自动控制原理 第四章复域分析法一根轨迹法 第四章根轨迹法 闭环系统的稳定性和性能指标主要由闭环系 统的极点在复平面的位置决定,因此,分析或设 计系统时确定出系统闭环极点的位置是十分有意 义的 伊凡思(W.R. Evans)提出:闭环极点的图解法 开环零极 规则「闭环极点 点的分布随参数的一→分析系统 变化轨迹
自动控制原理 第四章 复域分析法－根轨迹法 第四章 根轨迹法 闭环系统的稳定性和性能指标主要由闭环系 统的极点在复平面的位置决定，因此，分析或设 计系统时确定出系统闭环极点的位置是十分有意 义的
自动控制原理 第四章复域分析法一根轨迹法 41根轨迹的基本概念 、根轨迹的定义 根轨迹:是指系统开环传递函数中某个参数(如开 环增益灼从零变到无穷时,闭环特征根在s平面上 移动所画出的轨迹 常规根轨迹:当变化的参数为开环增益/很根轨迹增 益时所对应的根轨迹 广义根轨迹∶除常规根轨迹外的其他情况下的根 轨迹
自动控制原理 第四章 复域分析法－根轨迹法 4.1 根轨迹的基本概念 根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数(如开 环增益K)从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上 移动所画出的轨迹。 常规根轨迹：当变化的参数为开环增益/根轨迹增 益时所对应的根轨迹。 广义根轨迹：除常规根轨迹外的其他情况下的根 轨迹。 一、根轨迹的定义
自动控制原理 第四章复域分析法一根轨迹法 R(S s(s+4) 系统的开环传递函数 G(s) s(S+4) κ:根轨迹增益;K4:开环增益。 开环极点:p1=0,2=-4;开环零点:无
自动控制原理 第四章 复域分析法－根轨迹法 (0.5 1) K s s + R(s) C(s) - 系统的开环传递函数 * ( ) ( 4) K G s s s = + K* ：根轨迹增益；K* /4：开环增益。 开环极点：-p1= 0，-p2= −4；开环零点：无。 * ( 4) K s s +
自动控制原理 第四章复域分析法一根轨迹法 特征方程: K=20 D(s)=2+4s+K=0 K=8 特征根: 12 =-2± K=4|p1 OK"=0
自动控制原理 第四章 复域分析法－根轨迹法 ( ) 2 * = + + = D s s s K 4 0* = − − s K 1.2 2 4 特征方程： 特征根： j 0 –6 –4 –2 -2 2 p1 p2 4 -4 * K = 0 * K = 20 * K = 4 * K = 8
自动控制原理 第四章复域分析法一根轨迹法 二、根轨迹与系统的性能 稳定性:K>0稳定 K一 K=20 稳态性能 K=8 2 r(t)=t,es= K K"=0 K=0 动态性能: 4 2 ①当04时,欠阻尼状态。 K→
自动控制原理 第四章 复域分析法－根轨迹法 二、根轨迹与系统的性能 稳定性： 稳态性能： K*>0稳定 1 ( ) , ss r t t e K = = 动态性能： ①当04时，欠阻尼状态。 j 2 4 -2 -4 K=0 K*=0.5 K*=0 K=1 K=1 K=2.5 K=2.5 K→ K→ -4 -2 * K =0 * K =4 * K =0 * K =8 * K =8 * K =20 * K =20 * K → * K →
自动控制原理 第四章复域分析法一根轨迹法 根轨迹方程 1.开/闭环传递函数的零极点表达式 控制系统的结构图 R(S) G(S) H(s) 其闭环传递函数 ①(S)= G(S) 1+G(s)H(s) 式中G($HS为系统的开环传递函数
自动控制原理 第四章 复域分析法－根轨迹法 三、根轨迹方程 1. 开/闭环传递函数的零极点表达式 G s( ) R(s) H s( ) C(s) - 控制系统的结构图 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) G s s G s H s = + 其闭环传递函数 式中G(s)H(s)为系统的开环传递函数
自动控制原理 第四章复域分析法一根轨迹法 开环传递函数零极点表达式为 P1为开环极点; KII(S-z 为开环零点; G(s)H()= (m≤n)K称作根轨迹增 II(s-p: 益 s1为闭环极点,即 KpI( S-z) pJ 系统特征根 Φ() I(s (≤n)z为闭环零点 K称作闭环很轨 迹增益
自动控制原理 第四章 复域分析法－根轨迹法 开环传递函数零极点表达式为 * 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m j j n i i K s z G s H s m n s p = = − = − pi 为开环极点； zj 为开环零点； K* 称作根轨迹增 益。 * 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) l j j n i i K s z s l n s s = = − = − si 为闭环极点，即 系统特征根。 zj为闭环零点。 K* 称作闭环根轨 迹增益
自动控制原理 第四章复域分析法一根轨迹法 2.根轨迹方程 特征方程1+G(5)=0可变换为Gk(s)=1。将 Gk(S)=-1称为根轨迹方程,即 KII(s I(s-Pi 由于Gk(s)是复数s的函数,故上式可视为向量方程
自动控制原理 第四章 复域分析法－根轨迹法 2. 根轨迹方程 * 1 1 ( ) 1 ( ) m j j n i i K s z s p = = − = − − 特征方程1+GK (s) =0可变换为GK (s)=-1。将 GK (s)= -1称为根轨迹方程，即 由于GK (s)是复数s 的函数，故上式可视为向量方程
自动控制原理 第四章复域分析法一根轨迹法 模值方程:确定根轨迹上某点对应的Kˆ值 KIIs IIIs-pil 相角方程:确定某点是否是根轨迹上的点 ∑4(s-x)-∑∠(-m)=(2k+1)m i=1 (k=0,±1,±2,…) ★相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件
自动控制原理 第四章 复域分析法－根轨迹法 模值方程： * 1 1 1 m j j n i i s s K z p = = − = − 相角方程： 1 1 ( ) ( ) (2 1)π ( 0, 1, 2, ) m n j i j i s z k s p k = = − − − = + = 确定根轨迹上某点对应的K*值。 确定某点是否是根轨迹上的点 ★相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件
自动控制原理 第四章复域分析法一根轨迹法 KI(S-z j=1 II(s-p: 把(-x)和s-P)均看成向量的话,在复平面 中的体现是由开环零极点利指向点的向量
自动控制原理 第四章 复域分析法－根轨迹法 * 1 1 ( ) 1 ( ) m j j n i i K s z s p = = − = − − • 把 均看成向量的话，在复平面 中的体现是由开环零极点 指向s点的向量。 ( ) ( ) j pi s − z 和 s − j i z p 和