第三章静电能 §31真空中点电荷间的相互作用能 §32连续电荷分布的静电能 §33电荷体系在外电场中的静电能 §34电场的能量和能量密度 §35非线性介质及电滞损耗 *§36利用静电能求静电力
第三章 静电能 §3.1 真空中点电荷间的相互作用能 §3.2 连续电荷分布的静电能 §3.3 电荷体系在外电场中的静电能 §3.4 电场的能量和能量密度 *§3.5 非线性介质及电滞损耗 *§3.6 利用静电能求静电力
能量的基本概念 、引入的目的: 1.能量是物质的共同属性,是物质运动的普遍量度 2.能量守恒定律是最有意义、最有用的发现之一; 3.便于研究不同形式能量的转换。 二、特点: 1.是状态的单值函数,属于整个系统; 2.能量差才有意义; 3.用做功来量度能量。 三、描述的方法 要引入状态参量,规定零点能,然后用做功来计算 能量
能量的基本概念 一、引入的目的： 1. 能量是物质的共同属性，是物质运动的普遍量度； 2. 能量守恒定律是最有意义、最有用的发现之一； 3. 便于研究不同形式能量的转换。 二、特点： 1. 是状态的单值函数, 属于整个系统； 2. 能量差才有意义； 3. 用做功来量度能量。 三、描述的方法： 要引入状态参量，规定零点能，然后用做功来计算 能量
定义 建立一个带电系统的过程中,总伴随着 电荷相对运动,需要外力克服电荷间的相互 作用而作功。外力作功所消耗的能量将转换 为带电系统的能量,该能量定义为带电系统 的静电能。显然,静电能应由系统的电荷分 布决定。 例如,第一章中已讲到的点电荷在外电 场中的电势能就是静电能
建立一个带电系统的过程中，总伴随着 电荷相对运动，需要外力克服电荷间的相互 作用而作功。外力作功所消耗的能量将转换 为带电系统的能量，该能量定义为带电系统 的静电能。显然，静电能应由系统的电荷分 布决定。 例如，第一章中已讲到的点电荷在外电 场中的电势能就是静电能。 定义
§31真空中点电荷间 的相互作用能 设想空间中有多个点电荷,其带电量用q 表示,相应的位置用r1表示,任意两个点 电荷间的距离可以由r1=r;=r-r;给出, 所谓点电荷之间的相互作用能,指的是与点 电荷间的相对位置有关的静电能。 状态参量取为r;(i=1,2,,N),→ 时,它们之间的静电相互作用消失,很自然 地取这时的相互作用能为零。 我们用一种类似于数学归纳法的办法来计算 由A个点电荷组成的静电体系的静电能
§3.1 真空中点电荷间 的相互作用能 ◼ 设想空间中有多个点电荷, 其带电量用 qi 表示, 相应的位置用 ri 表示, 任意两个点 电荷间的距离可以由 rij =|rij|=|rj -ri|给出, 所谓点电荷之间的相互作用能，指的是与点 电荷间的相对位置有关的静电能。 ◼ 状态参量取为rij（i, j = 1,2,…,N）， 时，它们之间的静电相互作用消失，很自然 地取这时的相互作用能为零。 ◼ 我们用一种类似于数学归纳法的办法来计算 由N个点电荷组成的静电体系的静电能. ij r →
两个点电荷 个点电荷q在电场U中的电势能W=q 设电场U是由另一个点电荷Q产生的,于是点电 荷q具有的电势能可以写作 I gQ W=qU- 4兀Cr ■同样地,上式也表示了Q在y的电场中的电势能 这电势能W属于点电荷q与Q组成的系统
两个点电荷时 ◼ 一个点电荷q在电场U中的电势能W=qU ◼ 设电场U是由另一个点电荷Q产生的, 于是点电 荷q具有的电势能可以写作 ■ 同样地, 上式也表示了Q在q的电场中的电势能； 这电势能W属于点电荷q与Q组成的系统。 0 1 4 qQ W qU r = =
■当两个点电荷分别为q1和q2时,静电能为: 2=42012÷7 4E。n12 同样地, 91g2 21 W 兀C 可将两个点电荷的静电能记为W2,为方便写成: W2=(W12+W112(g2U12+qU2) 三个点电荷的静电能记为W3,便为 W3=(12+W21+W13+W+W23+W32)
◼ 当两个点电荷分别为q1和q2时, 静电能为： 同样地, 可将两个点电荷的静电能记为W2 ,为方便写成： ◼ 三个点电荷的静电能记为W3 ， 便为： 2 1 12 2 12 0 12 1 , 4 q q W q U r = = 1 2 21 1 21 12 0 12 , 4 q q W q U W r = = = 2 12 21 2 12 1 21 1 1 ( ) ( ), 2 2 W W W q U q U = + = + 3 12 21 13 31 23 32 1 ( ) 2 W W W W W W W = + + + + +
■于是可写成: W3=(W12+W21+W13+Wy31+W23+W32) 2 =(q2U12+qU21+q3U13+q1U31+qU2+q2U32) 29,其中U=2 ∑ 4兀E0j=1 ■U代入W: 33 gg 38兀E0j=1
■ 于是可写成： ■ U 代入W ： 3 3 3 0 1 1 1 , 8 j i i j j i ji q q W r = = = 3 12 21 13 31 23 32 2 12 1 21 3 13 1 31 3 23 2 32 3 3 1 1 3 0 1 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 , , 2 1 4 = = = = + + + + + = + + + + + = = 其中 = j i j i i i ji i j j i j ji W W W W W W W q U q U q U q U q U q U q r q U U U
对N个点电荷糸统 =∑q,其中U1=∑Un 480n ≠ U是除了q其它点电荷在q处产生的电势的和。 同理,将U代入W得: N 9i 9 8 J≠l ≠ 对N+1个点电荷糸统,可证(见书p68) 1、+、+q1q,记为1 gg N+18E 0=1i=1n 8兀E0j=1 ≠1 J≠l
对N个点电荷系统： 1 1 1 0 1 1 , 2 4 j i j i N N N j N i i i ji i j j ji i i i q W qU U U r U q q = = = = = = 其中 ， 是除了 其它点电荷在 处产生的电势的和。 同理，将U 代入W 得： 1 1 1 1 0 1 1 2 8 j i j i N N N N i j N i ji j i j i ji q q W q U r = = = = = = . 对N+1个点电荷系统，可证（见书p68）： 1 1 1 0 1 1 , 1 1 8 j i j i N N N i j i j N j i j i ji ji q q q q W r r + + + = = = = 记为 +1 0 1 = . 8
§32连续电荷分布的静电能 首先讨论空间只有自由电荷的情形,这 意味着电场空间中只允许导体和介电常量恒 等而的物体(包括真空)存在。 1.先考虑体电荷分布的情况,电荷密 度设为P(r)。将该体电荷无限分割并把每 小部分当作点电荷处理,则由前页结论可得: H=2(u,(a2) U(O表示除(r)V外其余所有电荷在r处 产生的电势
§3.2 连续电荷分布的静电能 首先讨论空间只有自由电荷的情形，这 意味着电场空间中只允许导体和介电常量恒 等于 的物体（包括真空）存在。 1. 先考虑体电荷分布的情况，电荷密 度设为 。将该体电荷无限分割并把每一 小部分当作点电荷处理，则由前页结论可得： 0 ( ) e r 1 1 ( ) ( ) , 2 e e V W U dV = r r U1(r)表示除 外其余所有电荷在r处 产生的电势。( ) e r dV (3.2.1)
■分析U(r)和总电势U(m)的关系。设为一球体 元,由第17节例1.11的结果(P28),取R1=0, R2=a。可求得电荷密度为P、半径为a的均匀带 电球体在球内产生的电势为: U〃=(3a 6 它在球心处取极大值Um=pa2/2a,故当a→0 时有Um→>0即⑦→0。于是,U()≈U( W=p(r)(r)d.(32)
■ 分析U1(r)和总电势U(r)的关系。设dV为一球体 元，由第1.7节例1.11的结果(P28)，取R1 = 0， R2 = a。可求得电荷密度为 、半径为a的均匀带 电球体在球内产生的电势为： e ( ) 2 2 0 3 , 6 = − e U a r 它在球心处取极大值 ，故当 时有 即 。于是， U1(r) ≈ U(r) 2 0 U a m e = / 2 a →0 0 Um → U → 0 1 ( ) ( ) . 2 e e V W U dV = r r (3.2.2)