第二章自动控制系统 的数学模型 教师:三晓甜 xtwang@mail,xidian.edu.cn 历毛子技女字 XIDIAN UNIVERSITY
第二章 自动控制系统 的数学模型 教师：王晓甜 xtwang@mail.xidian.edu.cn
系统的数学模型 什么是救学棋型? 数学模型:描述系统内部各物理量之间因果关系的数学表达式 物理量:高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流 数学表达式:代数方程、微分方程 救学棋型的特点 1)相似性:不同性质的系统,具有相同的数学模型。抽象的变量和系统 2)简化性和准确性:忽略次要因素,简化之,但不能太简单,结果合理 3)动态模型:变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析 4)静态模型:静态条件下,各变量之间的代数方程。放大倍数 救学棋型的粪型 1)微分方程:时域其它模型的基础直观求解繁琐 2)传递函数:复频域微分方程拉氏变换后的结果 3)频率特性:频域 分析方法不同,各有所长 xtwang@mailxidian.edu.cn XIDIAN UNIVERSITY
系统的数学模型 • 什么是数学模型？ • 数学模型：描述系统内部各物理量之间因果关系的数学表达式。 • 物理量：高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流 。 • 数学表达式：代数方程、微分方程 • 数学模型的特点 1) 相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理 3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析 4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数 • 数学模型的类型 1)微分方程：时域 其它模型的基础 直观 求解繁琐 • 2)传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果 • 3)频率特性：频域 分析方法不同，各有所长 xtwang@mail.xidian.edu.cn
系统的数学模型 为什么要建立数学模型? 要对自动控制系统进行定量(精确)地分析和设计,首先 要建立系统的数学模型。 马克思说定性到定量的飞跃,才能变成一门科学。 这个数学模型往往是一个微分方程或传递函数。通过拉普拉斯变换,可将微 分方程转化为代数方程,使微分方程的求解大大简化;而传递函数又是建立 在拉氏变换的基础上的。因此,微分方程和拉氏变换是自动控制理论的数学 基础 控制系统数学模型的类型 时城模型 频域模型复(S)域模型方框图=原理图 微分方程 频率特性 传递函数 +数学模型 xtwang@mailxidian.edu.cn 历毛技大 XIDIAN UNIVERSITY
系统的数学模型 • 为什么要建立数学模型？ • 要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先 要建立系统的数学模型。 • 马克思说:定性到定量的飞跃，才能变成一门科学。 • 这个数学模型往往是一个微分方程或传递函数。通过拉普拉斯变换，可将微 分方程转化为代数方程，使微分方程的求解大大简化；而传递函数又是建立 在拉氏变换的基础上的。因此 ，微分方程和拉氏变换是自动控制理论的数学 基础 xtwang@mail.xidian.edu.cn 控制系统数学模型的类型 时域模型 微分方程 频域模型 频率特性 方框图=原理图 ＋数学模型 复（S）域模型 传递函数
微分方程 Contents 拉氏变换 线性系统的时域数学模型 2系统传递函数 3系统物理结构图 4信号流图 5线性定常系统数学模型的 MATLAB实现 Logo XIDIAN UNIVERSITY
Logo 线性系统的时域数学模型 Contents 1 2 系统传递函数 3 系统物理结构图 4 信号流图 5 线性定常系统数学模型的MATLAB实现 微分方程 拉氏变换
2.1线性系统的时城模型 对于单输入、单输岀(SIsO)线性定常系数的时城模型 是一组输入和输出对时间函数: c"()+acm()+a2cm2(t)+…+anc()+a2c(t) =brm(t)+brm(t)+b2r(m=2()+…+bnr(t)+bnr(t) r(t):系统的输入信号 c(t):系统的输出信号 "0"(对时间的nm阶导数O 微分方程 a,b由系统的结构参数决定的系数 动态方程 运动方程 微分方程用于确定被控量与输 出量或扰动量之间的数学关系 xtwang@mailxidian.edu.cn XIDIAN UNIVERSITY
2.1 线性系统的时域模型 xtwang@mail.xidian.edu.cn ( ) ( 1) ( 2) 1 2 1 2 ( ) ( 1) ( 2) 0 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n m m m m m c t a c t a c t a c t a c t b r t b r t b r t b r t b r t − − − − − − + + + + + = + + + + + 对于单输入、单输出(SISO)线性定常系数的时域模型 是一组输入和输出对时间函数： r(t): 系统的输入信号 c(t): 系统的输出信号 ( ) ( ) ( ) ( ) n m c t r t ， 对时间的n,m阶导数 a b, 由系统的结构参数决定的系数 微分方程 动态方程 运动方程 微分方程用于确定被控量与输 出量或扰动量之间的数学关系
2.1线性系统的时城模型 214救学棋型的嚏立方法 1)分析法:根据系统各部分的运动机理,按有关定理列方程, 合在一起。 频率特性法,最小〓乘法(曲线拟合),神经元网络法,模糊模型法 2)实验法:黑箱问题。施加某种测试信号,记录输出,用系统 辨识的方法,得到数学模型。 黑箱法、辨识法、灰箱法 输入(充分激励) 黑匣子输出(测量结果) 建模原则:选择合适的分析方法一确定相应的数学模 型一简化 xtwang@mailxidian.edu.cn XIDIAN UNIVERSITY
2.1 线性系统的时域模型 xtwang@mail.xidian.edu.cn 2.1.4 数学模型的建立方法 1) 分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程， 合在一起。 频率特性法，最小二乘法 (曲线拟合)，神经元网络法，模糊模型法 2) 实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统 辨识的方法，得到数学模型。 黑箱法、辨识法、灰箱法 建模原则：选择合适的分析方法－确定相应的数学模 型－简化 黑匣子 输入（充分激励） 输出（测量结果）
2.1线性系统的时城模型 ◆分析法-根据系统运动规律(定律、经验公式)和结 构参数,推导系统输入输出之间数学关系。 列写微分方程式的一般步骤 1)分析系统运动的因果关系,确定系统的输入量、输出量及内部中 间变量,搞清各变量之间的关系 2)忽略一些次要因素,合理简化。 3)根据相关基本定律,列出各部分的原始方程式 4)联立上述方程,消去中间变量,得到只包含输入输出的方程式 5)将方程式化成标准形 与输出有关的放在左边,与输入有关的放在右边,导数项按降阶排列 系数化为有物理意义的形式。 xtwang@mailxidian.edu.cn XIDIAN UNIVERSITY
2.1 线性系统的时域模型 xtwang@mail.xidian.edu.cn ◆分析法－根据系统运动规律（定律、经验公式）和结 构参数，推导系统输入输出之间数学关系。 列写微分方程式的一般步骤 1) 分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中 间变量，搞清各变量之间的关系。 2) 忽略一些次要因素，合理简化。 3) 根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。 4) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。 5) 将方程式化成标准形。 与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按降阶排列 ，系数化为有物理意义的形式
2.1线性系统的时城模型 对于单输入、单输出SISO线性定常系统, 采用下列微分方程来描述: c"()+acm()+a2c"=2(t)+…+anc(t)+anc( brm(t)+br(m=(1)+b,r(m2(t)+…+b_r()+b c()+a d"-c()+…+an d c()+a.c(t) bo r(+b dt 式中,八(和(分别是系统的输入信号和输出信号;dm)(刁为 对时间的m阶导数a12,,m)和b=01,…,m是由系统的结构 参数决定的系数 xtwang@mailxidian.edu.cn XIDIAN UNIVERSITY
2.1 线性系统的时域模型 xtwang@mail.xidian.edu.cn 对于单输入、单输出(SISO)线性定常系统, 采用下列微分方程来描述: ( ) ( 1) ( 2) 1 2 1 ( ) ( 1) ( 2) 0 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n m m m m m c t a c t a c t a c t a c t b r t b r t b r t b r t b r t − − − − − − + + + + + = + + + + + 式中,r(t)和c(t)分别是系统的输入信号和输出信号；c(n)(t)为c(t) 对时间t的n阶导数;ai (i=1,2,…,n)和bj (j=0,1, …,m)是由系统的结构 参数决定的系数
2.1线性系统的时城模型 EG1.RL电路和Rc电路的时域樸型 R R +RⅠ L V =V +Rl L I=C当 L V=v+rc V=l-+Rl 输入变量:电压 输入变量:电压 输出输出:电压 输出输出:电流 xtwang@mailxidian.edu.cn 历毛技大 XIDIAN UNIVERSITY
2.1 线性系统的时域模型 • EG1. RL电路和RC电路的时域模型 xtwang@mail.xidian.edu.cn V V RI in L = +dVL I C dt = L in L dV V V RC dt = + V V RI in L = + L dI V L dt = in dI V L RI dt = + 输入变量：电压 输出输出：电压 输入变量：电压 输出输出：电流
2.1线性系统的时城模型 EG1.电阻一电感一电容串联系统。R-C串联电路,试列出以 un(t)为输入量,Ln(t为输出量的网络微分方程式 R L l() 解:(1)确定输入量为u(0,输出量为、(),中间变量为。 (2)网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应 (3)由KV写原始方程:L+Ri+Le=Lr dt (4)列写中间变量汽与输出变量a2的关系式:i=Cm (5)将上式代入原始方程,消去中间变量得 +RC地 Lc au +.=l 阶线性常系数微分方程 (6)整理成标准形,则方程化为 二阶线性定常系统 Tcv+1“= L xtwang@mailxidian.edu.cn XIDIAN UNIVERSITY
2.1 线性系统的时域模型 • EG1. 电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以 u r(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。 xtwang@mail.xidian.edu.cn 解：（1）确定输入量为ur (t)，输出量为uc (t)，中间变量为i(t)。 （2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。 （3）由KVL写原始方程： Ri uc ur dt di L + + = （4）列写中间变量i与输出变量uc的关系式: dt du i C c = （5）将上式代入原始方程，消去中间变量得 2 2 c c c r d u du LC RC u u dt dt + + = （6）整理成标准形，则方程化为 c r c c u u dt du T dt d u T T + 2 + = 2 2 1 2 二阶线性常系数微分方程 二阶线性定常系统