
如上例中, 为系统的状态向量， 为状态变量。 x t x t x t 2 1 x t,(i 1,2) i (3) 状态向量：以系统的n个独立状态变量 作为分量的向量，即 1( ), , ( ) n x t x t T 1 ( ) ( ), , ( ) n x t x t x t 7.1. 状态和状态空间基本概念 (5) 状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 分方程（组）： (6) 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式： x(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t) (7) 状态空间表达式： (5) (6). (4) 状态空间：以状态变量 为坐标轴构成 的n维空间 1( ), , ( ) n x t x t
求上述RLC电路的状态空间表达式 状态方程 x,(t) 0 x,(t 0 1-% 输出方程 x1()=()→y(t)=2(1)=x1(t)=[01|x(t) x(t x(0102 0 状态空间表达式 = x(t)+ y()=[01]x( 其中x(0)=/+() 状态空间表达式就是用状态向量将 状态方程和输出表示出来
求上述RLC电路的状态空间表达式 1 1 2 2 1 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) r x t C x t u t x t R x t L L L 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [0 1] ( ) c c x t x t u t y t u t x t x t 状态方程 输出方程 状态空间表达式 1 2 1 0 0 ( ) ( ) 1 ( ) 1 r x t C u t x t R L L L x(t) y (t) [0 1]x(t) 1 2 ( ) ( ) x t x t 其中 x(t) 状态空间表达式就是用状态向量将 状态方程和输出表示出来
